2018年北京市海淀区中考二模数学试卷

这是一份2018年北京市海淀区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若代数式 3x−1 有意义，则实数 x 的取值范围是
A. x>1B. x≥1C. x≠1D. x≠0

2. 如图，圆 O 的弦 GH，EF，CD，AB 中最短的是
A. GHB. EFC. CDD. AB

3. 2018 年 4 月 18 日，被誉为“中国天眼”的FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证．新发现的脉冲星自转周期为 0.00519 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将 0.00519 用科学记数法表示应为
A. 5.19×10−2B. 5.19×10−3C. 519×10−5D. 519×10−6

4. 下列图形能折叠成三棱柱的是
A. B.
C. D.

5. 如图，直线 DE 经过点 A，DE∥BC，∠B=45∘，∠1=65∘，则 ∠2 等于
A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘

6. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 AC 高为 a．已知，冬至时北京的正午日光入射角 ∠ABC 约为 26.5∘，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即 BC 的长）约为
A. asin26.5∘B. atan26.5∘C. acs26.5∘D. acs26.5∘

7. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 ∣a∣>∣b∣，则下列结论中一定成立的是
A. b+c>0B. a+c<−2C. ba<1D. abc≥0

8. “单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中 M，N，S，T 四位同学的单词记忆效率 y 与复习的单词个数 x 的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是
A. MB. NC. SD. T

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 分解因式：3a2+6a+3= ．

10. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，OA=6，∠B=30∘，则图中阴影部分的面积为 ．

11. 如果 m=3n，那么代数式 nm−mn⋅mn−m 的值是 ．

12. 如图，四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 是以 O 为位似中心的位似图形，满足 OA1=A1A，E，F，E1，F1 分别是 AD，BC，A1D1，B1C1 的中点，则 E1F1EF= ．

13. 2017 年全球超级计算机 500 强名单公布，中国超级计算机“神威·太湖之光”和“天河二号”携手夺得前两名．已知“神威·太湖之光”的浮点运算速度是“天河二号”的 2.74 倍．这两种超级计算机分别进行 100 亿亿次浮点运算，“神威·太湖之光”的运算时间比“天河二号”少 18.75 秒，求这两种超级计算机的浮点运算速度．设“天河二号”的浮点运算速度为 x 亿亿次/秒，依题意，可列方程为 ．

14. 袋子中有 20 个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程 150 次后，共摸到红球 30 次，由此可以估计口袋中的红球个数是 ．

15. 下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．
已知：线段 AB．
求作：以 AB 为斜边的一个等腰直角三角形 ABC．
作法：如图，
（1）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧，两弧相交于 P，Q 两点；
（2）作直线 PQ，交 AB 于点 O；
（3）以 O 为圆心，OA 的长为半径作圆，交直线 PQ 于点 C；
（4）连接 AC，BC．
则 △ABC 即为所求作的三角形．
请回答：在上面的作图过程中，① △ABC 是直角三角形的依据是 ；② △ABC 是等腰三角形的依据是 ．

16. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A−2,m 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90∘ 后，恰好落在如图中阴影区域（包括边界）内，则 m 的取值范围是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：18−4sin45∘+2−20−12−2．

18. 解不等式 x−x+22<2−x3，并把解集在数轴上表示出来．

19. 如图，四边形 ABCD 中，∠C=90∘，BD 平分 ∠ABC，AD=3，E 为 AB 上一点，AE=4，ED=5，求 CD 的长．

20. 关于 x 的一元二次方程 x2−m+3x+3m=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）请给出一个 m 的值，使方程的两个根中只有一个根小于 4．

21. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，BD 交 AC 于 G，E 是 BD 的中点，连接 AE 并延长，交 CD 于点 F，F 恰好是 CD 的中点．
（1）求 BGGD 的值；
（2）若 CE=EB，求证：四边形 ABCF 是矩形．

