人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.5 全称量词与存在量词课后练习题，共14页。试卷主要包含了若命题P等内容，欢迎下载使用。

2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《1.5全称量词与存在量词》
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•建邺区校级月考）已知命题：“∃x∈R，x2+ax﹣4a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为（　　）
A．{a|﹣16≤a≤0} B．{a|﹣16＜a＜0} C．{a|﹣4≤a≤0} D．{a|﹣4＜a＜0}
2．（2020秋•青岛期末）命题“对∀x∈R，都有sinx≤1”的否定为（　　）
A．对∀x∈R，都有sinx＞1 B．对∀x∈R，都有sinx≤﹣1
C．∃x0∈R，使得sinx0＞1 D．∃x0∈R，使得sinx≤1
3．（2020秋•湖北期中）如果∃x0∈R，使x02+ax0+1＜0成立，那么实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[2，+∞） D．∅
4．（2020秋•天心区校级月考）已知对∀x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，则m的取值范围为（　　）
A．m≥3 B．m＞3 C．m＞1 D．m≥1
5．（2020秋•雨花区校级月考）已知命题“∃x∈R，使4x2+x+”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．0≤a≤4 C．a≥4 D．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•上饶模拟）已知命题“存在x∈R，使ax2﹣x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　 　．
7．（2020秋•金台区期末）若“存在x∈[1，2]，使x﹣a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　 　．
8．（2020秋•福州期末）若命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，则m的取值范围是　 　．
9．（2020秋•阜宁县期末）若命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，则实数a的取值范围是　 　．
10．（2021•大连模拟）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•朝阳区校级月考）若命题“存在实数x∈{x|﹣2≤x≤﹣1}，使得x+x2+3﹣m＜0”是假命题，求实数m的取值范围．
12．（2019秋•桐城市校级月考）已知，命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．
13．（2019秋•高安市校级期中）已知函数．
（1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；
（2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．
14．（2020秋•邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；
（Ⅱ）q：∃x∈R，使x2+3x+5≤0．
15．（2020秋•荆州区校级月考）设命题p：∃x∈R，x2﹣2x+m﹣3＝0，命题q：∀x∈R，x2﹣2（m﹣5）x+m2+19≠0．若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．

