课时过关检测（六十四） 变量间的相关关系与统计案例

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1．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bexD．y＝a＋bln x
解析：选D 根据散点图，用光滑的曲线把图中各点依次连起来(图略)，由图并结合选项可排除A、B、C，故选D.
2．(2021·南昌模拟)已知一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x6，y6)，用最小二乘法得到其线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋4，若x1，x2，x3，…，x6的平均数为1，则y1＋y2＋y3＋…＋y6＝( )
A．10B．12
C．13D．14
解析：选B 回归直线过样本点的中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，因为eq \x\t(x)＝1，所以eq \x\t(y)＝－2×1＋4＝2，所以y1＋y2＋y3＋…＋y6＝6×2＝12.故选B.
3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得K2≈9.616.
附表：
参照附表，下列结论正确的是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：选C 因为K2≈9.616＞6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．故选C.
4．(多选)中华人民共和国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是中共十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2015年到2020年六年间我国公共图书馆业机构数与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2015年编号为1,2016年编号为2，…，2020年编号为6，把每年的公共图书馆业机构数作为预报变量，把年份编号作为解释变量进行回归分析)，得到回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝13.743x＋3 095.7，其相关指数R2＝0.981 7，下列结论正确的是( )
A．公共图书馆业机构数与年份编号的正相关性较强
B．在2016～2020年间，2018年公共图书馆业机构数增加量最多
C．公共图书馆业机构数平均每年增加13.743
D．可预测2021年公共图书馆业机构数为3 190
解析：选AC 因为散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，因为R2＝0.981 7接近于1，所以公共图书馆业机构数与年份编号的相关性较强，故A正确；由题图可知，在2016～2020年间，2017年公共图书馆业机构数增加量最多，故B错误；因为回归直线的斜率为13.743，所以公共图书馆业机构数平均每年增加13.743，故C正确；将x＝7代入回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝13.743x＋3 095.7，解得eq \(y,\s\up6(^))＝3 191.901≈3 192，所以可预测2021年公共图书馆业机构数为3 192，故D错误．综上所述选A、C.
5．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为________．
解析：∵y与x具有线性相关关系，且满足回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.6x＋1.2，该城市居民人均工资为eq \x\t(x)＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费eq \x\t(y)＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为eq \f(4.2,5)＝84%.
答案：84%
6．(2021·哈尔滨高三三模)在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)
现已知其线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.36x＋eq \(a,\s\up6(^))，则eq \(a,\s\up6(^))＝______，根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为________．(四舍五入到整数)
解析：eq \x\t(x)＝eq \f(60＋65＋70＋75＋80,5)＝70，
eq \x\t(y)＝eq \f(62＋64＋66＋68＋70,5)＝66，
所以66＝0.36×70＋eq \(a,\s\up6(^))，即eq \(a,\s\up6(^))＝40.8，
即线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.36x＋40.8.
当x＝90时，eq \(y,\s\up6(^))＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73.
答案：40.8 73
7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了主修该课的一些学生的情况，具体情况如下表：
为了检验主修统计专业是否与性别有关，根据表中的数据得到K2＝________(精确到0.001)．若断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性为________．
由临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，其中K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)
解析：由题意，根据公式可得K2＝eq \f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844.
因为5.024＞4.844＞3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性为0.05.
答案：4.844 0.05
8．为推进“千村百镇计划”，2018年4月某新能源公司开展“绿色出行”活动，首批投放200台P型新能源车到某市多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对P型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表(满分为100分)．最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份(其中男、女的评分表各20份)作为样本，经统计得到如下茎叶图：
(1)求40个样本数据的中位数m.
(2)已知40个样本数据的平均数a＝80，记m与a的最大值为M.该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于M的为“满意型”，评分小于M的为“需改进型”．
①请根据40个样本数据，完成下面2×2列联表：
根据2×2列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？
②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访．根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)
解：(1)由茎叶图知m＝eq \f(80＋82,2)＝81.
(2)因为m＝81，a＝80，所以M＝81.
①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，根据题意得如下2×2列联表：
则K2＝eq \f(40×15×15－5×52,20×20×20×20)＝10>6.635，
查表得P(K2≥6.635)≈0.010，
所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关．
②由①知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性2名，男性6名．
X的所有可能取值为1,2,3，
则P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,6),C\\al(3,8))＝eq \f(6,56)＝eq \f(3,28)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,6),C\\al(3,8))＝eq \f(30,56)＝eq \f(15,28)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(0,2)C\\al(3,6),C\\al(3,8))＝eq \f(20,56)＝eq \f(5,14)，
所以X的分布列为
所以X的数学期望E(X)＝1×eq \f(3,28)＋2×eq \f(15,28)＋3×eq \f(5,14)＝eq \f(9,4).
9．下面给出了根据我国2014年～2020年水果人均占有量y(单位：kg)和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图(2014年～2020年的年份代码x分别为1～7)．
(1)根据散点图分析y与x之间的相关关系；
(2)根据散点图相应数据计算得eq \i\su(i＝1,7,y)i＝1 074，eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝4 517，求y关于x的线性回归方程；(精确到0.01)
(3)根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果．
附：回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \a\vs4\al(\x\t(x)).
解：(1)根据散点图可知y与x正线性相关．
(2)由所给数据计算得eq \x\t(x)＝eq \f(1,7)(1＋2＋…＋7)＝4，
eq \i\su(i＝1,7, )(xi－eq \x\t(x))2＝28，
eq \i\su(i＝1,7, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝eq \i\su(i＝1,7,x)iyi－eq \x\t(x)eq \i\su(i＝1,7,y)i＝4 517－4×1 074＝221，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,7, )xi－\x\t(x)2)＝eq \f(221,28)≈7.89，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \a\vs4\al(\x\t(x))＝eq \f(1 074,7)－7.89×4≈121.87，
所求线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝7.89x＋121.87.
(3)由题中给出的残差图知历年数据的残差均在－2到2之间，说明线性回归方程的拟合效果较好．
B级——综合应用
10．(2021·兰州市诊断考试)“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
(1)经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；
(2)根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
附：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n为样本容量)
解：(1)以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市“热烈参与者”的人数约为20 000×eq \f(40,200)＝4 000.
(2)2×2列联表为
K2＝eq \f(200×35×55－105×52,40×160×140×60)≈7.292＞6.635.
故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“热烈参与马拉松”与性别有关．
P(K2≥k0)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
物理成绩y
70
66
68
64
62
专业
性别
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
认定类型
性别
满意型
需改进型
总计
女性
20
男性
20
总计
40
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
认定类型
性别
满意型
需改进型
总计
女性
15
5
20
男性
5
15
20
总计
20
20
40
X
1
2
3
P
eq \f(3,28)
eq \f(15,28)
eq \f(5,14)
平均每周进行长跑训练天数
不大于2
3或4
不少于5
人数
30
130
40
热烈参与者
非热烈参与者
总计
男140
女55
总计
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
热烈参与者
非热烈参与者
总计
男
35
105
140
女
5
55
60
总计
40
160
200