2020年北京市朝阳区中考二模数学试卷

这是一份2020年北京市朝阳区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 3 的相反数是
A. 13B. 3C. −13D. −3

2. 如图，直线 l1∥l2，它们之间的距离是
A. 线段 PA 的长度B. 线段 PB 的长度
C. 线段 PC 的长度D. 线段 PD 的长度

3. 方程组 x−y=1,2x+y=5 的解为
A. x=2,y=1B. x=1,y=−2C. x=−1,y=2D. x=−2,y=1

4. 五边形的内角和为
A. 360∘B. 540∘C. 720∘D. 900∘

5. 如果 x2+x=3，那么代数式 x+1x−1+xx+2 的值是
A. 2B. 3C. 5D. 6

6. 下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

7. 某便利店的咖啡单价为 10 元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：
会员卡类型办卡费用/元有效期优惠方式A类401年每杯打九折B类801年每杯打八折C类1301年一次性购买2杯,第二杯半价
例如，购买 A 类会员卡，1 年内购买 50 次咖啡，每次购买 2 杯，则消费 40+2×50×0.9×10=940 元．若小玲 1 年内在该便利店购买咖啡的次数介于 75∼85 次之间，且每次购买 2 杯，则最省钱的方式为
A. 购买 A 类会员卡B. 购买 B 类会员卡
C. 购买 C 类会员卡D. 不购买会员卡

8. 在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有 100 名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为 40%，女生成绩的优秀率为 60%；八年级男生成绩的优秀率为 50%，女生成绩的优秀率为 70%．对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率．
所有合理推断的序号是
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 1−xx 的值为 0，则 x 的值为 ．

10. 在某一时刻，测得一根高为 2 m 的竹竿的影长为 3 m，同时测得一根旗杆的影长为 21 m，那么这根旗杆的高度为 m．

11. 如图中的四边形都是矩形，根据图形，写出一个正确的等式： ．

12. 下表显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果．
抛掷次数n300500700900110013001500170019002000"正面向上"的次数m1372333354415446507498529461004"正面向上"的频率
估计此次实验硬币“正面向上”的概率是 ．

13. 若点 A4,−3，B2,m 在同一个反比例函数的图象上，则 m 的值为 ．

14. 如图 1，将矩形 ABCD 和正方形 EFGH 分别沿对角线 AC 和 EG 剪开，拼成如图 2 所示的平行四边形 PQMN，中间空白部分的四边形 KRST 是正方形．如果正方形 EFGH 和正方形 KRST 的面积分别是 16 和 1，则矩形 ABCD 的面积为 ．

15. 甲、乙两个芭蕾舞团演员的身高（单位：cm）如下表：
甲164164165165166166167167乙163163165165166166168168
两组芭蕾舞团演员身高的方差较小的是 ．（填“甲”或“乙”）

16. 正方形 ABCD 的边长为 4，点 M，N 在对角线 AC 上（可与点 A，C 重合），MN=2，点 P，Q 在正方形的边上．下面四个结论中，
①存在无数个四边形 PMQN 是平行四边形；
②存在无数个四边形 PMQN 是菱形；
③存在无数个四边形 PMQN 是矩形；
④至少存在一个四边形 PMQN 是正方形．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 化简：4cs45∘+3−10−8+∣−2∣．

18. 解不等式组 4x+1≤2x+6,x−3
19. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线 l 及直线 l 外一点 P．
求作：直线 PQ，使得 PQ∥l．
作法：如图，
①任意取一点 K，使点 K 和点 P 在直线 l 的两旁；
②以 P 为圆心，PK 长为半径画弧，交 l 于点 A，B，连接 AP；
③分别以点 P，B 为圆心，以 AB，PA 长为半径画弧，两弧相交于点 Q（点 Q 和点 A 在直线 PB 的两旁）；
④作直线 PQ．
∴ 直线 PQ 就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接 BQ，
∵PQ= ，BQ= ，
∴ 四边形 PABQ 是平行四边形（ ）（填推理依据）．
∴PQ∥l．

