2020年北京市房山区中考二模数学试卷

这是一份2020年北京市房山区中考二模数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在迎来庆祝新中国成立 70 周年之后，对于中国而言，2020 年又将是一个新的时间坐标．过去 40 年，中国完成了卓越的经济转型，八亿两千万人成功脱贫，这是人类发展史上具有里程碑意义的重大成就．将 820000000 用科学记数法表示为
A. 8.2×109B. 0.82×109C. 8.2×108D. 82×107

2. 如图是某个几何体的三视图，该几何体是
A. 长方体B. 三棱柱C. 正方体D. 圆柱

3. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. b0D. a>b

4. 《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求，于 2020 年 5 月 1 日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善城乡环境，保障人体健康．下列垃圾分类标志，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 李老师是一位运动达人，他通过佩戴智能手环来记录自已一个月（30 天）每天所走的步数，并绘制成如下统计图，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是
A. 1.6，1.5B. 1.7，1.6C. 1.7，1.7D. 1.7，1.55

6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 至点 E，使 AD=2DE，连接 BE 交 CD 于点 F，交 AC 于点 G，则 CGAG 的值是
A. 23B. 13C. 12D. 34

7. 如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果．下面有三个推断：
①当抛掷次数是 100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，所以“正面向上”的概率是 0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率一定是 0.45．
其中合理的是
A. ①B. ②C. ①②D. ①③

8. 2020 年是 5G 爆发元年，三大运营商都在政策的支持下，加快着 5G 建设的步伐．某通信公司实行的 5G 畅想套餐，部分套餐资费标准如下：
小武每月大约使用国内数据流量 49 GB，国内主叫 350 分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是
A. 套餐 1B. 套餐 2C. 套餐 3D. 套餐 4

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 若分式 x+1x−1 值为 0，则 x 的值是 ．

10. 如图，扇形 AOB，通过测量、计算，得 AB 的长约为 cm（π 取 3.14，结果保留一位小数）

11. 如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点 −3,−2，“炮”位于点 −2,0，则“兵”位于的点的坐标为 ．

12. 如图，一个大正方形被分成两个正方形和两个一样的矩形，请根据图形，写出一个含有 a，b 的正确的等式 ．

13. 如果 m+n=4，那么代数式 m2+n2m+2n⋅2mm+n 的值为 ．

14. 已知一组数据 x1，x2，x3，⋯，xn 的方差是 S2，那么另一组数据 x1−3，x2−3，x3−3，⋯，xn−3 的方差是 ．

15. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何?”
译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈 =10 尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为 6 尺，问折断处离地面的高度为多少尺?”
如图，我们用点 A，B，C 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度 BC 为 x 尺，则可列方程为 ．

16. 下面是“作一个 30∘ 角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点 A．
求作：∠A，使得 ∠A=30∘．
作法：如图．
（1）作射线 AB；
（2）在射线 AB 上取一点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C；
（3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与 ⊙O 交于点 D，作射线 AD．则 ∠DAB 即为所求的角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：18−15−1+4sin30∘+2−1．

18. 解不等式组：3x+1<2x,x−12
19. 如图，在 △ABC 中，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，DE∥AB 交 BC 于点 E，F 是 BD 中点．
求证：EF 平分 ∠BED．

20. 已知关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+3=0．
（1）当 k=1 时，求此方程的根；
（2）若此方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．

21. 如图，菱形 ABCD 中，分别延长 DC，BC 至点 E，F，使 CE=CD，CF=CB，连接 DB，BE，EF，FD．
（1）求证：四边形 DBEF 是矩形；
（2）若 AB=5，cs∠ABD=35，求 DF 的长．

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y=kxx>0 的图象与直线 y=x−1 交于点 A3,m．
（1）求 k 的值；
（2）已知点 Pn,0n>0，过点 P 作垂直于 x 轴的直线，交直线 y=x−1 于点 B，交函数 y=kxx>0 于点 C．
①当 n=4 时，判断线段 PC 与 BC 的数量关系，并说明理由；
②若 PC≤BC，结合图象，直接写出 n 的取值范围．

23. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，以 BC 为直径的 ⊙O 交 AB 于点 D，E 是 AC 中点，连接 DE．
（1）判断 DE 与 ⊙O 的位置关系并说明理由；
（2）设 CD 与 OE 的交点为 F，若 AB=10，BC=6，求 OF 的长．

