2020年天津市红桥区中考二模数学试卷

这是一份2020年天津市红桥区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 5−−3 的结果等于
A. −8B. 8C. −2D. 2

2. tan30∘ 的值等于
A. 33B. 32C. 1D. 3

3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面 4 个汉字中，可以看作轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 据 2020 年 5 月 3 日学习强国 APP 天津学习平台报道，疫情防控期间，南水北调引江中线工程日均向天津市输水 2600000 m3．将 2600000 用科学记数法表示应为
A. 260×104B. 26×105C. 2.6×106D. 0.26×107

5. 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 15−1 的值在
A. 1 和 2 之间B. 2 和 3 之间C. 3 和 4 之间D. 4 和 5 之间

7. 分式方程 2x−3x+2=0 的解是
A. x=4B. x=14C. x=−6D. x=−12

8. 二元一次方程组 3x−y=5,x+2y=4 的解为
A. x=2,y=1B. x=−2,y=1C. x=3,y=−2D. x=2,y=−1

9. 已知点 Ax1,−3，Bx2,−2，Cx3,4 在反比例函数 y=6x 的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是
A. x1
10. 点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是 a，b，下列结论正确的是
A. −a<2<−bB. −aC. 1−2a<1−2bD. b<2
11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，将 △ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处．若 ∠B=60∘，AB=3，则 △ADE 的周长为
A. 12B. 15C. 18D. 21

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 x 轴交于点 A−1,0，与 y 轴的交点 B 在点 0,2 与点 0,3 之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=2．有下列结论：
① abc<0；
② 5a+3b+c>0；
③ −35④若点 M−9a,y1，N53a,y2 在抛物线上，则 y1其中正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算 −a2⋅a2 的结果等于 ．

14. 计算 11+211−2 的结果等于 ．

15. 一个不透明的袋子中装有 7 个球，其中 2 个红球、 5 个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是 ．

16. 若一个一次函数的图象经过点 0,2，则这个一次函数的解析式可以是（写出一个即可） ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，点 D，E 分别是边 CA，CB 的中点，∠CAB 的平分线与 DE 交于点 F，则 CF 的长为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图，在每个小正方形边长为 1 的网格中，点 A，点 B 均落在格点上，AB 为 ⊙O 的直径．
（1）AB 的长等于 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以 AB 为斜边、面积为 5 的 Rt△PAB，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

19. 解不等式组 3x+1≥x−1, ⋯⋯①3x−42≤x, ⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 为了了解某校九年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）本次随机抽样调查的学生人数为 ，图①中的 m 的值为 ；
（2）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（3）若该校九年级共有学生 300 人，如果体育成绩达 28 以上（含 28 分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的人数．

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，∠BAC=52∘．
（1）如图①，若 D 为 AB 的中点，求 ∠ABC 和 ∠ABD 的大小；
（2）如图②，过点 D 作 ⊙O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 AE=AC，求 ∠P 的大小．

22. 如图，一艘小船以 11 n mile/h 的速度向正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 37∘ 方向，航行 2 h 后到达 B 处，测得灯塔 C 在南偏东 42∘ 方向，求 B 处距离灯塔 C 的距离 BC（结果保留 1 位小数）．
参考数据：tan37∘≈0.75，sin42∘≈0.67，tan42∘≈0.90．

23. 某公司到果园基地购买某种水果慰问医务工作者，果园基地向购买超过 3000 kg 以上（含 3000 kg）的客户推出两种购买方式．
方式甲：价格为 9 元/kg，由果园基地运送到公司；
方式乙：价格为 8 元/kg，由顾客自己租车运回，从果园基地到公司的租车费用为 5000 元．
设该公司购买水果的数量为 x kgx≥3000．
（1）根据题意，填写下表：
购买水果的数量kg350045005500⋯方式甲的总费用元40500⋯方式乙的总费用元41000⋯
（2）设该公司按方式甲购买水果的总费用为 y1 元，按方式乙购买水果的总费用为 y2 元，分别求 y1，y2 关于 x 的函数解析式；
（3）根据题意填空：
①若按方式甲购买水果的总费用和按方式乙购买水果的总费用相同，则该公司购买水果的数量为 kg；
②若该公司购买水果的数量为 5200 kg，则按方式甲、方式乙中的方式 购买水果的总费用少；
③若该公司购买水果的总费用为 39000 元，则按方式甲、方式乙中的方式 购买水果的数量多．

