人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程教案

这是一份人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程教案，共7页。


课题
21.3 实际问题与一元二次方程
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；
2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．
重点
能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程.
难点
将实际问题转化为数学问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：列方程解应用题的步骤有哪些呢？
审：审清题目，明确已知量和未知量以及它们之间的关系；
设：设出未知数；
列：列出方程，根据已知量和未知量之间的等量关系列出方程；
解：解方程，求出未知数的值；
验：检验方程的解是否具有实际意义；
答：写出答案.
学生回忆、思考并回答问题
熟悉列方程解应用题的步骤.
讲授新课
环节一：探究问题
问题：若一人患新冠肺炎，每人每轮能传染5人，则第一轮过后共有6人患了流感，第二轮过后共有36人患了流感.
探究1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有x+1个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有(x+1)2个人患了流感.
列方程(x+1)2=121
解方程，得x1=10，x2= -12(舍)
答：平均一个人传染了10个人.
思考：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？
121×(1+10)=1331(人)
小结：传播问题：
如果一开始是a个人，每轮传染中平均一个人传染x个人.n轮后，一共有 a(1+x)n个人被传染.
探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元.
列方程5000(1-x)2=3000
解方程，得x1≈0.225，x2≈ 1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
思考：为什么选择22.5%作为答案？
注意：年平均下降额不等同于年平均下降率.
分析：设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后甲种药品成本为6000(1-y)元，两年后甲种药品成本为6000(1-y)2元.
列方程6000(1-y)2=3600
解方程，得y1≈0.225，y2≈ 1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样.
小结：变化率问题：
原来的量×（1±变化率）时间间隔=现在的量
其中，增长率时：1+变化率；
下降率时：1- 变化率.
探究3：要设计一本书的封面,封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?
分析：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm，种由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是
设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x) cm，宽为(21-14x) cm.
如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.
列方程(27-18x)(21-14x)=×27×21
整理，得16x2-48x +9=0
解方程，得
思考：方程的哪个根符合实际意义？为什么？
答：上、下边衬的宽均为 cm，左、右边衬的宽均为 cm.
如果换一种设未知数的方法，是否有更简单的方法？请你试一试.
方法二：封面的长宽之比是27：21=9:7，中央的矩形的长宽之比也应是9:7. 设中央的矩形的长和宽分别是9x cm和7x cm，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央的矩形的面积是封面面积的四分之三.
列方程9x·7x =
解得x=
上、下边衬的宽度是cm
左、右边衬的宽度是cm
答：上、下边衬的宽均为cm，左、右边衬的宽均为 cm.
小结：面积问题：矩形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
三角形面积=低×高÷2
环节二：课堂练习
为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播. 他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n=10.
2.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为( C )
A.x2=1980 B.x(x+1)=1980
C.x(x-1)=1980 D.x(x-1)=1980
3.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为( B )
A.1+x+x(1+x)=73 B.1+x+x2=73
C.1+x2=73 D.(1+x)2=73
4.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有 6个球队参加了这次比赛.
5.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程( B )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
A
B
x
如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为 640 的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏 AB 的长为 x m，则根据题意可列方程x2-80x+1280=0．
7.某如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，且互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
解：设道路宽为x米
由题意知：(32-2x)(20-x)=570
解得 x1=1 ，x2=35（舍）
答：道路宽为1米.
师生合作，完成三个探究问题.
在老师的引导下，学生探究，讲传播问题转化成数学问题.
师生共同分析，学生发现一元二次方程在实际应用中所要注意的问题.
学生自行探究用其他方法解决问题.
学生练习，师生互评订正.
掌握传播问题、变化率问题、面积问题.
将实际问题转化成数学问题，总结传播问题的解决方法.
引导学生发现用数学问题解决问题，要结合生活实际，掌握变化率问题的解决方法.
培养学生发散思维能力，用多种方法解决同一问题.
通过练习，使学生熟练掌握实际问题与一元二次方程的关系.
课堂小结
1．传播问题的规律：
如果一开始是1个人，每轮传染中平均一个人传染x个人.第n轮，一共有 (1+x)n个人被传染.
2．变化率问题的求解：
原来的量×（1±变化率）时间间隔=现在的量
3．面积问题的求解：矩形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
三角形面积=底×高÷2
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
21.3 实际问题与一元二次方程
探究1： 探究2： 探究3：
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.