24. GDP 是指一个国家（或地区）在一定时期内生产活动的最终成果，常被公认为是衡量经济状况的最佳指标．截止 2020 年 4 月 27 日，对除西藏外的 30 个省区市第一季度有关 GDP 的数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．各省区市 GDP 数据的频数分布直方图，如图 1（数据分成 6 组，各组是 0b．2020 年第一季度 GDP 数据在这一组的是：
c．30 个省区市 2020 年第一季度及 2019 年 GDP 增速排名统计图，如图 2：
d．北京 2020 年第一季度 GDP 数据约为 7.5 千亿，GDP 增速排名为第 22．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）在 30 个省区市中，北京 2020 年第一季度 GDP 的数据排名第 ．
（2）在 30 个省区市 2020 年第一季度及 2019 年 GDP 增速排名统计图中，请在图中用“○”圈出代表北京的点．
（3）2020 年第一季度 GDP 增速排名位于北京之后的几个省份中，2019 年 GDP 增速排名的最好成绩是第 ．
（4）下列推断合理的是 ．
①与 2019 年 GDP 增速排名相比，在疫情冲击下，2020 年全国第一季度增速排名，部分省市有较大下滑，如 D 代表的湖北排名下滑最多；
② A，B，C 分别代表的新疆、广西、青海位于西部地区，多为人口净流出或少量净流入，经济发展主要依靠本地劳动力供给，疫后复工复产效率相对较高，相对于 2019 年 GDP 增速排名位置靠前．

25. 已知线段 AB=6 cm，点 M 是线段 AB 上一动点，以 AB 为直径作 ⊙O，点 C 的圆周上一点且 AC=4 cm．连接 CM，过点 A 作直线 CM 的垂线，交 ⊙O 于点 N，连接 CN，设线段 AM 的长为 x cm，线段 AN 的长为 y1 cm，线段 CN 的长为 y2 cm．
小华同学根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2，随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2 与 x 的几组对应值：
请你补全表格的相关数值，保留两位小数．
（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点 x,y1，x,y2，并画出函数 y1，y2 的图象（函数 y2 的图象如图，请你画出 y1 的图象）．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 △CAN 是等腰三角形时，AM 的长度约为 cm．

26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+2ax+c 与 x 轴交于点 A，B，且 AB=4．抛物线与 y 轴交于点 C，将点 C 向上移动 1 个单位得到点 D．
（1）求抛物线对称轴；
（2）求点 D 纵坐标（用含有 a 的代数式表示）；
（3）已知点 P−4,4，若抛物线与线段 PD 只有一个公共点，求 a 的取值范围．

27. 点 C 为线段 AB 上一点，以 AC 为斜边作等腰 Rt△ADC，连接 BD，在 Rt△ABD 外侧，以 BD 为斜边作等腰 Rt△BED，连接 EC．
（1）如图 1，当 ∠DBA=30∘ 时：
①求证：AC=BD；
②判断线段 EC 与 EB 的数量关系，并证明；
（2）如图 2，当 0∘<∠DBA<45∘ 时，EC 与 EB 的数量关系是否保持不变?
对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：
想法 1：尝试将点 D 为旋转中心，过点 D 作线段 BD 垂线，交 BE 延长线于点 G，连接 CG；通过证明 △ADB≌△CDG 解决以上问题；
想法 2：尝试将点 D 为旋转中心，过点 D 作线段 AB 垂线，垂足为点 G，连接 EG．通过证明 △ADB∽△GDE 解决以上问题；
想法 3：尝试利用四点共圆，过点 D 作 AB 垂线段 DF，连接 EF，通过证明 D，F，B，E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．
请你参考上面的想法，证明 EC=EB（一种方法即可）．