24. 在平面直角坐标系中，点 A2,0，点 B2,2．将 △OAB 绕点 B 顺时针旋转，得 △OʹAʹB，点 A，O 旋转后的对应点为 Aʹ，Oʹ．记旋转角为 α．
（1）如图①，当 α=45∘ 时，求点 Aʹ 的坐标；
（2）如图②，当 α=60∘ 时，求点 Aʹ 的坐标；
（3）连接 OAʹ，设线段 OAʹ 的中点为 M，连接 OʹM，求线段 OʹM 的长的最小值（直接写出结果即可）．

25. 抛物线 y=ax2+bx+3（a，b 为常数，a≠0）与 x 轴交于 A−2,0，B6,0 两点，与 y 轴交于 C 点．设该抛物线的顶点为 M，其对称轴与 x 轴的交点为 N．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）P 为线段 MN（含端点 M，N）上一点，Qn,0 为 x 轴上一点，且 PQ⊥PC．
①求 n 的取值范围；
②当 n 取最大值时，将线段 CQ 向上平移 t 个单位长度，使得线段 CQ 与抛物线有两个交点，求 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】5−−3=5+3=8．
2. A【解析】tan30∘=33．
3. D【解析】A．不是轴对称图形，不合题意；
B．不是轴对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，不合题意；
D．轴对称图形，符合题意．
4. C【解析】2600000=2.6×106．
5. D
【解析】根据三视图的画法可得，选项D符合题意．
6. B【解析】∵9<15<16，
∴9<15<16，即 3<15<4．
∴3−1<15−1<4−1，即 2<15−1<3．
7. A【解析】两边同时乘以 xx+2 得：2x+2−3x=0．
去括号得：2x+4−3x=0．
移项合并得：x=4．
经检验：x=4 是原方程的解．
8. A【解析】3x−y=5, ⋯⋯①x+2y=4. ⋯⋯②
①×2+② 得 7x=14，解得 x=2；
将 x=2 代入 ① 得 6−y=5，解得 y=1．
则方程组的解为 x=2,y=1.
9. B【解析】∵ 反比例函数 y=6x，
∴ 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，在第三象限内的点对应的纵坐标都小于零，横坐标也小于零，在第一象限内点对应的纵坐标都大于零，横坐标也大于零．
∵ 点 Ax1,−3，Bx2,−2，Cx3,4 在反比例函数 y=6x 的图象上，
∴x210. D
【解析】由数轴的定义得：a<−2，0 ∴−a>2，−2<−b<0，则选项A，B均错误；
∵a ∴−2a>−2b．
∴1−2a>1−2b，则选项C错误；
∵a<−2，0 ∴a>2，b<2，即 b<211. C【解析】由折叠可得 ∠ACD=∠ACE=90∘．
∴∠BAC=90∘，
又 ∵∠B=60∘，
∴∠ACB=30∘，
∴BC=2AB=6，
∴AD=6．
由折叠可得 ∠E=∠D=∠B=60∘．
∴∠DAE=60∘．
∴△ADE 是等边三角形．
∴△ADE 的周长为 6×3=18．
12. C【解析】∵ 抛物线的开口向下，且与 y 轴的交点 B 在点 0,2 与点 0,3 之间（不包括这两点），
∴a<0，2 ∵ 对称轴为 x=−b2a=2，
∴b=−4a>0．
∴abc<0，则结论①正确；
由二次函数的对称性可知，抛物线与 x 轴的另一个交点为 5,0，
则当 x=3 时，y>0，即 9a+3b+c>0．
∵a<0，
∴4a<0．
∴4a+5a+3b+c<0+5a+3b+c，即 9a+3b+c<5a+3b+c，
∴5a+3b+c>9a+3b+c>0，则结论②正确；
将点 A−1,0 代入抛物线得：a−b+c=0，即 c=b−a．
∵b=−4a，
∴c=−4a−a=−5a．
又 ∵2 ∴2<−5a<3，解得 −35 M−9a,y1，N53a,y2，
由结论③可知 −35 ∴185<−9a<275，−1<53a<−23．
由对称性可知，当 x=4−53a 时，y=y2．
∵−1<53a<−23，
∴143<4−53a<5．
由二次函数的性质可知，当 x≥2 时，y 随 x 的增大而减小，
虽然 −9a 和 4−53a 均大于 2，但它们的大小关系不能确定．
∴y1 与 y2 的大小不能确定，则结论④错误．
综上，正确结论的个数是 3 个．
第二部分
13. a4
【解析】原式=a2⋅a2=a4．
14. 7