2021年新高一数学人教A版（2019）新课预习《1.5全称量词与存在量词》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021春•建邺区校级月考）已知命题：“∃x∈R，x2+ax﹣4a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为（　　）
A．{a|﹣16≤a≤0} B．{a|﹣16＜a＜0} C．{a|﹣4≤a≤0} D．{a|﹣4＜a＜0}
【考点】存在量词和特称命题．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．
【解答】解：“∃x∈R，x2+ax﹣4a＝0”为假命题等价于“方程x2+ax﹣4a＝0无实根”，
即△＝a2+16a＜0，∴﹣16＜a＜0．
故选：B．
【点评】本题主要考查特称命题，将条件转化为方程无实根是解决本题的关键，属基础题．
2．（2020秋•青岛期末）命题“对∀x∈R，都有sinx≤1”的否定为（　　）
A．对∀x∈R，都有sinx＞1 B．对∀x∈R，都有sinx≤﹣1
C．∃x0∈R，使得sinx0＞1 D．∃x0∈R，使得sinx≤1
【考点】全称量词和全称命题；命题的否定．菁优网版权所有
【专题】规律型；简易逻辑．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题“对∀x∈R，都有sinx≤1”的否定为：∃x0∈R，使得sinx0＞1；
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，熟练掌握全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x0∈M，￢p（x）”是解题的关键．
3．（2020秋•湖北期中）如果∃x0∈R，使x02+ax0+1＜0成立，那么实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．[2，+∞） D．∅
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【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】由已知可得△＞0，解得a即可判断出正误
【解答】解：若命题“∃x0∈R，使得x02+ax0+1＜0成立”为真命题，
则△＞0，解得a＞2或a＜﹣2，因此实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：B．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的理解，属于基础题目．
4．（2020秋•天心区校级月考）已知对∀x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，则m的取值范围为（　　）
A．m≥3 B．m＞3 C．m＞1 D．m≥1
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【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】直接求解即可．
【解答】解：∵对∀x∈{x|1≤x＜3}，都有m＞x，
∴m≥3，
故选：A．
【点评】本题主要考查实数范围的求解，涉及到全称命题，属于基础题目．
5．（2020秋•雨花区校级月考）已知命题“∃x∈R，使4x2+x+”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．0≤a≤4 C．a≥4 D．
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【专题】转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．
【解答】解：∵命题“∃x∈R，使4x2+x+（a﹣2）≤0”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使4x2+x+（a﹣2）＞0”是真命题，
即判别式△＝12﹣4×4×（a﹣2）＜0，
即a＞，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2021•上饶模拟）已知命题“存在x∈R，使ax2﹣x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　（，+∞）　．
【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】依题意，对任意x∈R，ax2﹣x+2＞0，进而建立关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：依题意，对任意x∈R，ax2﹣x+2＞0，故，解得，
故答案为：．
【点评】本题考查命题的真假，转化为不等式的恒成立问题是解题的关键，属于基础题．
7．（2020秋•金台区期末）若“存在x∈[1，2]，使x﹣a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1）　．
【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】利用含有量词的命题的否定将原命题转化为全称命题，然后利用函数的单调性求解即可．
【解答】解：由题转化为命题“∀x∈[1，2]，x﹣a＞0”为真命题，即a＜x恒成立，
又y＝x在[1，2]上单调递增，所以ymin＝1，故a＜1．
故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】本题考查了命题的否定及其和原命题的关系，涉及了不等式恒成立问题的求解，属于基础题．
8．（2020秋•福州期末）若命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，则m的取值范围是　[﹣1，2]　．
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【专题】转化思想；判别式法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】利用一元二次不等式在R上恒成立求解即可．
【解答】解：因为命题“∀x∈R，x2+2mx+m+2≥0”为真命题，
所以△＝（2m）2﹣4（m+2）≤0，
解得﹣1≤m≤2，
故m的取值范围是[﹣1，2]．
故答案为：[﹣1，2]．
【点评】本题考查了含真命题的应用，涉及了一元二次不等式恒成立的求解，属于基础题．
9．（2020秋•阜宁县期末）若命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，则实数a的取值范围是　[3，+∞）　．
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【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】将命题为真命题转化为不等式恒成立，利用判别式小于等于0求解即可．
【解答】解：因为命题P：∀x∈R，x2+2x+a﹣1≥0是真命题，
所以x2+2x+a﹣1≥0对∀x∈R恒成立，
则有，解得a≥3，
故实数a的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
【点评】本题考查了命题真假的应用，涉及了一元二次不等式恒成立的求解，解题的关键是将问题转化为x2+2x+a﹣1≥0对∀x∈R恒成立．
10．（2021•大连模拟）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是　∃x0∈（1，2），x02≤1　．
【考点】全称量词和全称命题；命题的否定．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是：∃x0∈（1，2），x02≤1．
故答案为：∃x0∈（1，2），x02≤1．
【点评】本题考查命题的否定的应用．全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•朝阳区校级月考）若命题“存在实数x∈{x|﹣2≤x≤﹣1}，使得x+x2+3﹣m＜0”是假命题，求实数m的取值范围．
【考点】存在量词和特称命题；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】根据特称命题是假命题，则特称命题的否定是全称命题为真命题，求出实数m的取值范围即可．
【解答】解：∵命题“存在实数x∈{x|﹣2≤x≤﹣1}，使得x+x2+3﹣m＜0”是假命题，
∴命题“任意实数x∈{x|﹣2≤x≤﹣1}，使得x+x2+3﹣m≥0”是真命题，
即x+x2+3≥m，对任意实数x∈{x|﹣2≤x≤﹣1}恒成立，
设f（x）＝x+x2+3，则函数f（x）在[﹣2，﹣1]上为减函数，
