初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试单元测试课后测评

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试单元测试课后测评，共15页。试卷主要包含了二次函数y＝，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
人教版2021年九年级数学上册第22章《二次函数》单元测试题
（满分120分）
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 成绩_________
题号
一
二
三
总分
得分




一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．二次函数y＝（x+3）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（3，﹣5） B．（﹣3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（3，5）
2．下列各坐标表示的点中，在函数y＝x2+1的图象上的是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，4） C．（1，2） D．（1，4）
3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
4．将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+5 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+5
5．若一个长方形的周长为20cm，一条边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x之间满足的关系式为（　　）
A．y＝x2 B．y＝（20﹣x）2 C．y＝x•（20﹣x） D．y＝x•（10﹣x）
6．在同一直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A． B． C． D．
7．已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．

A．3 B．6 C．8 D．9
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0，②3a﹣b＝0，③a+b+c＝0，④9a﹣3b+c＜0，⑤b2﹣4ac＞0．其中正确的有（　　）

A．①②⑤ B．②③⑤ C．②③④ D．③⑤
10．已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），且过A（0，b），B（3，a）两点（b，a是实数），若0＜m＜n＜2，则ab的取值范围是（　　）
A．0＜ab＜ B．0＜ab＜ C．0＜ab＜ D．0＜ab＜
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的对称轴是 　 　．
12．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为 　 　．
13．已知A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）是二次函数y＝x2+4x﹣1图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为y1　 　y2．
14．将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线与y轴交点的坐标为 　 　．
15．已知y是x的二次函数，如表给出了y与x的几对对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
由此判断，表中a＝　 　．
16．某品牌新能源汽车电池容量u（千瓦时）与使用时长t（小时）的关系可近似地用关系式u＝100﹣8t2来表示，则当t＝2时，汽车电池容量为 　 　千瓦时．
17．如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为　 　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）已知二次函数y＝x2+4x﹣6．
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．


19．（6分）画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．
（1）先求顶点坐标：（　 　，　 　）；
（2）列表
x
…





…
y
…





…
（3）画图．



20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．



21．（8分）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．
（2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．




22．（8分）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量y（个}与销售单价x（元）之间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售单价为30元时，每天的销量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销出量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每填的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能使每天的销售润最大？最大利润是多少元？




23．（8分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣5恰好经过A（2，﹣9），B（4，﹣5），C（4，﹣13）三点中的两点．
（1）求该抛物线解析式；
（2）对于这个函数，若自变量x的值增加5时，对应的函数值y增大，求满足条件的x的取值范围．




24．（10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．





25．（10分）定义：与坐标轴不重合的直线l交x，y轴于A、B两点（A、B不重合），若抛物线L过点A和点B，则称此抛物线L为直线l的“和谐线”，如图L1，L2均为直线l的“和谐线”．
（1）已知直线的解析式为y＝﹣x+4，则下列抛物线是直线l的“和谐线”的有　 　．①y＝x2﹣5x+4
②y＝2x2﹣7x﹣4
③
（2）已知直线y＝kx+b的“和谐线”为，且直线与双曲线交于点M，N，求线段MN的长．
（3）已知直线y＝﹣cx+c（c≠0）的“和谐线”为y＝ax2+bx+c（a≠0，且a＞b＞c），求该“和谐线”在x轴上所截线段长d的取值范围．

















参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵抛物线解析式为y＝（x+3）2﹣5，
∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣5）．
故选：B．
2．解：当x＝﹣1时，y＝x2+1＝（﹣1）2+1＝2，
∴点（﹣1，﹣2）和点（﹣1，4）不在该函数图象上；
当x＝1时，y＝x2+1＝12+1＝2，
∴点（1，2）在该函数图象上，点（1，4）不在该函数图象上；
故选：C．
3．解：当x＝1时，y1＝x2+2x+k＝1+2+k＝k+3；
当x＝﹣2时，y2＝x2+2x+k＝4﹣4+k＝k，
所以y1＞y2．
故选：A．
4．解：将抛物线y＝x2+2先向上平移3个单位再向右平移1个单位，得到的抛物线是：y＝（x﹣1）2+2+3，即y＝（x﹣1）2+5；
故选：A．
5．解：∵一个长方形的周长为20cm，一条边长为xcm（x＞0），
∴长方形的另一边长为：（10﹣x） cm，
根据题意可得：y＝x•（10﹣x）．
故选：D．
6．解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意；
故选：A．
7．解：∵直线y＝kx+2过一、二、三象限．
∴k＞0．
联立直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3组成方程组得：
．
∴x2﹣2x+3＝kx+2．
∴x2﹣（2+k）x+1＝0．
∴Δ＝（﹣2﹣k）2﹣4＝k2+4k
∵k＞0．
∴Δ＞0．
∴直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为2个．
故选：C．
8．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．
故选：B．
9．解：抛物线的开口向下，则a＜0，
∵﹣＝﹣，
∴b＝3a＜0，
∴3a﹣b＝0，故②正确；
与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线的另一交点为（1，0），
∴x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③正确；
∵x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，故④错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确；
故选：B．
10．解法1、∵函数是一个二次项系数为1的二次函数，
∴此函数的开口向上，开口大小一定，
∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab≥0（a＝b时取等号），
即a2+b2≥2ab（当a＝b时取等号），
∴当a＝b时，ab才有可能最大，
∵二次函数过A（0，b），B（3，a）两点，
∴当a＝b时，点A，B才关于抛物线的对称轴对称，即抛物线的对称轴为直线x＝1.5，
∵抛物线与x轴交于两点（m，0），（n，0），且0＜m＜n＜2，
∴抛物线的顶点越接近x轴，ab的值越大，
即当抛物线与x轴只有一个交点时，是ab最大值的分界点，
当抛物线与x轴只有一个交点时，此时m＝n＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣）2＝x2﹣3x+，
∴a＝b＝，
∴ab＜（）2＝，
∴0＜ab＜，
故选：C．

