2020-2021学年四川省成都市双流区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省成都市双流区八年级（下）期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）若x＞y，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．x﹣6＜y﹣6B．3x＜3yC．﹣2x＜﹣2yD．x+1＜y+1
2．（3分）下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1D．2m（R+r）＝2mR+2mr
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE．若AE平分∠BAD，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（ ）
A．61°B．109°C．119°D．122°
5．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3B．x＞﹣3C．x≥3D．x＞3
6．（3分）正多边形的一个外角等于45°，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（3分）有两块田，第一块x公顷，年产棉花m千克；第二块田y公顷，年产棉花n千克；这两块田平均每公顷的棉花年产量是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
9．（3分）如图，正比例函数y1＝﹣2x与一次函数y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣1
10．（3分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）已知函数y＝3x+5，当y＞0时，x的取值范围是 ．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝13，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点E，F．过点E，F作直线EF，交BC于点D，连接AD，则△ABD的周长为 ．
13．（4分）代数式与代数式的值相等，则x＝ ．
14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED＝3BE，则BD＝ ．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）因式分解：2x2﹣12xy+18y2；
（2）解不等式组：．
16．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
17．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系xOy内，顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣3，5），C（﹣2，3），正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕点A1顺时针旋转180°后得到的△A1B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）求在（2）中变换过程中，点C1绕点A1旋转到C2点所经过的路径长．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
19．（10分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
20．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E．已知AD＝8，BD＝6．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG．求EG的长．
（3）如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长．
一、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知+＝，则的值是 ．
22．（4分）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 ．
23．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
24．（4分）某段高速公路全长250千米，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔28千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
25．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4．D为△ABC所在平面内的一个动点，且满足∠BDC＝90°，E为线段AD的中点，连接CE，则线段CE长的最大值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置篮球和足球共20个．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．
（1）设学校购买这款篮球x个，购进篮球和足球的总费用为y元，请求出y（元）与x（个）之间的关系式；
（2）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？
27．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1．连接AA1，BB1交于点D．
（1）如图1，当点A1落在BC的延长线上时，求线段AB1的长；
（2）如图2，当△ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AA1中点；
（3）若△A1B1C从图1的位置绕点C继续顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，求α的值．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在y轴正半轴上（OB＜OA），把线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，过点C分别向x轴，y轴作垂线，垂足为D，E．
（1）求四边形ABEC的面积；
（2）若CE＝4BE，求直线AC的表达式；
（3）在（2）的条件下，点P为OE延长线上一点，连接PC，作∠PCD的平分线，交x轴于点F，若△PCF为等腰三角形，求点F的坐标．
2020-2021学年四川省成都市双流区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）若x＞y，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．x﹣6＜y﹣6B．3x＜3yC．﹣2x＜﹣2yD．x+1＜y+1
【分析】利用不等式的性质判断即可．
【解答】解：A、因为x＞y，
所以x﹣6＞y﹣6，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、因为x＞y，
所以3x＞3y，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、因为x＞y，
所以﹣2x＜﹣2y，原变形正确，故此选项符合题意；
D、因为x＞y，
所以x+1＞y+1，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）下列剪纸作品中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
3．（3分）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1D．2m（R+r）＝2mR+2mr
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、m2﹣4＝（m+2）（m﹣2），是因式分解，故此选项符合题意；
C、m2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
D、2m（R+r）＝2mR+2mr，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE．若AE平分∠BAD，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（ ）
