人教版八年级上册第十五章 分式综合与测试教学设计

授课主题

◆课前热身

1.若分式有意义，则x的取值范围是（   ）

A．x≠1     B．x>1       C． x=1          D．x<1

2.化简的结果是_______        

3.分式的计算结果是（    ）

A．  B．  C．  D．

4.计算的结果是（    ）

A．a        B．b        C．1        D．－b

【参考答案】1. A   2.  

3.C   解析：本题考查了分式的加减运算.解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式..故选C.

4.B  解析：本题考查积的乘方运算与分式的化简，，故选B．

       分式

       分式的有关概念    有理式

                        最简分式

分式                     最简公分母

      分式的基本性质

       分式的运算

知识点:分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算

1．  考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，

例如：下列运算正确的是（   ）

A.-40 =1      B.(-2)-1=   C.(-3m-n)2=9m-n          D.(a+b)-1=a-1+b-1

2.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，

如：化简并求值：

. +(–2),其中x=2,y=1

1.弄清分式有意义,无意义和值为零的条件

    分式有意义的条件是分母不为零;无意义的条件是分母为零;值为零的条件是分子为零且分母不为零,弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点.

2.分式基本性质的灵活应用

    利用分式的基本性质熟练进行约分和通分,这是分式运算的基础,利用分式的基本性质时,要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式.

3.会进行分式的四则运算

分式的四则运算主要出现在化简中,与通分、约分、分式的基本性质联合,要保证最后结果为最简分式.

1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有         ，那么称 为分式．若        ，则 有意义；若      ，则 无意义；若           ，则 ＝0.

2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的               ．用式子表示为                             .

3. 约分：把一个分式的分子和分母的    约去，这种变形称为分式的约分．

4．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为          的分式，这一过程称为分式的通分.

5．分式的运算

   ⑴ 加减法法则：① 同分母的分式相加减：                               .

                 ② 异分母的分式相加减：                               .

   ⑵ 乘法法则：               .乘方法则：                    .

  ⑶ 除法法则：                             .

◆典例精析

【例1】（湖北宜昌）当x=            时，分式没有意义．

【解析】要使分式没有意义,只需分母为零.

   ∴

【答案】3

【例2】（吉林省）化简的结果是（  ）

A． B． C． D．

【解析】根据分式的基本性质易发现D成立.

【答案】D

【点评】分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式.

【例3】（内蒙古包头）化简，其结果是（    ）

A．   B．   C．   D．

【解析】本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序。先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号。

==

=，故选D。

【答案】D

【例4】（重庆市江津区）先化简，再求值

  ，其中 = 3 ．

解：原式===

当时，原式=

【点评】分式的化简要保证最后结果为最简分式.

◆迎考精炼

一、选择题

1.（湖南常德）要使分式有意义，则应满足的条件是（　　）

A．   B．   C．      D．

2.（广东肇庆）若分式的值为零，则的值是（    ）

A．3           B．               C．              D．0

3.（山东淄博）化简的结果为（    ）

A．  B．   C．  D．

4.（山东临沂）化简的结果是（  ）

A．  B．  C．  D．

5.（湖北荆门）计算的结果是（    ）

A．a    B．b    C．1    D．－b

6.（山东烟台）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”

小明的做法是：原式；

小亮的做法是：原式；

小芳的做法是：原式．

其中正确的是（    ）

A．小明  B．小亮  C．小芳  D．没有正确的

7．（山东临沂）化简的结果是（  ）

A．  B．  C．  D．

二、填空题

1．（广东清远）当              时，分式无意义．

2.（山东枣庄）a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P        Q（填“＞”、“＜”或“＝”）． 

3．(浙江温州)某单位全体员工在植树节义务植树240棵．原计划每小时植树a棵。实际每小时植树的棵数是原计划的1．2倍，那么实际比原计划提前了    小时完成任务(用含a的代数式表示)．

