2020年北京市海淀区中考一模数学试卷

这是一份2020年北京市海淀区中考一模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −2 的相反数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 下列几何体中，主视图为矩形的是
A. B.
C. D.

3. 北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在 2019 年首次突破 19000000 人次大关．将 19000000 用科学记数法可表示为
A. 0.19×108B. 0.19×107C. 1.9×107D. 19×106

4. 北京大兴国际机场于 2019 年 6 月 30 日完美竣工，如图是世界著名建筑设计大师扎哈设计的机场成体俯视图的示意图．下列说法正确的是
A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形
C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形
D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

5. 将抛物线 y=2x2 向下平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式是
A. y=2x2+3B. y=2x2−3C. y=2x−32D. y=2x+32

6. 如图，AB 与 ⊙O 相切于点 B，连接 AO 并延长，交 ⊙O 于点 C，连接 BC，若 OC=12OA，则 ∠C 等于
A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

7. 若实数 m，n，p，q 在数轴上的对应点的位置如图所示，且 ? 与 ? 互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是
A. 点 MB. 点 NC. 点 PD. 点 Q

8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AB，CD，EF，GH 是正方形 OPQR 边上的线段，点 M 在其中某条线段上，若射线 OM 与 x 轴正半轴的夹角为 α，且 sinα>csα，则点 M 所在的线段可以是
A. AB 和 CDB. AB 和 EFC. CD 和 GHD. EF 和 GH

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若 x−1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=2，且 tanA=13，则 AC= ．

11. 分解因式：ab2−ac2= ．

12. 若一个多边形的每个外角都是 40∘，则该多边形的边数为 ．

13. 某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放 7 个网络教室，其中 4 个是数学答疑教室，3 个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为 ．

14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 CD 至点 E，使 DE=DC，连接 BE 又 AC 于点 F，则 BFFE 的值是 ．

15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了 3 个篮球和 2 个足球，共花费了 474 元，其中篮球的单价比足球的单价多 8 元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意可列方程组为 ．

16. 如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：
①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；
②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；
③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；
④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．
所有正确结论的序号是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：−20+12−2sin30∘+−3．

18. 解不等式组：3x−1<2x,2x+1>x−12.

19. 如图，已知等边三角形 ABC，延长 BA 至点 D，延长 AC 至点 E，使 AD=CE，连接 CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 x2−2x+2m−1=0．
（1）当 m=−1 时，求此方程的根；
（2）若此方程有两个实数根，求 ? 的取值范围．

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC=60∘，∠BAD 的平分线交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F，连接 DF．
（1）求证：△ABF 是等边三角形；
（2）若 ∠CDF=45∘，CF=2，求 AB 的长度．

22. 致敬，最美逆行者！
病毒虽无情，人间有大爱，2020 年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有 30 个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至 3 月 1 日，这 30 个省（区、市）累计派出医务人员总数多达 38478 人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为 7381 人．
a．全国 30 个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（数据分成 6 组：100≤x<500，500≤x<900，900≤x<1300，1300≤x<1700，1700≤x<2100，2100≤x<2500）；
b．全国 30 个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在 900≤x<1300 这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．
根据以上信息回答问题：
（1）这次支援湖北省抗疫中，全国 30 个省（区、市）派往武汉的医务人员总数 ．
A．不到 3 万人
B．在 3 万人到 3.5 万人之间
C．超过 3.5 万人
（2）全国 30 个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是 ，其中医务人员人数超过 1000 人的省（区、市）共有 个．
（3）据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90 后”也有“00 后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90 后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷．”
小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90 后”医务人员的数据：
C市派出的 1614 名医护人员中有 404 人是“90 后”；
H市派出的 338 名医护人员中有 103 人是“90 后”；
B市某医院派出的 148 名医护人员中有 83 人是“90 后”．
小华还了解到除全国 30 个省（区、市）派出 38478 名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约 4.2 万人．请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按 4.2 万人计）中，“90 后”大约有多少万人?（写出计算过程，结果精确到 0.1）

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x=3 与直线 y=12x+1 交于点 A，函数 y=kxk>0,x>0 的图象与直线 x=3，直线 y=12x+1 分别交于点 B，C．
（1）求点 A 的坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数 y=kxk>0,x>0 的图象在点 B，C 之间的部分与线段 AB，AC 围成的区域（不含边界）为 W．
①当 k=1 时，结合函数图象，求区域 W 内整点的个数；
②若区域 W 内恰有 1 个整点，直接写出 k 的取值范围．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，点 D 为 BC 边的中点，以 AD 为直径作 ⊙O，分别与 AB，AC 交于点 E，F，过点 E 作 EG⊥BC 于 G．
（1）求证：EG 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AF=6，⊙O 的半径为 5，求 BE 的长．

