初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程教案

这是一份初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程教案，共12页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
 分式方程（1）15.3 分式方程（1） 一、内容和内容解析1．内容分式方程的概念和解法．2．内容解析分式方程是分母中含未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升．解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，其关键步骤是去分母．去分母时可能引起方程同解性的变化．因此，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节．利用去分母的方法将分式方程化为整式方程，并把整式方程逐步化为的形式，然后对分式方程的根进行检验，这一过程蕴含着化归思想和程序化思想．基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用去分母的方法解分式方程．二、目标和目标解析1．目标（1）了解分式方程的概念．（2）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想．（3）了解解分式方程需要检验的原因．2．目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道分式方程的特征，能识别分式方程．达成目标（2）的标志是：学生知道解分式方程要经历“去分母”“解整式方程”“检验”“得出分式方程的解”4个步骤，并能按照步骤解分式方程；知道“去分母”就是在分式方程两边乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；“解整式方程”目前就是解一元一次方程，逐步化为的形式；“检验”就是指用代入的方法检验所求的整式方程的解是否为原分式方程的解．在解分式方程的过程中，体会化归思想和程序化思想．达成目标（3）的标志是：学生知道在解分式方程时，当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于原分式方程两边同时乘0，使原方程的解发生变化，因此需要检验．三、教学问题诊断分析学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备．学生在解整式方程时往往会有一种思维定式，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”产生疑惑和不理解，尤其不明白产生增根时，为什么有些方程“无解”．教学时，教师要从等式的性质2出发，让学生认识到解分式方程时产生增根的原因．本节课的教学难点是：了解用去分母的方法解分式方程产生增根的原因．四、教学过程设计1．创设情境 引入课题引言 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？分析：如果设江水流速为 v km/h，则轮船顺流航行 90 km所用时间为 h ，逆流航行 60 km 所用时间为h ,根据所用时间相等，我们得到方程．问题1仔细观察方程，未知数在方程中的位置有什么特点？师生活动：学生独立思考并作答．设计意图：由实际问题引出分母中含有未知数的方程，让学生了解研究分式方程的必要性．追问：方程，，，与上面的方程有什么共同特征？分母中含有未知数．师生活动：学生观察并独立思考，尝试着进行概括，发现这几个方程不同于原来熟悉的方程，其特征是分母中含未知数．师生共同概括出分式方程的概念——分母中含未知数的方程叫做分式方程．教师指出，我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．设计意图：让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数，同时为后续探索解分式方程的基本思路（转化为整式方程）和关键步骤（去分母）做好铺垫． 分式方程的概念： 方程的分母中含未知数 v ,像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程．你能再写出几个分式方程吗？师生活动：学生思考并作答．设计意图：让学生进一步巩固对分式方程概念的认识．注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．练习 下列式子中，属于分式方程的是_________， 属于整式方程的是________（只填序号）．（1）；（2）；（3）；（4）．师生活动：学生思考并作答． 设计意图：用概念作判断，让学生进一步理解分式方程的概念．2．类比探究 获取新知问题2 你能试着解分式方程吗？回顾含分母的一元一次方程是怎样解的，从中能否得到一点启发？解方程：．解：去分母（方程两边乘4），得        ．去括号，得．移项，得．合并同类项，得．系数化为1，得　　　　　　　 ．师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并尝试解这个方程，学生代表将不同的解法展示在黑板上，学生互相交流．设计意图：让学生在已有知识经验基础上，尝试解分式方程．师生活动：学生讨论之后，教师总结，这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．进而通过以下几个问题明确解分式方程的方法和依据．思考：（1）如何把分式方程化为整式方程呢？通过去分母将分式方程化为整式方程．（2）怎样去分母？方程两边乘最简公分母．（3）在分式方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？分式方程两边乘各分母的最简公分母．（4）这样做的依据是什么？利用等式的性质 2 可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母，结果仍相等．师生共同分析解法：解方程．解：方程两边乘，得　　　　　　　　　．解得　　　　　　　　　　　．设计意图：通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母. 通过上面的回顾与反思，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想与转化思想的理解．追问：你得到的解是此分式方程的解吗？检验：将代入分式方程中，左边右边，因此是原分式方程的解．由上可知，江水的流速为 6 km/h．师生活动：学生回答问题，相互补充．设计意图：让学生知道检验分式方程的解的方法──将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；学生通过检验，发现这个整式方程的解就是原分式方程的解；说明上述解分式方程的方法是有效的，进而得知：将分式方程去分母化为整式方程是解分式方程必要和有效的步骤．归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法．　　　问题3  讨论分式方程．原分式方程可化为：．