则f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣1+1+3＝3，故m≤3，
故答案为：（﹣∞，3]．
【点评】本题主要考查命题真假的应用，根据特称命题为假命题，转化为命题的否定是真命题，利用参数分离法进行求解是解决本题的关键．
12．（2019秋•桐城市校级月考）已知，命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．
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【专题】方程思想；综合法；简易逻辑．
【分析】（1）由题意解△＝a2﹣4×1×2≤0可得；
（2）问题转化为a＝＝x+的值域，由“对勾函数”的单调性可得．
【解答】解：（1）∵命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0为真命题，
∴△＝a2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，
∴实数a的取值范围为[﹣2，2]；
（2）命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0为真命题，
∴a＝＝x+在x∈[﹣3，﹣1]单调递增，在x∈[﹣1，﹣]单调递减，
∴当x＝﹣1时，a取最大值﹣2，当x＝﹣3时a＝﹣，当x＝﹣时a＝﹣，
∴实数a的取值范围为：[﹣，﹣2]
【点评】本题考查带量词的命题，涉及一元二次方程根的存在性和“对勾函数”的单调性，属基础题．
13．（2019秋•高安市校级期中）已知函数．
（1）若f（x）＜k的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，求实数k的值；
（2）若∀x1∈[2，4]，都∃x2∈[2，4]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数m的取值范围．
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【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）由函数的解集得不等式转化为方程的两根，进而求出k的值；
（2）由题意可得f（x）在区间的最小值，大于等于g（x）的在区间的最小值，转化为求g（x）的最小值问题，讨论对称轴在区间的哪侧，函数的单调性的函数最小值与的关系进而求出m的范围．
【解答】解：（1）证明：由f（x）＜k得：＜k，整理得：kx2﹣x+6k＞0，因为解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}，所以 k＜0，＜
所以方程kx2﹣x+6k＝0的根是﹣3，﹣2，∴＝﹣2+（﹣3），∴k＝﹣；
所以实数k的值是﹣；
（2）由题意可得，f（x）最小值≥g（x）最小值，
∀x1∈[2，4]，f（x）＝＝在区间[2，]为增函数，[，4]为减函数，f（2）＝，f（4）＝，
所以函数f（x）在区间[2，4]上的最小值是f（4）＝；
函数g（x）开口向上，且对称轴x＝﹣m，
①当﹣m≤2，即m≥﹣2，g（x）最小值＝g（2）＝4+4m+⇒m≤﹣，解得：﹣2；
②当2＜﹣m＜4，即﹣4＜m＜﹣2，g（x）最小值＝g（﹣m）＝m2﹣2m2+⇒m≤﹣1或m≥1，
所以﹣4＜m＜﹣2；
③﹣m≥4，即m≤﹣4，g（x）最小值＝g（4）＝16+8m+，解得：m，所以m≤﹣4；
综上所述，m的取值范围：（﹣∞，﹣]．
【点评】考查函数的最值问题，属于中难度题．
14．（2020秋•邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；
（Ⅱ）q：∃x∈R，使x2+3x+5≤0．
【考点】存在量词和特称命题；命题的否定．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】判断命题是特称命题还是全称命题，然后利用否定形式写出命题的否定，进而判断真假即可．
【解答】解：（Ⅰ）由于命题中含有全称量词“任意的”，
因此，该命题是全称量词命题．
又因为“任意的”的否定为“存在一个”，
所以其否定是：存在一个x∈R，使x2+x+1＝0成立，
即“∃x∈R，使x2+x+1＝0．”
因为△＝﹣3＜0，所以方程x2+x+1＝0无实数解，
此命题为假命题．
（Ⅱ）由于“：∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，
因此，该命题是存在量词命题．
又因为“存在一个”的否定为“任意一个”，
所以其否定是：对任意一个实数x，都有x2+3x+5＞0成立．
即“∀x∈R，有x2+3x+5＞0”．
因为△＝﹣11＜0，所以对∀：x∈R，x2+3x+5＞0总成立，
此命题是真命题．
【点评】本题考查命题的判断，命题的否定，命题真假的判定，主要考查学生对基础知识的理解能力，属于基础题．
15．（2020秋•荆州区校级月考）设命题p：∃x∈R，x2﹣2x+m﹣3＝0，命题q：∀x∈R，x2﹣2（m﹣5）x+m2+19≠0．若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．
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【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；数学运算．
【分析】分别求出命题p，q为真时实数m的取值范围，进而求出结论．
【解答】解：若命题p：∃x∈R，x2﹣2x+m﹣3＝0为真命题，
则△＝4﹣4（m﹣3）≥0，解得m≤4；
若命题q：∀x∈R，x2﹣2（m﹣5）x+m2+19≠0为真命题，
则△＝4（m﹣5）2﹣4（m2+19）＜0，
解得m∈（，+∞），又p，q都为真命题，
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}∩{m|m}＝（，4]．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，是基础题．

考点卡片
1．全称量词和全称命题
【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀

应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法
1．全称量词与存在量词
（1）全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．
（2）存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．

【全称命题】
含有全称量词的命题．“对 xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”．
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下
命题
全称命题 xM，p（x）
特称命题 xM，p（x）

表述
方法
①所有的xM，使p（x）成立
①存在xM，使p（x）成立
②对一切xM，使p（x）成立
②至少有一个xM，使p（x）成立
③对每一个xM，使p（x）成立
③对有些xM，使p（x）成立
④任给一个xM，使p（x）成立
④对某个xM，使p（x）成立
⑤若xM，则p（x）成立
⑤有一个xM，使p（x）成立
解题方法点拨：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．

命题方向：该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．存在量词和特称命题
【存在量词】：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．
存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．


【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题
全称命题x∈M，p（x）
特称命题x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在∃x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．

常见词语的否定如下表所示：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
4．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
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日期：2021/7/2 8:40:04；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867