22. 已知直线 l 过点 P2,2，且与函数 y=kxx>0 的图象相交于 A，B 两点，与 x 轴、 y 轴分别交于点 C，D，如图所示，四边形 ONAE，OFBM 均为矩形，且矩形 OFBM 的面积为 3．
（1）求 k 的值；
（2）当点 B 的横坐标为 3 时，求直线 l 的解析式及线段 BC 的长；
（3）如图是小芳同学对线段 AD，BC 的长度关系的思考示意图．记点 B 的横坐标为 s，已知当 2
23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，M 是 OA 的中点，弦 CD⊥AB 于点 M，过点 D 作 DE⊥CA 交 CA 的延长线于点 E．
（1）连接 AD，则 ∠OAD= ∘；
（2）求证：DE 与 ⊙O 相切；
（3）点 F 在 BC 上，∠CDF=45∘，DF 交 AB 于点 N．若 DE=3，求 FN 的长．

24. 如图是甲、乙两名射击运动员的 10 次射击测试成绩的折线统计图．
（1）根据折线图把下列表格补充完整；
运动员平均数中位数众数甲8.59乙8.5
（2）根据上述图表运用所学统计知识对甲、乙两名运动员的射击水平进行评价并说明理由．

25. 小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如表：
收费项目收费标准3 公里以内收费13 元基本单价2.3 元/公里⋯⋯⋯⋯
备注：出租车计价段里程精确到 500 米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入．
小明首先简化模型，从简单情形开始研究：①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）；②行驶路程 3 公里以上时，计价器每 500 米计价 1 次，且每 1 公里中前 500 米计价 1.2 元，后 500 米计价 1.1 元．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
记一次运营出租车行驶的里程数为 x（单位：公里），相应的实付车费为 y（单位：元）．
（1）如表是 y 随 x 的变化情况：
行驶里程数x00（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出当 0（3）一次运营行驶 x 公里 x>0 的平均单价记为 w（单位：元/公里），其中 w=yx．
①当 x=3,3.4和3.5 时，平均单价依次为 w1，w2，w3，则 w1，w2，w3 的大小关系是 ；（用“<”连接）
②若一次运营行驶 x 公里的平均单价 w 不大于行驶任意 ss≤x 公里的平均单价 ws，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请在上图中 x 轴上表示出 3∼4（不包括端点）之间的幸运里程数 x 的取值范围．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A−3,1，B−1,1，Cm,n，其中 n>1，以点 A，B，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为 D1，D2，D3，如图所示．
（1）若 m=−1，n=3，则点 D1，D2，D3 的坐标分别是 ， ， ；
（2）是否存在点 C，使得点 A，B，D1，D2，D3 在同一条抛物线上?若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，说明理由．

27. 如图，在等边 △ABC 中，D，E 分别是边 AC，BC 上的点，且 CD=CE，∠DBC<30∘，点 C 与点 F 关于 BD 对称，连接 AF，FE，FE 交 BD 于 G．
（1）连接 DE，DF，则 DE，DF 之间的数量关系是 ；
（2）若 ∠DBC=α，求 ∠FEC 的大小；（用 α 的式子表示）
（3）用等式表示线段 BG，GF 和 FA 之间的数量关系，并证明．

28. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数 k，对于函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点 a,b1，a+1,b2，b2−b1≥k 都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的 k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数 y=−x+2，当 x 取值 a 和 a+1 时，函数值分别为 b1=−a+2，b2=−a+1，故 b2−b1=−1≥k，因此函数 y=−x+2 是限减函数，它的限减系数为 −1．
（1）写出函数 y=2x−1 的限减系数；
（2）m>0，已知 y=1x−1≤x≤m,x≠0 是限减函数，且限减系数 k=4，求 m 的取值范围；
（3）已知函数 y=−x2 的图象上一点 P，过点 P 作直线 l 垂直于 y 轴，将函数 y=−x2 的图象在点 P 右侧的部分关于直线 l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数 k≥−1，直接写出 P 点横坐标 n 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. B
4. A
5. C
6. B
7. C
8. C
第二部分
9. 3a+12
10. 6π
11. 4
12. 12
13. 100x−1002.74x=18.75
14. 4
15. 直径所对的圆周角为直角，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
16. 52≤m≤3
第三部分
17. 原式=32−4×22+1−4=2−3.
18. 去分母，得
6x−3x+2<22−x.
去括号，得
6x−3x−6<4−2x.
移项，合并得
5x<10.
系数化为 1，得
x<2.
不等式的解集在数轴上表示如图：
19. 因为 AD=3，AE=4，ED=5，
所以 AD2+AE2=ED2．
所以 ∠A=90∘．
所以 DA⊥AB．
因为 ∠C=90∘，
所以 DC⊥BC．
因为 BD 平分 ∠ABC，
所以 DC=AD．
因为 AD=3，
所以 CD=3．
20. （1） 依题意，得 Δ=−m+32−4×1×3m=m−32．
因为 m−32≥0，
所以方程总有实数根．
（2） 因为原方程有两个实数根 3，m，
所以取 m=4，可使原方程的两个根中只有一个根小于 4．
注：只要 m≥4 均满足题意．
21. （1） 因为 AB∥CD，
所以 ∠ABE=∠EDC．
因为 ∠BEA=∠DEF，
所以 △ABE∽△FDE．
所以 ABDF=BEDE．
因为 E 是 BD 的中点，
所以 BE=DE．
所以 AB=DF．
因为 F 是 CD 的中点，
所以 CF=FD．
所以 CD=2AB．
因为 ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，
所以 △ABG∽△CDG．
所以 BGGD=ABCD=12．
（2） 因为 AB∥CF，AB=CF，
所以四边形 ABCF 是平行四边形．
因为 CE=BE，BE=DE，
所以 CE=ED．
因为 CF=FD，
所以 EF 垂直平分 CD．
所以 ∠CFA=90∘．
所以四边形 ABCF 是矩形．
22. （1） 设点 B 的坐标为 x,y，由题意得：BF=y，BM=x．
因为矩形 OMBF 的面积为 3，
所以 xy=3．
因为 B 在双曲线 y=kx 上，
所以 k=3．
（2） 因为点 B 的横坐标为 3，点 B 在双曲线上，
所以点 B 的坐标为 3,1．
设直线 l 的解析式为 y=ax+b．
因为直线 l 过点 P2,2，B3,1，
所以 2a+b=2,3a+b=1, 解得 a=−1,b=4.
所以直线 l 的解析式为 y=−x+4．
因为直线 l 与 x 轴交于点 C4,0，
所以 BC=2．
（3） 增大
23. （1） 60
（2） 连接 OD，
因为 CD⊥AB，AB 是 ⊙O 的直径，
所以 CM=MD．
因为 M 是 OA 的中点，
所以 AM=MO．
又因为 ∠AMC=∠DMO，
所以 △AMC≌△OMD．
所以 ∠ACM=∠ODM．
所以 CA∥OD．
因为 DE⊥CA，
所以 ∠E=90∘．
所以 ∠ODE=180∘−∠E=90∘．
所以 DE⊥OD．
所以 DE 与 ⊙O 相切．
（3） 连接 CF，CN，