【解析】11+211−2=112−42=11−4=7．
15. 57
【解析】∵ 袋子中共有 7 个球，有 5 个黑球，
∴ 从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为 57．
16. y=x+2（答案不惟一）
【解析】∵ 一次函数的图象经过点 0,2，
设函数表达式为 y=kx+2，只要 k≠0 即可，
∴ 表达式可以为 y=x+2．
17. 355
【解析】如图，过点 F 作 FG⊥BC 于点 G．
∵∠C=90∘，AC=3，BC=4．
∴AB=AC2+BC2=5．
在 Rt△ABC 中，sinB=ACAB=35，csB=BCAB=45．
∵ 点 D，E 分别是边 CA，CB 的中点，
∴AD=12AC=32，CE=12BC=2，DE 是 Rt△ABC 的中位线．
∴DE∥AB，DE=12AB=52．
∴∠BAF=∠AFD，∠FEG=∠B．
∵AF 平分 ∠CAB，
∴∠BAF=∠DAF．
∴∠AFD=∠DAF．
∴DF=AD=32．
∴EF=DE−DF=52−32=1．
在 Rt△EFG 中，sin∠FEG=sin∠B=35，cs∠FEG=cs∠B=45．
∴FGEF=35，EGEF=45，即 FG1=35，EG1=45，解得 FG=35，EG=45．
∴CG=CE−EG=2−45=65．
在 Rt△CFG 中，由勾股定理得：CF=FG2+CG2=352+652=355．
第三部分
18. （1） 26
【解析】AB=AD2+BD2=52+12=26．
（2） 如图取格点 C，连接 AC；取格点 D，E，连接 DE 与 AC 交于点 M．取格点 F，G，连接 FG 并延长，交网格线于点 H，连接 BH；取格点 I，连接 GI 与 BH 交于点 N．连接 MN 与 ⊙O 相交，得点 P．连接 AP，BP，△PAB 即为所求
19. x≥−1；x≤4；
−1≤x≤4
【解析】（1）3x+1≥x−1，移项得：2x≥−2；系数化为 1 得：x≥−1；
（2）去分母得：3x−4≤2x；移项得：x≤4；
（3）不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示如图所示：
（4）由数轴可得 ① 和 ② 的解集的公共解集为 −1≤x≤4，
∴ 原不等式组的解集为 −1≤x≤4．
20. （1） 50；24
【解析】本次随机抽样调查的学生人数为 5÷10%=50；
12÷50=24%，即 m=24．
（2） ∵ 数据中 28 出现的次数最多，
∴ 本次抽样调查获取的样本数据的众数为 28．
∵ 排序后，处于最中间的两个数为 28 和 28，
∴ 中位数为 28+28÷2=28，
x=1509×26+12×27+14×28+10×29+5×30=27.8．
∴ 平均数为 27.8．
（3） 该校九年级学生体育成绩达到优秀的人数约为 300×28%+20%+10%=174（人）．
21. （1） ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB=90∘．
∴∠BAC+∠ABC=90∘．
∵∠BAC=52∘，
∴∠ABC=90∘−52∘=38∘．
由 D 为 AB 的中点得 AD=BD．
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45∘．
∴∠ABD=∠ACD=45∘．
（2） 如图，连接 OD，OC．
∵AE=AC．
∴∠ACE=∠AEC=12180∘−∠BAC=64∘．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO=52∘．
∴∠OCD=∠ACE−∠ACO=12∘．
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=12∘．
∴∠POD=∠AEC−∠ODC=52∘（三角形的外角性质）．
∵DP 切 ⊙O 于点 D．
∴OD⊥DP，即 ∠ODP=90∘．
∴∠P=90∘−∠POD=38∘．
22. 如图，过 C 作 CH⊥AB，垂足为 H．
根据题意 ∠HBC=42∘，∠HAC=37∘，AB=22．
∵ 在 Rt△CBH 中，tan∠HBC=CHBH，
∴BH=CHtan42∘．
∵ 在 Rt△ACH 中，tan∠HAC=CHAH，
∴AH=CHtan37∘．
∵AB=AH+BH，
∴CHtan42∘+CHtan37∘=AB．