28. 过三角形的任意两个顶点画一条弧，若弧上的所有点都在该三角形的内部或边上，则称该弧为三角形的“形内弧”．
（1）如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AB=AC=2．
①在下图中画出一条 Rt△ABC 的形内弧；
②在 Rt△ABC 中，其形内弧的长度最长为 ．
（2）在平面直角坐标系中，点 D−2,0，E2,0，F0,1．点 M 为 △DEF 形内弧所在圆的圆心．求点 M 纵坐标 yM 的取值范围；
（3）在平面直角坐标系中，点 M2,23，点 G 为 x 轴上一点，点 P 为 △OMG 最长形内弧所在圆的圆心，求点 P 纵坐标 yP 的取值范围．
答案
第一部分
1. C
2. B
3. D
4. C
5. B
6. A
7. B
8. C
第二部分
9. −1
10. 3.1
11. −5,1
12. a+b2=a2+2ab+b2
13. 8
14. S2
15. x2+62=20−x2
16. 同圆或等圆半径相等，三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的内角是 60∘，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半（直径所对的圆周角是直角，正弦定义，三角函数值）
第三部分
17. 18−15−1+4sin30∘+2−1=32−5+4×12+2−1=42−4.
18.
3x+1<2x, ⋯⋯①x−12解不等式 ①：
3x+3<2x.
得
x<−3.
解不等式 ②：
x−1<2x+4.
得
x>−5.
不等式组的解集是
−519. ∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE．
∴∠CBD=∠BDE．
∴EB=ED．
∵F 是 BD 中点，
∴EF 平分 ∠BED．
20. （1） 当 k=1 时，此方程为 x2−4x+3=0，
x−1x−3=0，x1=1，x2=3．
（2） 由题意得 k≠0，Δ=16−12k>0．
∴k<43．
∴k<43 且 k≠0．
21. （1） ∵CE=CD，CF=CB，
∴ 四边形 DBEF 是平行四边形，DE=2CD，BF=2BC．
∵ 菱形 ABCD 中，CD=CB．
∴DE=BF．
∴ 四边形 DBEF 是矩形．
（2） ∵AB=5，
∴BF=10．
∵ 菱形 ABCD 中，cs∠ABD=35，∠DBF=∠ABD．
∴cs∠DBF=35．
∵∠BDF=90∘，
∴DB=6．
∴DF=8．
22. （1） 把 x=3 代入 y=x−1 得 y=2．
∴A3,2．
又 y=kxx>0 图象过点 A3,2，解得 k=6．
（2） ① PC=BC．
当 n=4 时，B4,3，C4,32，
PC=32，BC=32．
② 023. （1） DE 与 ⊙O 相切．
连接 OD，CD，OE．
∵BC 为 ⊙O 的直径．
∴∠CDA=∠CDB=90∘．
∵E 是 AC 中点，
∴ED=EC．
∵OC=OD，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE．
∴∠ODE=∠OCE=90∘．
∴OD⊥DE．
∴DE 与 ⊙O 相切．
（2） ∵∠ACB=90∘，AB=10，BC=6，
∴AC=8，CE=4，OC=3．
∵DE，CE 与 ⊙O 相切，
∴DE=CE，∠CEO=∠DEO．
∴OE⊥CD．
∴OE=5．
∵OC⋅CE=OE⋅CF．
∴CF=125．
∴OF=95．
24. （1） 11
（2） 如图．
（3） 8
（4） ①②
25. （1） 5.48
【解析】
（2）
（3） 2.98 cm 或 1.50
26. （1） 对称轴 x=−2a2a=−1．
（2） ∵AB=4，A−3,0，B1,0，
把 1,0 代入表达式：a+2a+c=0 得：c=−3a．
∴C0,−3a．
∴D0,−3a+1，yD=−3a+1．
（3） 当 a>0 时，将点 P−4,4 代入抛物线 y=ax2+2ax−3a 得：
4=16a−8a−3a，a=45．
∴ 当 a≥45 时，抛物线与线段 PD 只有一个交点；
当 a<0 时，抛物线的顶点为 −1,−4a，
当 −4a=4 时，a=−1．
综上所述，当 a≥45 或 a=−1 时，抛物线与线段 PD 只有一个交点．
27. （1） ①过点 D 作 DF⊥AC 于 F．
∵∠DBA=30∘，
∴DF=12BD．
∵ 以 AC 为斜边作等腰 Rt△ADC，
∴AF=FC．
∴DF=12AC．
∴AC=BD．
② ∵ 等腰 Rt△ADC 与等腰 Rt△BED 中，AC=BD，
∴DC=DE，∠FDC=∠CDE=45∘．
∵∠DBA=30∘，
∴∠FDB=60∘，∠CDB=15∘．
∴∠CDE=60∘．
∴△CDE 是等边三角形．
∵EB=DE，
∴EC=EB．
（2） 法 1．添加辅助线．
证出 △ADB≌△CDG．
∴∠DCG=∠A=45∘．
∴∠GCB=90∘．
∵EG=EB，
∴EC=EB．
【解析】法 2．添加辅助线．
证出 △ADB∽△GDE．
∴∠DGE=∠A=45∘．
∴GE 平分 ∠DGC．
∴GE 是 DC 的中垂线．
∴ED=EC=EB．
法 3．添加辅助线．
证出 ∠EFB=∠EDB=45∘．
∴FE 是 DC 的中垂线，
∴ED=EC=EB．
28. （1） ①如图所示．
② π
【解析】①如图所示．
②当 OB=2 时，Rt△ABC 的形内弧最长，此时弧长 =π．
（2） 当圆心在 x 轴下方时，此时最长形内弧与线段 DF，EF 相切，
∵△DOF∽△DOM1，
∴OF⋅OM1=OD2．
∴OM1=4．
∴yM≤−4；
当圆心在 x 轴上方时，此时最长形内弧与 x 轴相切，
∵△EGM2∽△HEG，
∴HG⋅HM2=HE2．
∴EH=52．
∴EM2=52．
∴yM≥52．
综上所述，yM≤−4 或 yM≥52．
（3） 当 xG≤−4 时，此时最长形内弧与 x 轴相切，
∵△GOP1∽△GHO，
∴GP1=43．
∴yP1≥43；
当 −4解得 yP2≥43；
当 0解得 yP3≥433；
当 xG≥4 时，此时最长形内弧与线段 MG 相切，
解得 yP4≤−233．
综上所述，yP≥433 或 yP≤−233．