因为 OA⊥CD 于 M，
所以 M 是 CD 中点，
所以 NC=ND．
因为 ∠CDF=45∘，
所以 ∠NCD=∠NDC=45∘．
所以 ∠CND=90∘．
所以 ∠CNF=90∘．
由（1）可知 ∠AOD=60∘．
所以 ∠ACD=12∠AOD=30∘．
在 Rt△CDE 中，∠E=90∘，∠ECD=30∘，DE=3，
所以 CD=DEsin30∘=6．
在 Rt△CND 中，∠CND=90∘，∠CDN=45∘，CD=6，
所以 CN=CD⋅sin45∘=32．
由（1）知 ∠CAD=2∠OAD=120∘，
所以 ∠CFD=180∘−∠CAD=60∘．
在 Rt△CNF 中，∠CNF=90∘，∠CFN=60∘，CN=32，
所以 FN=CNtan60∘=6．
24. （1） 补充表格：
运动员平均数中位数众数甲8.599乙和10
（2） 答案不唯一，可参考的答案如下：
甲选手：和乙选手的平均成绩相同，中位数高于乙，打出 9 环及以上的次数更多，打出 7 环的次数较少，说明甲选手相比之下发挥更加稳定；
乙选手：与甲选手平均成绩相同，打出 10 环次数和 7 环次数都比甲多，说明乙射击时起伏更大，但也更容易打出 10 环的成绩．
25. （1）
行驶里程数x00 （2） 如图所示：
（3） ① w2②如上图所示．
26. （1） D1−3,3；D21,3；D3−3,−1
（2） 不存在．理由如下：
假设满足条件的 C 点存在，即 A，B，D1，D2，D3 在同一条抛物线上，则线段 AB 的垂直平分线 x=−2 即为这条抛物线的对称轴，而 D1，D2 在直线 y=n 上，则 D1D2 的中点 C 也在抛物线对称轴上，故 m=−2，即点 C 的坐标为 −2,n．
由题意得：D1−4,n，D20,n，D3−2,2−n．
注意到 D3 在抛物线的对称轴上，故 D3 为抛物线的顶点．
设抛物线的表达式是 y=ax+22+2−n．
当 x=−1 时，y=1，代入得 a=n−1．
所以 y=n−1x+22+2−n．
令 x=0，得 y=4n−1+2−n=3n−2=n，解得 n=1，与 n>1 矛盾．
所以不存在满足条件的 C 点．
27. （1） DE=DF
（2） 连接 DE，DF，
因为 △ABC 是等边三角形，
所以 ∠C=60∘．
因为 ∠DBC=α，
所以 ∠BDC=120∘−α．
因为点 C 与点 F 关于 BD 对称，
所以 ∠BDF=∠BDC=120∘−α，DF=DC．
所以 ∠FDC=120∘+2α．
由（1）知 DE=DF．
所以 F，E，C 在以 D 为圆心，DC 为半径的圆上．
所以 ∠FEC=12∠FDC=60∘+α．
（3） BG=GF+FA．理由如下：
连接 BF，延长 AF，BD 交于点 H，
因为 △ABC 是等边三角形，
所以 ∠ABC=∠BAC=60∘，AB=BC=CA．
因为点 C 与点 F 关于 BD 对称，
所以 BF=BC，∠FBD=∠CBD．
所以 BF=BA．
所以 ∠BAF=∠BFA．
设 ∠CBD=α，则 ∠ABF=60∘−2α．
所以 ∠BAF=60∘+α．
所以 ∠FAD=α．
所以 ∠FAD=∠DBC．
由（2）知 ∠FEC=60∘+α．
所以 ∠BGE=∠FEC−∠DBC=60∘．
所以 ∠FGB=120∘，∠FGD=60∘．
四边形 AFGB 中，∠AFE=360∘−∠FAB−∠ABG−∠FGB=120∘．
所以 ∠HFG=60∘．
所以 △FGH 是等边三角形．
所以 FH=FG，∠H=60∘．
因为 CD=CE，
所以 DA=EB．
在 △AHD 与 △BGE 中，
∠AHD=∠BGE,∠HAD=∠GBE,AD=BE.
所以 △AHD≌△BGE．
所以 BG=AH．
因为 AH=HF+FA=GF+FA，
所以 BG=GF+FA．
28. （1） 函数 y=2x−1 的限减系数是 2．
（2） 若 m>1，则 m−1>0，m−1,1m−1 和 m,1m 是函数图象上两点，
1m−1m−1=−1mm−1<0，与函数的限减系数 k=4 不符，
所以 m≤1．
若 0则 0因为 −tt−1>0，且 −tt−1=−t−122+14≤−m−122+14<14，
所以 1t−1t−1>4，与函数的限减系数 k=4 不符．
所以 m≥12．
若 12≤m≤1，t−1,1t−1 和 t,1t 是函数图象上横坐标之差为 1 的任意两点，
则 0因为 −tt−1>0，且 −tt−1=−t−122+14≤14，
所以 1t−1t−1=1−tt−1≥4，当 t=12 时，等号成立，
故函数的限减系数 k=4．
所以 m 的取值范围是 12≤m≤1．
（3） −1≤n≤1．