20. 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 b，c 的值，并求此时方程的根．

21. 如图，点 E，F 分别在矩形 ABCD 的边 AB，CD 上，且 ∠DAF=∠BCE．
（1）求证：AF=CE；
（2）连接 AC，若 AC 平分 ∠FAE，∠DAF=30∘，CE=4，求 CD 的长．

22. 为了解某地区企业信息化发展水平，从该地区中随机抽取 50 家企业调研，针对体现企业信息化发展水平的 A 和 B 两项指标进行评估，获得了它们的成绩（十分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A 项指标成绩的频数分布直方图如下（数据分成 6 组：4≤x<5，5≤x<6，6≤x<7，7≤x<8，8≤x<9，9≤x≤10）：
b．A 项指标成绩在 7≤x<8 这一组的是：
c．A，B 两项指标成绩的平均数、中位数、众数如下：
平均数中位数众数A 项指标成绩 项指标成绩
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中 m 的值；
（2）在此次调研评估中，某企业 A 项指标成绩和 B 项指标成绩都是 7.5 分，该企业成绩排名更靠前的指标是 （填“A”或“B”），理由是 ；
（3）如果该地区有的 500 家企业，估计 A 项指标成绩超过 7.68 分的企业数量．

23. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AD=CD，对角线 AC 经过点 O，过点 D 作 ⊙O 的切线 DE，交 BC 的延长线于点 E．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若 AB=8，tanE=43，求 CD 的长．

24. 如图，AB 是半圆的直径，P 是半圆与直径 AB 所围成的图形的外部的一定点，D 是直径 AB 上一动点，连接 PD 并延长，交半圆于点 C，连接 AC，BC．已知 AB=6 cm，设 A，D 两点之间的距离为 x cm，A，C 两点之间的距离为 y1 cm，B，C 两点之间的距离为 y2 cm．
小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到 y1，y2 与 x 的几组对应值；
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当 △ABC 有一个角的正弦值为 13 时，AD 的长约为 cm．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1:y=kx+2k>0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 l2:y=−12kx+2 与 x 轴交于点 C．
（1）求点 B 的坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 AB，AC，BC 围成的区域（不含边界）为 G．
①当 k=2 时，结合函数图象，求区域 G 内整点的个数；
②若区域 G 内恰有 2 个整点，直接写出 k 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+a2x+c 与 y 轴交于点 0,2．
（1）求 c 的值；
（2）当 a=2 时，求抛物线顶点的坐标；
（3）已知点 A−2,0，B1,0，若抛物线 y=ax2+a2x+c 与线段 AB 有两个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．

27. 已知 ∠AOB=40∘，M 为射线 OB 上一定点，OM=1，P 为射线 OA 上一动点（不与点 O 重合），OP<1，连接 PM，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转 40∘，得到线段 PN，连接 MN．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠APN=∠OMP；
（3）H 为射线 OA 上一点，连接 NH．写出一个 OH 的值，使得对于任意的点 P 总有 ∠OHN 为定值，并求出此定值．

