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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀第一课时教案设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系优秀第一课时教案设计，共17页。教案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法；3.理解并掌握公理4及等角定理；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法：
①定义法
②两直线既不平行也不相交
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(没有公共点\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行,异面)),有且仅有一个公共点——相交))
②从是否共面的角度来分：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(在同一平面内\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行,相交)),不同在任何一个平面内——异面))
知识点二 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，该结论在空间中是否成立？
答案 成立
1．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．符号表示：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,b∥c))⇒a∥c.
知识点三 等角定理
思考 观察图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，
这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
知识点四 异面直线所成的角
思考 在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
答案 相等.
类型一 异面直线的判断
例1 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
解 由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．
跟踪训练1 (1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
答案 8
解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解 三对，分别为AB与CD，
AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示：
类型二 平行公理和等角定理的应用
例2 (1)在空间四边形ABCD中，如图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．
答案 平行
解析 连接BD，如图，
∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，
∴EH∥BD，
又∵eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，
∴FG∥BD，
∴EH∥FG.
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点．
求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
证明 在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
反思与感悟 1.空间两条直线平行的证明：(1)定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．(2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2．“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．
跟踪训练2 如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明 (1)如图 ，连接AC，
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝eq \f(1,2)AC.
由正方体的性质得：
AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝eq \f(1,2)A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
类型三 两异面直线所成的角
例3 如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A＝AB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小．
解 如图，取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝eq \f(1,2)BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝eq \f(1,2)BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，
∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.
反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤：
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
跟踪训练3 如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
解 方法一 如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法二 如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊eq \f(1,2)DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
连接HF，设AA1＝1，
则EF＝eq \f(\r(2),2)，HE＝eq \f(\r(3),2)，
取A1D1的中点I，连接HI，IF，
则HI⊥IF.
∴HF2＝HI2＋IF2＝eq \f(5,4).
∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
答案 D
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．
2．下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
3．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
答案 D
解析 如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面．
4．如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2eq \r(3)，AD＝2eq \r(3)，AA′＝2.
(1)求异面直线BC和A′C′所成的角的大小．
(2)求异面直线AA′和BC′所成的角的大小．
解 (1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq \r(3)，
B′C′＝2eq \r(3)，所以∠B′C′A′＝45°.
所以异面直线BC与A′C′所成的角为45°.
(2)因为AA′∥BB′，
所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq \r(3)，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，所以∠B′BC′＝60°.
所以异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
一、选择题
1．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
答案 C
解析 根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.
2．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )
A．6条 B．8条 C．10条 D．12条
答案 B
解析 所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．
3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案 B
解析 如图，易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
答案 C
解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．
5．如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )
A．12对 B．24对
C．36对 D．48对
答案 B
解析 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．
6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，连接BC1，A1C1，
∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
7.如图，在三棱锥DABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 B
解析 如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.
∵E，F分别是为CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，
且FG＝eq \f(1,2)AC，EG＝eq \f(1,2)BD.
又∵AC＝BD，∴FG＝EG，
∴∠EFG为EF与AC所成的角．
∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，
∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.
二、填空题
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．
答案 60°
解析 连接BC1，BA1，A1C1，∵EF∥BA1，GH∥BC1，
∴异面直线EF与GH所成的角即为BA1与BC1所成的角，即∠A1BC1，又∵A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.
9．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．
答案 (2)(4)
解析 (1)中HG∥MN，(3)中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．
10．已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
答案 (1)60° (2)45°
解析 如图，连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.
11．已知a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的是________(只填序号)．
答案 ①
解析 由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．
三、解答题
12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq \f(1,2)AD，BE綊eq \f(1,2)FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊eq \f(1,2)AD.又BC綊eq \f(1,2)AD，∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綊eq \f(1,2)AF，G为FA的中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，
∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
13.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝eq \r(3)，求AD与BC所成角的大小．
解 如图，取BD的中点G，连接GE，GF.
因为BE＝EA，BG＝GD，
所以GE∥AD，GE＝eq \f(1,2)AD＝1.
因为DF＝FC，DG＝GB，
所以GF∥BC，GF＝eq \f(1,2)BC＝1.
所以∠EGF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角．
在△GEF中，GE＝1，GF＝1，EF＝eq \r(3)(如图)，
取EF的中点O，连接GO，
则GO⊥EF，EO＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(\r(3),2).
所以sin∠EGO＝eq \f(EO,EG)＝eq \f(\r(3),2)，∠EGO＝60°，所以∠EGF＝2∠EGO＝120°，
所以异面直线AD与BC所成的角是180°－120°＝60°.定义
前提
两条异面直线a，b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
特殊情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
学习目标 1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法；3.理解并掌握公理4及等角定理；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．
知识点一 空间两直线的位置关系
思考 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？
观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？
答案 平行与相交．
教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.
(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
(3)判断两直线为异面直线的方法：
①定义法
②两直线既不平行也不相交
(4)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(没有公共点\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行,异面)),有且仅有一个公共点——相交))
②从是否共面的角度来分：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(在同一平面内\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(平行,相交)),不同在任何一个平面内——异面))
知识点二 平行公理(公理4)
思考 在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c，该结论在空间中是否成立？
答案 成立
1．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．符号表示：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥b,b∥c))⇒a∥c.