25. 某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队．这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数．这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表．
根据上表回答下列问题：
（1）第一组一共进行了 场比赛，A队的获胜场数 x 为 ；
（2）当B队的总积分 y=6 时，上表中 m 处应填 ，n 处应填 ；
（3）写出C队总积分 p 的所有可能值为： ．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−2mx+m2+m 的顶点为 A．
（1）当 m=1 时，直接写出抛物线的对称轴；
（2）若点 A 在第一象限，且 OA=2，求抛物线的解析式；
（3）已知点 Bm−12,m+1，C2,2，若抛物线与线段 BC 有公共点，结合函数图象，直接写出 m 的取值范围．

27. 已知 ∠MON=α，A 为射线 OM 上一定点，OA=5，B 为射线 ON 上一动点，连接 AB，满足 ∠OAB，∠OBA 均为锐角．点 C 在线段 OB 上（与点 O，B 不重合），满足 AC=AB，点 C 关于直线 OM 的对称点为 D，连接 AD，OD．
（1）依题意补全图 1．
（2）求 ∠BAD 的度数（用含 α 的代数式表示）；
（3）若 tanα=34，点 P 在 OA 的延长线上，满足 AP=OC，连接 BP，写出一个 AB 的值，使得 BP∥OD，并证明．

28. A，B 是 ⊙C 上的两个点，点 P 在 ⊙C 的内部，若 ∠APB 为直角，则称 ∠APB 为 AB 关于 ⊙C 的内直角，特别地，当圆心 C 在 ∠APB 边（含顶点）上时，称 ∠APB 为 AB 关于 ⊙C 的最佳内直角，如图 1，∠AMB 是 AB 关于 ⊙C 的内直角，∠ANB 是 AB 关于 ⊙C 的最佳内直角，在平面直角坐标系 xOy 中．
（1）如图 2，⊙O 的半径为 5，A0,−5，B4,3 是 ⊙O 上两点．
① 已知 P11,0，P20,3，P3−2,1，在 ∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B 中，是 AB 关于 ⊙O 的内直角的是 ；
② 若在直线 y=2x+b 上存在一点 P，使得 ∠APB 是 AB 关于 ⊙O 的内直角，求 b 的取值范围．
（2）点 E 是以 Tt,0 为圆心，4 为半径的圆上一个动点，⊙T 与 x 轴交于点 D（点 D 在点 T 的右边）．现有点 M1,0，N0,n，对于线段 MN 上每一点 H，都存在点 T，使 ∠DHE 是 DE 关于 ⊙T 的最佳内直角，请直接写出 n 的最大值，以及 n 取得最大值时 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. A
5. B
6. B
7. C
8. D
第二部分
9. x≥1
10. 6
11. ab+cb−c
12. 9
13. 47
14. 12
15. 3x+2y=474,x−y=8
16. ①②③
第三部分
17. −20+12−2sin30∘+−3=1+23−2×12+3=33.
18. 解不等式 3x−1<2x，得
3x−3<2x.
即
x<3.
解不等式 2x+1>x−12，得
4x+2>x−1.
即
x>−1.
所以不等式组的解集为
−119. ∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60∘，
∴∠CAD=∠BCE=120∘．
在 △ACD 和 △CBE 中，
AD=CE,∠CAD=∠BCE,AC=CB,
∴△ACD≌△CBESAS．
20. （1） 当 m=−1 时，原方程可化为 x2−2x−3=0．
得 x−3x+1=0．
即 x1=3，x2=−1．
（2） 由题意，原方程有两个实数根，
得 Δ=−22−42m−1≥0．
得 8−8m≥0．
即 m≤1．
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠B+∠BAD=180∘．
∵∠B=60∘，
∴∠BAD=120∘．
∵AE 为 ∠BAD 的平分线，
∴∠FAB=60∘．
∴△ABF 是等边三角形．
（2） 过点 F 做 FG⊥CD 于 G．
∵AB∥CD，
∴∠FCD=∠B=60∘．
∵FG⊥CD，
∴∠FGC=90∘．
∵∠FCD=60∘，