28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下定义：Q 为图形 M 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点 P 与图形 M 间的开距离，记作 dP,M．
已知直线 y=33x+bb≠0 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，⊙O 的半径为 1．
（1）若 b=2，
①求 dB,⊙O 的值；
②若点 C 在直线 AB 上，求 dC,⊙O 的最小值；
（2）以点 A 为中心，将线段 AB 顺时针旋转 120∘ 得到 AD，点 E 在线段 AB，AD 组成的图形上，若对于任意点 E，总有 2≤dE,⊙O<6，直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. A
4. B
5. C
6. D
7. C
8. B
第二部分
9. 1
10. 14
11. 答案不唯一，如 ma+b=ma+mb
12. 答案不唯一，如 0.500
13. −6
14. 15
15. 甲
16. ①②④
第三部分
17. 原式=4×22+1−22+2=3.
18. 原不等式组为
4x+1≤2x+6, ⋯⋯①x−3解不等式 ①，得
x≤1.
解不等式 ②，得
x<2.∴
原不等式组的解集为
x≤1.∴
原不等式组的所有非负整数解为 0，1．
19. （1） 补全的图形如图所示：
（2） AB；PA；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
20. 答案不唯一，如：b=2，c=1 .
此时，方程为 x2+2x+1=0．
解得 x1=x2=−1．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠B=90∘，
∵∠DAF=∠BCE，
∴△DAF≌△BCE，
∴AF=CE．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，
∵CE=4，
∴AF=4，
∵AC 平分 ∠FAE，
∴∠FAC=∠CAB，
∴∠FAC=∠DCA，
∴FC=AF=4，
在 Rt△ADF 中，∠DAF=30∘，
∴DF=2，
∴CD=6．
22. （1） 7.84．
（2） B；
该企业 A 项指标成绩是 7.5 分，小于 A 项指标成绩的中位数，说明该企业 A 项指标成绩的排名在后 25 名；B 项指标成绩是 7.5 分，大于 B 项指标成绩的中位数，说明该企业 B 项指标成绩的排名在前 25 名
（3） 根据题意可知，在样本中，A 项指标成绩超过 7.68 分的企业数量是 29．
∴ 估计该地区 A 项指标成绩超过 7.68 分的企业数量为 2950×500=290．
23. （1） 如图，连接 OD．
∵AC 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADC=90∘．
∵AD=CD，
∴∠DOC=90∘．
∵DE 是 ⊙O 的切线，
∴OD⊥DE．
∴DE∥AC．
（2） ∵DE∥AC，
∴∠E=∠ACB．
∵AC 为 ⊙O 的直径，
∴∠ABC=90∘．
在 Rt△ABC 中，AB=8，tan∠ACB=43．
∴AC=10，
∴CD=52．
24. （1） 2.88
【解析】
（2）
（3） 2.52 或 4.51
25. （1） ∵ 直线 l1:y=kx+2k>0 与 y 轴交于点 B，
∴ 点 B 坐标为 0,2．
（2） ①当 k=2 时，直线 l1，l2 分别为 y=2x+2，y=−x+2．
∴ 点 A−1,0，点 C2,0．
结合函数图象，可得区域 G 内整点的个数为 1．
② 1≤k<2．
26. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+a2x+c 与 y 轴交于点 0,2，
∴c=2．
（2） 当 a=2 时，抛物线为 y=2x2+4x+2，
∴ 顶点坐标为 −1,0．
（3） 当 a>0 时，
①当 a=2 时，如图 1，抛物线与线段 AB 只有一个公共点．
②当 a=1+2 时，如图 2，抛物线与线段 AB 有两个公共点．
结合函数图象可得 2当 a<0 时，抛物线与线段 AB 只有一个或没有公共点．
综上所述，a 的取值范围是 227. （1） 补全图形，如图所示．
（2） 根据题意可知，∠MPN=∠AOB=40∘，
∵∠MPA=∠AOB+∠OMP=∠MPN+∠APN，
∴∠APN=∠OMP．
（3） OH 的值为 1．
在射线 PA 上取一点 G，使得 PG=OM，连接 GN，
根据题意可知，MP=NP，
∴△OMP≌△GPN，
∴OP=GN，∠AOB=∠NGP=40∘，
∵PG=OH，
∴OP=HG，
∴NG=HG，
∴∠NHG=70∘，
∴∠OHN=110∘．
28. （1） ①根据题意可知 B0,2．
∴dB,⊙O=3．
②如图，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，此时 dC,⊙O 取得最小值．
∵ 直线 y=33x+2 与 x 轴交于点 A，
∴A−23,0．
∴OA=23，OB=2．
∴∠OAB=30∘．
∴OC=3．
∴dC,⊙O 的最小值为 3+1．
（2） −577