A．61°B．109°C．119°D．122°
【分析】由平行四边形的性质可得∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，由角平分线的性质和外角性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝61°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝119°，
故选：C．
5．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3B．x＞﹣3C．x≥3D．x＞3
【分析】直接利用二次根式有意义则被开方数是非负数，再结合分式有意义的条件得出答案．
【解答】解：代数式在实数范围内有意义，
则2x﹣6＞0，
解得：x＞3．
故选：D．
6．（3分）正多边形的一个外角等于45°，这个多边形的边数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：外角和是360°，且正多边形的每个外角相等，则多边形的边数是：360÷45＝8，
故选：B．
7．（3分）有两块田，第一块x公顷，年产棉花m千克；第二块田y公顷，年产棉花n千克；这两块田平均每公顷的棉花年产量是（ ）
A．B．C．D．
【分析】因为两块地共收（m+n）千克，面积是（x+y）公顷，所以每公顷的产量为千克．
【解答】解：由题意得：两块地共收（m+n）千克，面积是（x+y）公顷．
（m+n）÷（x+y）＝（千克/公顷）．
故选：C．
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，正比例函数y1＝﹣2x与一次函数y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣1
【分析】由反比例函数图象上点的特征可求解m值，即可求解A点坐标，由图象即可求解不等式的解集．
【解答】解：∵正比例函数y1＝﹣2x与一次函数y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，m），
∴m＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴A（﹣1，﹣2），
由图象可知：当x＜﹣1时，﹣2x＞ax+3，
即关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是x＜﹣1，
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】连接AF．由AB＝AD，F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD．再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC＝2EF＝4．
【解答】解：如图，连接AF．
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD．
∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，
∴AC＝2EF＝4．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）已知函数y＝3x+5，当y＞0时，x的取值范围是 x＞﹣ ．
【分析】由已知可得不等式3x+5＞0，解不等式即可求x的范围．
【解答】解：∵y＞0，
∴3x+5＞0，
∴x＞﹣，
故答案为x＞﹣．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝13，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点E，F．过点E，F作直线EF，交BC于点D，连接AD，则△ABD的周长为 18 ．
【分析】根据线段垂直平分线的定义得到DA＝DC，根据三角形的周长公式得到结论．
【解答】解：由作图可知，EF垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BC+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝5+13＝18，
故答案为：18．
13．（4分）代数式与代数式的值相等，则x＝ ﹣ ．
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【解答】解：根据题意得：＝，
去分母得：x＝3（x+3），
区号得：x＝3x+9，
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣．
故答案为：﹣．
14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED＝3BE，则BD＝ 4 ．
【分析】利用矩形的性质可证△OAB是等边三角形，可得∠ABD＝60°，可证BD＝2AB，在Rt△ABD中，利用勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB＝OD＝OC，
∵ED＝3BE，
∴OE＝BE，
∵AE⊥BD，
∴AB＝OA，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠ADE＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴BD＝2AB，
∵AD2+AB2＝BD2，
∴36+AB2＝4AB2，
∴AB＝2，
∴BD＝4，
故答案为4．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）因式分解：2x2﹣12xy+18y2；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）首先提取公因式2，再利用完全平方公式进行二次分解即可；
（2）分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣6xy+9y2）＝2（x﹣3y）2；
（2）解不等式组，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤3，
不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．
16．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】先把除法化为乘法，再根据运算顺序与计算方法先化简，再把x＝代入求解即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝•
＝，
当x＝时，原式＝＝．
17．（8分）已知△ABC在平面直角坐标系xOy内，顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣3，5），C（﹣2，3），正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕点A1顺时针旋转180°后得到的△A1B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）求在（2）中变换过程中，点C1绕点A1旋转到C2点所经过的路径长．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出B1，C1的对应点B2，C2即可．
（3）利用圆的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A1B2C2即为所求，点B2的坐标（3，﹣1）
（3）点C1绕点A1旋转到C2点所经过的路径长＝•2π•＝π．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE＝BF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AD＝13，DE＝12，DC＝20，求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到AD∥BC，求得∠DAE＝∠BCF，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AE＝5，CE＝16，求得AC＝5+16＝21，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：在Rt△ADE中，∵AD＝13，DE＝12，
∴AE＝＝＝5，
在Rt△CDE中，∵DE＝12，DC＝20，
∴CE＝＝＝16，
∴AC＝5+16＝21，