∴CH=AB⋅tan42∘⋅tan37∘tan42∘+tan37∘≈22×0.90×+0.75=9.00．
∵ 在 Rt△CBH 中，sin∠HBC=CHBC，
∴BC=CHsin42∘≈13.4．
答：B 处距离灯塔 C 的距离 BC 约为 13.4 n mile．
23. （1） 由题意可得：
当购买水果的数量为 3500 千克时，
方式甲的总费用 =3500×9=31500 元，
方式乙的总费用 =3500×8+5000=33000 元；
当购买水果的数量为 5500 千克时，
方式甲的总费用 =5500×9=49500 元，
方式乙的总费用 =5500×8+5000=49000 元．
故填表如下：
购买水果的数量kg350045005500⋯方式甲的总费用元315004050049500⋯方式乙的总费用元330004100049000⋯
（2） 根据题意得：
y1=9x，x≥3000；
y2=8x+5000，x≥3000．
（3） 5000；乙；甲
【解析】①令 y1=y2，即 9x=8x+5000，解得：x=5000；
②若该公司购买水果的数量为 5200 kg，
则方式甲所需费用 =9×5200=46800 元，
方式乙所需费用 =8×5200+5000=46600 元，46800>46600，
∴ 方式乙购买水果的总费用少；
③令 y1=39000，即 9x=39000，解得：x=433313，
令 y2=39000，即 8x+5000=39000，解得：x=4250，433313>4250，
∴ 方式甲购买水果的数量多．
24. （1） 如图，过点 Aʹ 作 AʹC⊥OA，垂足为 C．
∵ 点 A2,0，点 B2,2，
∴OA=AB=2，∠OAB=90∘．
∴∠AOB=∠ABO=45∘，OB=22．
∵△OʹAʹB 是 △OAB 绕点 B 顺时针旋转得到的，α=45∘，
∴AʹB=AB=2，点 Aʹ 在线段 OB 上．
∴OAʹ=OB−AʹB=22−2．
在 Rt△OAʹC 中，AʹC=OAʹ⋅sin∠AOB=2−2，OC=AʹC=2−2．
∴ 点 Aʹ 坐标为 2−2,2−2．
（2） 如图，连接 AAʹ，过点 Aʹ 作 AʹD⊥OA，垂足为 D．
∵AʹB=AB=2，∠ABAʹ=α=60∘，
∴∠AʹAB=∠AAʹB=60∘，AAʹ=AB=AʹB=2．
∴∠AʹAO=∠OAB−∠AʹAB=30∘．
在 Rt△AʹAD 中，AʹD=12AAʹ=1，AD=32AAʹ=3．
∴OD=OA−AD=2−3．
∴ 点 Aʹ 的坐标为 2−3,1．
（3） 5−2．
【解析】连接 OAʹ，设线段 OAʹ 的中点为 M，连接 OʹM，取 AʹB 的中点 N，连接 OʹN，MN．
∴MN 为 △AʹOB 的中位线，AʹN=12AʹB=1．
∴MN=12OB=2．
由勾股定理可得 OʹN=OʹAʹ2+AʹN2=5．
∴OʹM≥OʹN−MN=5−2（当且仅当 M 在线段 OʹN 上时，取等号）．
∴OʹM 的最小值为 5−2．
25. （1） ∵ 点 A−2,0，B6,0 在抛物线上，
∴4a−2b+3=0,36a+6b+3=0, 解得 a=−14，b=1．
∴ 该抛物线的解析式为 y=−14x2+x+3．
（2） ①由 y=−14x2+x+3=−14x−22+4，得 M2,4．
设 P 点坐标为 2,m，其中 0≤m≤4，
则 PC2=22+m−32，PQ2=m2+n−22，CQ2=32+n2，
∵PQ⊥PC，
∴ 在 △PCQ 中，PC2+PQ2=CQ2，
即 22+m−32+m2+n−22=32+n2，
整理得 n=12m2−3m+4=12m−322+78，0≤m≤4，
∴ 当 m=32 时，n 取得最小值为 78；
当 m=4 时，n 取得最大值为 4，
∴n 的取值范围是 78≤n≤4；
②由①知，当 n 取最大值 4 时，m=4，此时 Q4,0．
∵ 点 C0,3，
∴ 线段 CQ 的解析式为 y=−34x+3．
设 CQ 向上平移 t 个单位长度后的解析式为 y=−34x+3+t．
如图，当线段 CQ 向上平移，使点 Q 恰好在抛物线上时，
线段 CQ 与抛物线有两个交点，此时点 Qʹ 的坐标 Qʹ4,3．
将 Qʹ4,3 代入 y=−34x+3+t，得 t=3．
当线段 CQ 继续向上平移，线段 CQ 与抛物线只有一个交点时，
由 y=−14x2+x+3,y=−34x+3+t, 得 −14x+2x−6=−34x+3+t．
化简，得 x2−7x+4t=0．由 Δ=49−16t=0，解得 t=4916．
∴t 的取值范围是 3≤t<4916．