2022-2023学年甘肃省兰州市第六十四中学高二上学期期末数学试题(解析版)
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一、单选题
1.等差数列中,,,则等于( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质,,即可得出结果.
【详解】解:由等差数列的性质,可得,
所以.
故选:A.
2.在等比数列中,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】等比数列的性质可知,故选.
3.等比数列{an}的各项都是正数,若=81,=16,则它的前5项的和是( )
A.179 B.211
C.243 D.275
【答案】B
【分析】设公比为,根据=81,=16,求得公比,再根据等比数列前n项和的公式即可的解.
【详解】解:设公比为,
因为=81,=16,所以q4=,且q>0,
∴q=,∴S5===211.
故选:B.
4.若直线过点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】A
【分析】求出直线的斜率,由斜率得倾斜角.
【详解】由题意直线斜率为,所以倾斜角为.
故选:A.
5.圆 与直线 的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
【答案】C
【解析】求出圆心到直线的距离,与半径大小作比较,得出位置关系
【详解】圆心为,半径
圆心到直线的距离为
所以直线与圆相离
故选:C
【点睛】处理直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.
6.设,分别是双曲线的左、右焦点,是该双曲线上的一点,且,则的面积等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据双曲线定义得到,,用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设,,则由双曲线的定义可得:,所以,故,,又,故,故,所以的面积为.
故选:C.
7.直线被圆所截得的弦长为( )
A. B.4 C. D.
【答案】A
【分析】由已知,根据题中给出的圆的方程,写出圆心坐标与半径,然后求解圆心到直线的距离,最后利用垂径定理可直接求解弦长.
【详解】由已知,圆,圆心坐标为,半径为,
所以点到直线的距离为,
所以,直线被圆截得的弦长为.
故选:A.
8.已知椭圆上存在点P,使得,其中,分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由已知结合椭圆定义,用a表示出和,再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.
【详解】因点P在椭圆上,则,又,
于是得,,
而,当且仅当点P在椭圆右顶点时取“=”,
即,解得,
所以,椭圆的离心率取值范围是.
故选:D.
9.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,然后利用组合,排列,乘法原理求得.
【详解】根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有种选法;然后连同其余三人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种,根据乘法原理,完成这件事,共有种不同的分配方案,
故选:C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题,属基础题,关键是首先确定人数的分配情况,然后利用先选后排思想求解.
二、多选题
10.给出下列几个问题,其中是组合问题的是( )
A.求由1,2,3,4构成的含有两个元素的集合的个数
B.求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数
C.3人去做5种不同的工作,每人做1种,求不同的安排种数
D.求由1,2,3组成无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【分析】根据组合的定义判断可得选项.
【详解】解:A,B中选出元素就完成了这件事,是组合问题;
而C,D中选出的元素还需排列,与顺序有关,是排列问题.
故选:AB.
11.关于抛物线,下列说法正确的是( )
A.开口向左 B.焦点坐标为 C.准线为 D.对称轴为轴
【答案】AD
【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A,,开口向左,故A正确;
对选项B,,焦点为,故B错误;
对选项C,,准线方程为,故C错误;
对选项D,,对称轴为轴,故D正确.
故选:AD
12.已知双曲线,( )
A.
B.若的顶点坐标为,则
C.的焦点坐标为
D.若,则的渐近线方程为
【答案】BD
【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出,通过计算即可判断出A错误,然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B正确,再然后分为、两种情况,依次求出,即可判断出C错误,最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.
【详解】A项:因为方程表示双曲线,
所以,解得或,A错误;
B项:因为的顶点坐标为,
所以,解得,B正确;
C项:当时,,
当时,,C错误;
D项:当时,双曲线的标准方程为,
则渐近线方程为,D正确,
故选:BD.
三、填空题
13.数列的前项和为,则它的通项公式为________.
【答案】
【详解】由数列的前项和为,当时,,当时,,当时上式不成立,,故答案为.
【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用,属于中档题.已知求的一般步骤:(1)当时,由求的值;(2)当时,由,求得的表达式;(3)检验的值是否满足(2)中的表达式,若不满足则分段表示;(4)写出的完整表达式.
14.在的展开式中,常数项是______.(用数字作答)
【答案】
【分析】根据展开式的通项公式即得.
【详解】因为的展开式的通项公式为,
令,可得,
所以展开式中常数项为,
故答案为:.
15.过抛物线的焦点作一条直线交抛物线于,两点,若线段的中点的横坐标为2,则_________.
【答案】
【分析】利用中点坐标公式和焦点弦弦长公式即可得出.
【详解】解:由抛物线可得.设,.
线段的中点的横坐标为,.
直线过焦点,
.
故答案为:.
16.已知点,为抛物线的焦点,点在该抛物线上移动,当取最小值时,点的坐标为_______.
【答案】
【解析】设点M在准线上的射影为D,由抛物线的定义把问题转化为求|PM|+|PD|的最小值,同时可推断出当D,P,M三点共线时|PM|+|PD|最小,答案可得.