解法2、由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），
所以可设交点式y＝（x﹣m）（x﹣n），
分别代入（m，0），（n，0），
∴ab＝mn（3﹣m）（3﹣n）＝（3m﹣m2）（3n﹣n2）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]
∵0＜m＜n＜2，
∴0＜﹣（m﹣）2+≤，0＜﹣（n﹣）2+≤，
∵m＜n，
∴ab不能取，
∴0＜mn＜，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，
∴该抛物线对称轴是直线x＝1，
故答案为：直线x＝1．
12．解：将抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）2+2，
故答案为：y＝（x+1）2+2．
13．解：将A，B代入二次函数y＝x2+4x﹣1得：
y1＝（﹣3）2+4×（﹣3）﹣1
＝9﹣12﹣1
＝﹣4，
y2＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1
＝1﹣4﹣1
＝﹣4，
∴y1＝y2，
故答案为：＝．
14．解：∵将抛物线向上平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3，
∴当x＝0，则y＝3，
故得到的新抛物线图象与y轴的交点坐标为：（0，3）．
故答案为：（0，3）．
15．解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝＝1，
∴x＝﹣1时的函数值等于x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，a＝6．
故答案为：6．
16．解：当t＝2时，u＝100﹣8t2＝100﹣8×22＝68．
故答案为：68．
17．解：设P（x，x2﹣2x3），
∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，
∴四边形OAPB为矩形，
∴四边形OAPB周长＝2PA+2OA
＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x
＝﹣2x2+6x+6
＝﹣2（x2﹣3x）+6，
＝﹣2+．
∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．
故答案为．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．解：（1）y＝x2+4x+4﹣6﹣4＝（x2+4x+4）﹣10
＝（x+2）2﹣10；
（2）y＝（x+2）2﹣10，
∵a＝1＞0，
∴二次函数图象的开口向上．对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标是（﹣2，﹣10）．
19．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9
∴其顶点坐标为（1，﹣9）
故答案为：1，﹣9
（2）列表
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣5
﹣8
﹣9
﹣8
﹣5
0
…
（3）画图：

20．解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣；
（2）二次函数y＝x2+x﹣m图象的对称轴为直线x＝﹣，
∴抛物线与x轴两个交点关于直线x＝﹣对称，
由图可知抛物线与x轴一个交点为（1，0），
∴另一个交点为（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
21．解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）＝450，
解得x1＝5，x2＝45，
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；
当x＝45时，100﹣2x＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝xm．
∴S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，
∵a＝40，
∴x＝40时，S的最大值为：﹣（40﹣50）2+1250＝﹣50+1250＝1200（m²）．
答：若a＝40，矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．
22．解：（1）设函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：，
解得：，
∴函数关系式为y＝﹣10x+540；
（2）由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+540）＝﹣10（x﹣37）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＝37时，w有最大值为2890，
答：当销售单价定为37元时，才能使每天的销售润最大，最大利润是2890元．
23．解：（1）当抛物线经过点A、B时，
将A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，解得，
∴此时抛物线解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，
当抛物线经过点A、C时，
将A（2，﹣9），C（4，﹣13）代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，解得，
此时不符合条件，
当抛物线经过点B、C时，
将B（4，﹣5），C（4，﹣13）代入代入y＝ax2+bx﹣5，
得：，此时方程无解，
综上所述，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x﹣5．
（2）由题意得：（x+5）2﹣4（x+5）﹣5＞x2﹣4x﹣5，
解得x＞，
∴满足条件的x的取值范围为：x＞．
24．（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），
将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a＝，
∴y＝﹣（x﹣4）（x﹣1）＝﹣x2+x﹣2，
故该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣2，
（2）如图，

设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，
设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：
，解得，
∴直线AC：y＝x﹣2，
设点D坐标为（x，﹣x2+x﹣2），则点E坐标为（x，x﹣2），
S△DCA＝S△DCE+S△DAE＝×DE×xE+×DE×（xA﹣xE）＝×DE×xA＝×DE×4＝2DE，
∵DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，
∴S△DCA＝2DE＝2×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，y＝﹣x2+x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），
此时△DCA的面积最大，最大值为4．
25．解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴交点坐标（4，0），与y轴交点坐标（0，4），
把两点坐标代入①②③函数关系式，得到①③函数都经过这两点，
∴抛物线①③是直线l的“和谐线”，
故答案为①③；
（2）令x＝0，得y＝﹣1；
令y＝0，得＝0，
解得，x＝2，
∴抛物线与x，y轴的交点分别为（2，0）及（0，﹣1），
把两点坐标代入y＝kx+b，
得，
∴直线为：，
联立直线与双曲线的解析式，
解方程组得 或，
∴两交点坐标为（﹣2，﹣2）及（4，1），
∴MN＝＝；
（3）令y＝0，得ax2+bx+c＝0，
设方程两根为x1，x2，
∴d＝|x1﹣x2|＝，
∵x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴，
∵直线y＝﹣cx+c（c≠0）过点（1，0），
代入y＝ax2+bx+c中，
得a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b，
代入d中得＝＝＝||＝|2+|，
∵a+b+c＝0，a＞b＞c，
∴a＞b＞﹣a﹣b，a＞0，
则，
∴＜2+＜3，
∴．