2022版高考数学大一轮复习作业本40《空间几何体综合题》(含答案详解)

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2022版高考数学大一轮复习作业本40《空间几何体综合题》1.如图，在三棱锥P－ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC的中点.(1)求证：DE∥平面PBC；(2)求证：AB⊥PE；(3)求三棱锥B－PEC的体积.     2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAC⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=PC，AB=2BC=2，∠ABC=60°.(1)求证：PB∥平面ACE；(2)求证：平面PBC⊥平面PAC.     3.已知四棱锥P­ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC的中点.(1)在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置(不要求给出理由)；(2)求平面ADM将四棱锥P­ABCD分成的上下两部分的体积比.       4.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.     5.如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.      6.如图，在三棱锥K－ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC=3.(1)求证：BF⊥平面KAC；(2)求三棱锥F－BDE的体积.     7.如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP=DQ=DA，求三棱锥Q­ABP的体积.      8.如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°.(1)求证：BC1⊥平面ABC；(2)E是棱CC1上的一点，若三棱锥E­ABC的体积为，求线段CE的长.       9.如图，在四棱锥E­ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD=DC=AB，且AE⊥BD.(1)证明：平面EBD⊥平面EAD；(2)若△EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离.     10.如图，在三棱锥P­ABC中，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB，点D在PC上，且BD⊥平面PAC.(1)证明：PA⊥平面PBC；(2)若AB:BC=2:，求三棱锥D­PAB与三棱锥D­ABC的体积比.     
0.参考答案1.解：(1)∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC.∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.(2)连接PD.∵PA=PB，D为AB的中点，∴PD⊥AB.∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB.又∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE.∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE.(3)∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P－BEC的高.又∵PD=，S△BEC=，∴VB－PEC=VP－BEC=S△BEC·PD=. 2.解：(1)连接BD，交AC于点O，连接OE.∵底面ABCD是平行四边形，∴O为BD的中点.又E为PD的中点，∴OE∥PB.又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE.(2)∵PA=PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC.又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，PO⊂平面PAC，∴PO⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PO⊥BC.在△ABC中，AB=2BC=2，∠ABC=60°，∴AC===，∴AB2=AC2＋BC2，∴BC⊥AC.又PO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PO∩AC=O，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC. 3.解：(1)N为PB中点，截面如图所示.(2)∵MN是△PBC的中位线，BC=1，∴MN=，AN=，且AN⊥AD，∴梯形ADMN的面积为×=，点P到截面ADMN的距离为点P到直线AN的距离d=，∴四棱锥P­ADMN的体积V1=××=，而四棱锥P­ABCD的体积V=×2×1×1=，∴四棱锥被截下部分体积V2=V－V1=－=，故上下两部分的体积比=. 4.证明：(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD=D，所以平面BDE∥平面MNG. 5.解：(1)如图所示，连接NK. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，C1D1∥CD，C1D1=CD.∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN=D1K.∴四边形DD1KN为平行四边形.∴KN∥DD1，KN=DD1.∴AA1∥KN，AA1=KN.∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB=C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM=C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK. 6.解：(1)因为平面KBC⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面KBC.又因为BF⊂平面KBC，所以BF⊥AC.又因为△KBC是正三角形，且F为CK的中点，所以BF⊥KC.又AC∩KC=C，所以BF⊥平面KAC.(2)S△EFB=××1=.又因为AC⊥平面KBC，DF∥AC，所以DF⊥平面KBC.又因为DF=AC=，所以VF－BDE=VD－EFB=S△EFB·DF=××=. 7.解：(1)证明：由已知可得，∠BAC=90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3.又BP=DQ=DA，所以BP=2.作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1.因此，三棱锥Q­ABP的体积为VQ­ABP=×QE×S△ABP=×1××3×2sin45°=1. 8.解：(1)证明：∵AB⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥BC1，在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，由余弦定理得BC=BC2＋CC－2BC·CC1·cos∠BCC1=12＋22－2×1×2cos60°=3，∴BC1=，∴BC2＋BC=CC，∴BC⊥BC1，又AB，BC⊂平面ABC，BC∩AB=B，∴BC1⊥平面ABC.(2)∵AB⊥平面BB1C1C，∴VE­ABC=VA­EBC=S△BCE·AB=S△BCE·1=，∴S△BCE==CE·(BC·sin)=CE·，∴CE=1. 9.解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则DM∥BC，∴DM=AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD=A，∴BD⊥平面EAD.∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD.(2)∵BD⊥平面EAD，且BD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面EAD.∵等边△EAD的面积为，∴AD=AE=ED=2，取AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO=，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，∴EO⊥平面ABCD.由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形，∴BD==2，∴S△EBD=ED·BD=2，S△BCD=BC·CDsin120°=.设点C到平面EBD的距离为h，由VC­EBD=VE­BCD，得S△EBD·h=S△BCD·EO，解得h=.∴点C到平面EBD的距离为. 10.解：(1)证明：因为BD⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，因为∠ABC=90°，所以CB⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，所以CB⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以CB⊥PA，又CB∩BD=B，所以PA⊥平面PBC.(2)因为三棱锥D­PAB的体积VD­PAB=VA­PBD=S△PBD×PA=×BD×PD×PA，三棱锥D­ABC的体积VD­ABC=VA­BCD=S△BCD×PA=×BD×CD×PA，所以=.设AB=2，BC=，因为PA⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以PA⊥PB，又PA=PB，所以PB=，在Rt△PBC中，PC==2，又BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC，所以CD==，PD=，所以=，即三棱锥D­PAB与三棱锥D­ABC的体积比为.