∴∠GFC=30∘．
∵CF=2，
∴CG=1，FG=3．
∵∠CDF=45∘，∠FGD=90∘，
∴DG=FG=3．
∴CD=3+1．
22. （1） B
（2） 1021；15
（3） 404+103+831614+338+148×4.2=5902100×4.2≈1.2．
答：支援湖北省的全体医务人员中，“90 后”大约有 1.2 万人．
23. （1） 依题意，x=3,y=12x+1.
∴x=3,y=52.
∴ 点 A 的坐标为 3,52．
（2） ①当 k=1 时，结合函数图象，可得区域 W 内整点的个数为 1．
② 1≤k<2 或 1624. （1） 如图，连接 OE．
∵Rt△ABC 中，点 D 为 BC 边中点，
∴AD=BD．
∴∠BAD=∠DBA．
∵OE=OA，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠OEA=∠DBA．
∴OE∥BD．
又 ∵EG⊥BC，
∴OE⊥EG．
又 ∵OE 是半径，
∴EG 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 DE，DF．
∵AD 为 ⊙O 的直径，
∴∠AED=∠AFD=90∘．
又 ∵∠BAC=90∘，
∴ 四边形 AEDF 为矩形．
∴DE=AF=6．
又 ∵BD=AD=10，
∴ 在 Rt△BDE 中，BE=BD2−DE2=8．
25. （1） 10；3
（2） 0:2；2:0
（3） 9 或 10
26. （1） x=1．
（2） ∵y=x2−2mx+m2+m=x−m2+m，
∴ 抛物线 y=x2−2mx+m2+m 的顶点 A 的坐标为 m,m，
∵ 若点 A 在第一象限，且点 A 的坐标为 m,m，
过点 A 作 AM 垂直 x 轴于 M，连接 OA，
∵m>0，
∴OM=AM=m，
∴OA=2m，
∵OA=2，
∴m=1，
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x+2．
（3） m≤1 或 m≥2．
27. （1） 如图所示．
（2） ∵AB=AC，
∴∠1=∠2．
∵ 点 C，D 关于直线 OM 对称，A 在 OM 上，
∴AC=AD，OC=OD．
∵OA=OA，
∴△ACO≌△ADO．
∴∠3=∠D，∠4=∠AOC．
∵∠1+∠3=180∘，
∴∠2+∠D=180∘．
∴∠BAD+∠DOB=180∘，
∵∠AOC=∠4=α，
∴∠BAD=180∘−2α．
（3） AB=10．
证明如下：
过点 A 作 AH⊥ON 于 H．
∵tan∠AOH=tanα=34，
∴AHOH=34，
∵Rt△AOH 中，AO=5，AH2+OH2=AO2，
∴AH=3，OH=4．
∵AB=10，
∴BH=AB2−AH2=1．
∴OB=OH+BH=5．
∴OA=OB．
∴∠BAO=∠ABO．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABO．
∴∠BAO=∠ACB．
∵∠1+∠OAB=180∘，∠2+∠ACB=180∘，
∴∠1=∠2．
∵AC=AB，AP=OC，
∴△APB≌△COA．
∴∠3=∠AOB．
∵ 点 C，D 关于 OM 对称，
∴∠AOB=∠4．
∴∠3=∠4．
∴PB∥OD．
28. （1） ① ∠AP2B，∠AP3B
② ∵∠APB 是 AB 关于 ⊙O 的内直角，
∴∠APB=90∘，且点 P 在 ⊙O 的内部．
∴ 满足条件的点 P 形成的图形为如图中的半圆 H（点 A，B 均不能取到），
过点 B 做 BD⊥y 轴于点 D，
∵A0,−5，B4,3，
∴BD=4，AD=8，
并可求出直线 AB 的解析式为 y=2x−5，
∴ 当直线 y=2x+b 过直径 AB 时，b=−5．
连接 OB，作直线 OH 交半圆 H 于点 E，过点 E 的直线 EF∥AB，交 y 轴于点 F．
∵OA=OB，AH=BH，
∴EH⊥AB，
∴EH⊥EF，
∴EF 是半圆 H 的切线，
∵∠OAH=∠OAH，∠OHB=∠BDA=90∘，
∴△OAH∽△BAD，
∴OHAH=BDAD=48=12，
∴OH=12AH=12EH，
∴HO=EO，
∵∠EOF=∠AOH，∠FEO=∠AHO=90∘，
∴△EOF≌△HOA，
∴OF=OA=5，
∵EF∥AB，直线 AB 的解析式为 y=2x−5，
∴ 直线 EF 的解析式为 y=2x+5，
此时 b=5，
∴b 的取值范围为 −5 （2） n 取得最大值为 2．
t 的取值范围为 −5−1≤t<5．