为去分母，在方程两边乘最简公分母，得整式方程．解得．师生活动：教师提出问题，学生在独立思考后解此方程，得出去分母后的整式方程的解．有的学生认为是原分式方程的解，有的学生发现当时，分式，都没有意义，但不能解释其原因．设计意图：（1）让学生积累去分母的经验，去分母的通法是分式两边同乘最简公分母；（2）让学生感受到在去分母解分式方程的过程中已经对原分式方程进行了变形，这种变形可能会使方程的解发生变化．追问：你得到的解是原分式方程的解吗？该如何验证呢？师生活动：学生先独立思考问题，然后相互交流．最后达成共识：是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．将代入原分式方程检验，发现这时分母和的值都为0，相应的分式无意义．因此，虽是整式方程的解，但不是原分式方程 的解．实际上,这个分式方程无解．设计意图：让学生发现问题---整式方程的解使原分式方程的分母为0，无法说明原分式方程两边的值是否相等；得出结论---这个整式方程的解不是原分式方程的解，所以原分式方程无解；获得猜想---可能存在一些分式方程，它们无解．思考：上面两个分式方程中，为什么去分母后所得整式方程的解就是分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是分式方程的解呢？观察去分母的过程：                                                    分式方程两边乘了同一个不为0的式子，所得整式方程的解与原分式方程的解相同．                                        分式方程两边乘了同一个等于0的式子，所得整式方程的解使分母为0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解．解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：          将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．师生活动：教师针对上述两个分式方程的解答过程提出问题，学生独立思考，然后小组交流，教师适时点拨．最后达成共识：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0；对解进行检验时，主要有两种方式，其一是将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；其二是将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．设计意图：让学生了解分式方程产生增根的原因---当整式方程的解使得所乘最简公分母不等于0时，相当于方程两边同时乘以非0数，方程的解不发生变化；当整式方程的解使得所乘最简公分母等于0时，相当于方程两边同时乘0，方程的解发生变化，就出现了分母为0的情况．问题4 回顾解分式方程与的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？基本思路：解分式方程的一般步骤：(1) 去分母：方程两边乘最简公分母；(2) 解整式方程；(3) 检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解；(4)得出结论.简记为：“一化、二解、三检验、最后出结论”．解分式方程应该注意什么？注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．师生活动：学生回答，并相互补充，最后达成共识：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，一般步骤是“去分母”“解整式方程”“检验”“得出结论”，其中“去分母”是关键．去分母的通法是将方程两边同乘最简公分母，由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验.检验的方法有两种，一是将整式方程的解代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等；另一种是将整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0．其中第二种方法更简捷．设计意图：让学生在解具体的分式方程后，反思解题思路和步骤，体会化归思想和程序化思想，积累解题经验． 学以致用 应用新知例1  解方程.解：方程两边乘，得                       ．解得                                             ．检验：当时，．所以，原分式方程的解为． 例2  解方程．解：方程两边乘，得         ．    解得                                                          ．    检验：当时，，因此不是原分式方程的解．所以，原分式方程无解．         师生活动：师生共同分析解答例1，教师板书．学生独立完成例2，然后分组交流．并对错解进行展示，师生共同分析错误原因．设计意图：规范解分式方程的步骤和格式，加深对分式方程解法的认识．归纳 解分式方程的一般步骤如下（思维导图）：               基础训练 巩固新知练习1 解下列方程：（1）；         （2）；　　（3）；        （4）．          练习2 解方程．练习3 解方程．练习4 解方程．师生活动：两名学生板书，其他学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价．设计意图：让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想． 小结归纳 自我完善教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：    （1）本节课学习了哪些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？                  注意：去分母时，原方程的整式部分不要漏乘；约去分母后，分子是多项式时，应该添括号（因分数线有括号的作用）．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心──分式方程的解法．6．布置作业教科书第154页习题15.3的第1（1）（2）（3）（4）题．     五、目标检测设计1．下列方程中，是分式方程的是(     ) ．
　　A．      B．      C．          D．设计意图：考查学生对分式方程概念的了解情况．2．将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘(           )．A．           B．              C．          D．设计意图：考查学生对解分式方程的关键步骤“去分母”的理解情况．3．解方程：（1）；（2）；（3）．设计意图：考查学生对分式方程的解法的掌握情况．说明：本课程结合了义务教育教科书数学八年级上册（人民教育出版社）第15章第15.3节的内容，见教科书第149页至第152页．