4.(成都)化简：＝_______

5.（山东烟台）设，，则的值等于        ．

6．（天津）若分式的值为0，则的值等于         ．

三、解答题

1.（湖北襄樊）计算：

2.（河南）先化简，然后从中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

3．（湖北仙桃）先化简，再求值：，其中x＝2－．

【参考答案】

一、选择题

1. B   2. A   3.B    4. A  

5.B  解析：本题考查积的乘方运算与分式的化简，，故选B．

6.C   7.A

二、填空题

1.  2.=   3．   4.   5.    6.2

三、解答题

1.解：原式=

=

2.原式=                  

      =．

　　　当x=时，原式=．

3.原式

当时，原式

◆     课前热身

1．方程的解是（　　）

A．0　　　　　　 B．1　　　　　　　C．2　　　　　　 D．3

2．请你给选择一个合适的值，使方程成立，你选择的____________．

3.解方程时，若设，则方程可化为        _________．

4.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为     （　　　）

A．     B．

Ｃ．     Ｄ．

【参考答案】

1. C    2.3   3.2 y－=2     4.Ｂ

知识点:分式方程及其应用

考查重点与常见题型:

考查换元法解分式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中，另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在解答题中。

（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.

（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.

（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.

1．分式方程:分母中含有   　　　    的方程叫分式方程.

2．解分式方程的一般步骤：

（1）去分母，在方程的两边都乘以      　       ，约去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根，把整式方程的根代入  　     ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

3. 用换元法解分式方程的一般步骤：

① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.

4．分式方程的应用：

分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：

（1）检验所求的解是否是所列             ；（2）检验所求的解是否   　     .

例1（湖北孝感）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（    ）

A．a＞－1  B．a＞－1且a≠0  

C．a＜－1   D．a＜－1且a≠－2

【分析】把分式方程化为整式方程，得，解得，因关于x的方程的解是正数，所以，即，∴，但时，

，所以.

【答案】D

例2(陕西省)解方程：．

【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．

解：去分母得：(x－2)2－(x2－4)=3．

 －4x＝－5．

  x＝．

经检验，x＝是原方程的解．

【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．

例3（广西桂林）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

解：（1）设乙队单独完成需天

           根据题意，得

           解这个方程，得=90

           经检验，=90是原方程的解

∴乙队单独完成需90天

（2）设甲、乙合作完成需天，则有

解得（天）

甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）

乙单独完成超过计划天数不符题意．

甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）

答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．

【点评】分式方程的应用，解题时要检验，先检验所求x的值是否是方程的解，再检验是否符合题意．

一、选择题

1.（湖北襄樊）分式方程的解为（    ）

A．1     B．－1   C．－2　     D．－3

2.(上海)用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是（    ）

A．      B．  

C．  D．

3.(浙江嘉兴）解方程的结果是（　　　）

A．  B．      C．     D．无解

4.（安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（　　　）

A．8　　　　　B.7　　　　　C．6　　　　　D．5

5.（广西柳州）分式方程的解是（    ）

A．      B．     C．      D．

二、填空题

1.（四川宜宾）方程的解是             .

2.（浙江杭州）已知关于的方程的解是正数，则m的取值范围为______．

3.（浙江台州）在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳了90下，小群跳了120下．已知小群每分钟比小林多跳20下，设小林每分钟跳下，则可列关于的方程为          ．

4.（山西太原）方程的解是          ．

5．（黑龙江牡丹江）若关于的分式方程无解，则        ．

三、解答题

1.（广东清远）解分式方程：

2.（北京）解分式方程：

3．（广东省）解方程．

4.（湖北十堰）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？

5．（山东青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率）

【参考答案】

一、选择题

1. D   分析：方程两边同乘，得，解得，经检验是原分式方程的解，故选D。

2. A   3.D   4.B   5.B

二、填空题

1.5     2.   3.

4.   解析：本题考查分式方程的解法，方程两边同乘，得，解得

5.1或－2

三、解答题

1.解：去分母，得

解得：

检验：把代入原方程得：左边=右边

所以是原方程的解

2.解：去分母，得

解得

经检验是原方程的解

所以原方程的解是.

3.方程两边同时乘以，

2=，

，

经检验：是方程的解．

4.解：设该厂原来每天加工x个零件，

由题意得： 　

解得     x=50  

经检验：x=50是原分式方程的解

答：该厂原来每天加工50个零件。

5.解：（1）设商场第一次购进套运动服，由题意得：

，

解这个方程，得．

经检验，是所列方程的根．

．

所以商场两次共购进这种运动服600套．

（2）设每套运动服的售价为元，由题意得：

，

解这个不等式，得，

所以每套运动服的售价至少是200元．