【详解】设点M在准线上的射影为D,由抛物线的定义可知|PF|=|PD|
∴要求|PM|+|PF|的最小值,即求|PM|+|PD|的最小值,
只有当D,P,M三点共线时|PM|+|PD|最小,此时P纵坐标为2,则横坐标为2
故答案为:
【点睛】本题考查抛物线的简单性质,涉及与抛物线有关的最值问题,属中档题.
四、解答题
17.求满足下列条件的直线方程:
(1)过点,与直线平行;
(2)过点,与直线垂直.
【答案】(1);
(2).
【分析】(1)由直线的斜率为,利用直线平行可得所求直线的斜率,由点斜式可得结果;
(2)由直线的斜率为,利用直线垂直可得所求直线的斜率,由点斜式可得结果.
【详解】(1)因为直线的斜率为,所求直线与直线平行,
所以所求直线的斜率是,
因为所求直线过点,
所以所求的直线方程是,即;
(2)因为直线的斜率为,
所求直线与直线垂直,所以所求直线的斜率是,
因为所求直线过点,
所以直线方程为,即.
18.求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程.
(1)经过点,两点的椭圆;
(2)与双曲线有公共焦点且经过点的双曲线;
(3)准线为的抛物线.
【答案】(1);
(2);
(3).
【分析】(1)由题意可得,,从而可求出椭圆的标准方程,
(2)由题意设双曲线的方程为,则,再将的坐标代入方程,进而即得;
(3)由题可设,结合条件即得.
【详解】(1)因为椭圆经过点,,
所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在x轴上,可设方程为,
所以,,
所以椭圆的标准方程为;
(2)因为双曲线的焦点为,
可设双曲线的方程为,且,
将点代入曲线方程可得,
解得,
所以双曲线的标准方程为;
(3)由题可知抛物线焦点在轴正半轴,可设抛物线方程为,
所以,即,
所以抛物线的方程为.
19.现有8个人(5男3女)站成一排.
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法?
(2)女生必须排在一起,共有多少种不同的排法?
(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法?
(4)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法?
(5)甲、乙不能排在前3位,有多少种不同排法?
(6)女生两旁必须有男生,有多少种不同排法?
【答案】(1)5040
(2)4320
(3)21600
(4)20160
(5)14400
(6)2880
【分析】(1)分两步,先考虑甲必须站在排头的特殊要求,用特殊元素优先法可解;
(2)女生必须排在一起,用捆绑法求解;
(3)甲、乙两人不能排在两端,用插空法求解;
(4)甲在乙的左边,可采用倍缩法求解;
(5)甲、乙不能排在前3位,用特殊元素或特殊位置优先法可解;
(6)女生两旁必须有男生,用插空法求解.
【详解】(1)根据题意,甲必须站在排头,有1种情况,将剩下的7人全排列,有种情况,
则甲必须站在排头有种排法;
(2)根据题意,先将3名女生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有种情况,
将这个整体与5名男生全排列,有种情况,则女生必须排在一起的排法有种;
(3)根据题意,将甲、乙两人安排在中间6个位置,有种情况,将剩下的6人全排列,有种情况,
则甲、乙两人不能排在两端有种排法;
(4)根据题意,将8人全排列,有种情况,其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同,
则甲在乙的左边有种不同的排法;
(5)根据题意,将甲、乙两人安排在后面的5个位置,有种情况,
将剩下的6人全排列,有种情况,甲、乙不能排在前3位,有种不同排法;
(6)根据题意,将5名男生全排列,有种情况,排好后除去2端有4个空位可选,在4个空位中任选3个,安排3名女生,有种情况,
则女生两旁必须有男生,有种不同排法.
20.已知等差数列满足:,.的前n项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令(),求数列的前项和.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ).
【详解】试题分析:(1)设等差数列的公差为,由已知可得
解得,则及可求;(2)由(1)可得,裂项求和即可
试题解析:(1)设等差数列的公差为,因为,,所以有,
解得,所以,.
(2)由(1)知,,
所以,
所以,
即数列的前项和.
【解析】等差数列的通项公式,前项和公式.裂项求和
21.求和:.
【答案】
【分析】设,结合乘公比错位相减求和,即可求解.
【详解】设,
则,
两式相减得
,
所以.
22.已知为椭圆内一定点,经过P引一条弦AB,使弦AB被P点平分,求弦AB所在的直线方程及弦长.
【答案】;弦长为.
【分析】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,利用点差法可求得直线的斜率,进而可求得直线的方程,然后联立直线方程与椭圆方程,利用弦长公式即得.
【详解】设弦所在的直线与椭圆相交于、两点,
由于点为弦的中点,则,得,
由题意得,两式相减得,
所以,直线的斜率为,
所以,弦所在的直线方程为,即;
由,可得,
所以,
所以.
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