知识点三 等角定理
思考 观察图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，
这两组角的大小关系如何？
答案 从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.
空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．
知识点四 异面直线所成的角
思考 在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？
答案 相等.
类型一 异面直线的判断
例1 如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
解 由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．
反思与感悟 判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是异面直线．
跟踪训练1 (1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
答案 8
解析 与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线4×2＝8(对)．
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
解 三对，分别为AB与CD，
AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示：
类型二 平行公理和等角定理的应用
例2 (1)在空间四边形ABCD中，如图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．
答案 平行
解析 连接BD，如图，
∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，
∴EH∥BD，
又∵eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，
∴FG∥BD，
∴EH∥FG.
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点．
求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
证明 在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，
∴四边形AMM1A1是平行四边形，
∴A1A綊M1M.
又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
反思与感悟 1.空间两条直线平行的证明：(1)定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点．(2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
2．“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能．
跟踪训练2 如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
证明 (1)如图 ，连接AC，
在△ACD中，
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，
∴MN∥AC，MN＝eq \f(1,2)AC.
由正方体的性质得：
AC∥A1C1，AC＝A1C1.
∴MN∥A1C1，且MN＝eq \f(1,2)A1C1，
即MN≠A1C1，
∴四边形MNA1C1是梯形．
(2)由(1)可知MN∥A1C1.
又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．
而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，
∴∠DNM＝∠D1A1C1.
类型三 两异面直线所成的角
例3 如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A＝AB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小．
解 如图，取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝eq \f(1,2)BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝eq \f(1,2)BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，
∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.
反思与感悟 求两条异面直线所成的角的一般步骤：
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
跟踪训练3 如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
解 方法一 如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
方法二 如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊eq \f(1,2)DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
连接HF，设AA1＝1，
则EF＝eq \f(\r(2),2)，HE＝eq \f(\r(3),2)，
取A1D1的中点I，连接HI，IF，
则HI⊥IF.
∴HF2＝HI2＋IF2＝eq \f(5,4).
∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
答案 D
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示．
2．下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
3．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
答案 D
解析 如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面．
4．如图，已知长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2eq \r(3)，AD＝2eq \r(3)，AA′＝2.
(1)求异面直线BC和A′C′所成的角的大小．
(2)求异面直线AA′和BC′所成的角的大小．
解 (1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq \r(3)，
B′C′＝2eq \r(3)，所以∠B′C′A′＝45°.
所以异面直线BC与A′C′所成的角为45°.
(2)因为AA′∥BB′，
所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．
在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq \r(3)，BB′＝AA′＝2，
所以BC′＝4，所以∠B′BC′＝60°.
所以异面直线AA′与BC′所成的角为60°.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
一、选择题
1．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
答案 C
解析 根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.
2．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )
A．6条 B．8条 C．10条 D．12条
答案 B
解析 所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．
3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
答案 B
解析 如图，易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
答案 C
解析 由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．
5．如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( )
A．12对 B．24对
C．36对 D．48对
答案 B
解析 六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4×6＝24(对)．
6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，连接BC1，A1C1，
∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
7.如图，在三棱锥DABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 B
解析 如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.
∵E，F分别是为CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，
且FG＝eq \f(1,2)AC，EG＝eq \f(1,2)BD.
又∵AC＝BD，∴FG＝EG，
∴∠EFG为EF与AC所成的角．
∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，
∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.
二、填空题
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．
答案 60°
解析 连接BC1，BA1，A1C1，∵EF∥BA1，GH∥BC1，
∴异面直线EF与GH所成的角即为BA1与BC1所成的角，即∠A1BC1，又∵A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°.
9．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．
答案 (2)(4)
解析 (1)中HG∥MN，(3)中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．
10．已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
答案 (1)60° (2)45°
解析 如图，连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.
11．已知a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
上述命题中正确的是________(只填序号)．
答案 ①
解析 由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确．
三、解答题
12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊eq \f(1,2)AD，BE綊eq \f(1,2)FA，G、H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊eq \f(1,2)AD.又BC綊eq \f(1,2)AD，∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綊eq \f(1,2)AF，G为FA的中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，
∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
13.如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝eq \r(3)，求AD与BC所成角的大小．
解 如图，取BD的中点G，连接GE，GF.
因为BE＝EA，BG＝GD，
所以GE∥AD，GE＝eq \f(1,2)AD＝1.
因为DF＝FC，DG＝GB，
所以GF∥BC，GF＝eq \f(1,2)BC＝1.
所以∠EGF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角．
在△GEF中，GE＝1，GF＝1，EF＝eq \r(3)(如图)，
取EF的中点O，连接GO，
则GO⊥EF，EO＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(\r(3),2).
所以sin∠EGO＝eq \f(EO,EG)＝eq \f(\r(3),2)，∠EGO＝60°，所以∠EGF＝2∠EGO＝120°，
所以异面直线AD与BC所成的角是180°－120°＝60°.定义
前提
两条异面直线a，b
作法
经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
结论
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围
记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°.
特殊情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
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