∴四边形ABCD的面积＝2S△ACD＝2×21×12＝252．
19．（10分）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问原先每天生产多少万剂疫苗？
【分析】设原先每天生产x万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．
【解答】解：设原先每天生产x万剂疫苗，
由题意可得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原方程的解，
∴原先每天生产40万剂疫苗．
20．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为E．已知AD＝8，BD＝6．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）如图2，延长AD至点F，使AF＝AB，连接BF，G为BF的中点，连接EG，DG．求EG的长．
（3）如图3，在（2）问的条件下，P为BE边上的一个动点，连接PG并延长交AD延长线于点Q，连接CQ，H为CQ的中点，求点P从E点运动到B点时，点H所经过的路径长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得BD＝CD，AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，由外角的性质和角平分线的可证∠BAN＝∠ABC，可得AN∥BC，进而可证AD⊥AN，即可得结论；
（2）在Rt△ABD中，由勾股定理可求AB的长，由AAS可证△BEG≌△FKG，可得BE＝FK＝8，EG＝GK，在Rt△AEK中，由勾股定理可求EK的长，即可求解；
（3）由三角形中位线定理可得JH＝AQ，即点H在JH上移动，利用点P在特殊位置，可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD，AD⊥BC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAM＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∵AN平分∠BAM，
∴∠MAN＝∠BAN＝∠BAM，
∴∠BAN＝∠ABC，
∴AN∥BC，
∴AD⊥AN，
又∵BE⊥AN，AD⊥BC，
∴四边形ADBE是矩形；
（2）如图2，延长AF，EG交于点K，
∵矩形ADBE中，AD＝8，BD＝6．
∴BE＝AD＝8，AE＝BD＝6，BE∥AD，∠ADB＝∠DAE＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴AF＝AB＝10，
∵BE∥AD，
∴∠BEG＝∠K，∠EBG＝∠CFG，
∵G为BF的中点，
∴BG＝GF，
∴△BEG≌△FKG（AAS），
∴BE＝FK＝8，EG＝GK，
∴AK＝18，
∴AK＝＝＝6，
∴EG＝3；
（3）如图3，取AC中点J，连接CF，JH，
∵点J是AC的中点，点H是CQ的中点，
∴JH＝AQ，
∵P为BE边上的一个动点，
∴点H在JH上移动，
当点P在点E时，由（2）可知AQ＝18，
∴JH＝9，
当点P在点B时，则点Q与点F重合，
∴AQ＝10，
∴JH＝5，
∴点H所经过的路径长＝9﹣5＝4．
一、填空题（每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知+＝，则的值是 3 ．
【分析】根据题目中的式子，进行灵活变形即可解答本题．
【解答】解：∵+＝，
∴，
∴，
故答案为：3．
22．（4分）如图所示，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，则DE的长为 ．
【分析】先证明DE为△ABC的中位线，得到四边形BCFE为平行四边形，求出BC＝EF＝3，根据中位线定理即可求解．
【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC＝EF＝3，
∴．
故答案为：．
23．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 8 ．
【分析】解一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出＜6，求出a的范围a＜7；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出＞0，求得a的范围a＞﹣5；检验分式方程，列出≠1，即a≠﹣3，求得a的范围﹣5＜a＜7，且a≠﹣3，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：x＞，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴＜6，
∴a＜7，
分式方程两边都乘（y﹣1）得：y+2a﹣3y+8＝2（y﹣1），
解得：y，
∵方程的解是正整数，
∴＞0，
∴a＞﹣5；
∵y﹣1≠0，
∴≠1，
∴a≠﹣3，
∴﹣5＜a＜7且a≠﹣3，
∴能是正整数的a是：﹣1，1，3，5，
∴所有满足条件的整数a的值和为8，
故答案为：8．
24．（4分）某段高速公路全长250千米，交警部门在高速公路上距入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔28千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公路上，离入口 38或178 千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
【分析】设第x个标志牌和第y个摄像头离入口的距离相同，根据标志牌和摄像头离入口的距离相同，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之可得出x＝，结合x，y均为正整数，可得出y＝5n+2（n为自然数），再将其代入10+28（y﹣1）中，即可求出结论．
【解答】解：设第x个标志牌和第y个摄像头离入口的距离相同，
依题意得：3+5（x﹣1）＝10+28（y﹣1），
∴x＝．
又∵x，y均为正整数，
∴y＝5n+2（n为自然数），
∴10+28（y﹣1）＝140n+38．
当n＝0时，10+28（y﹣1）＝38；
当n＝1时，10+28（y﹣1）＝178．
故答案为：38或178．
25．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4．D为△ABC所在平面内的一个动点，且满足∠BDC＝90°，E为线段AD的中点，连接CE，则线段CE长的最大值为 1+ ．
【分析】取BC的中点G，连接AG，取中点F，则EF＝，OF＝即可解决．
【解答】解：取BC的中点G，连接AG，DG，取中点F，连接EF，CF，
∵∠BDC＝90°，BC＝4，
∴DG＝CG＝2，
在Rt△ACG中，AG＝，
∵F为AG的中点，
∴CF＝，
∵E为线段AD的中点，F为AG的中点，
∴EF＝，
∵CF+EF≥CE，
∴CE最大值为1+，
故答案为：1+．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置篮球和足球共20个．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．
（1）设学校购买这款篮球x个，购进篮球和足球的总费用为y元，请求出y（元）与x（个）之间的关系式；
（2）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．学校有哪几种购买方案？
【分析】（1）根据“总价＝单价×数量”即可得出y（元）与x（个）之间的关系式；
（2）设购买篮球x个，购买足球（20﹣x）个，根据用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的，列出不等式组求解即可；
【解答】解：（1）由题意，得y＝200x+150（20﹣x）＝50x+3000；
（2）设购买篮球x个，购买足球（20﹣x）个，由题意得，
，
解得8＜x≤11，
∵x取正整数，
∴x＝9，10，11，
∴20﹣x＝11，10，9，
答：一共有3种方案：
方案一：购买篮球9个，购买足球11个；
方案二：购买篮球10个，购买足球10个；
方案三：购买篮球11个，购买足球9个．
27．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1．连接AA1，BB1交于点D．
（1）如图1，当点A1落在BC的延长线上时，求线段AB1的长；
（2）如图2，当△ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AA1中点；
（3）若△A1B1C从图1的位置绕点C继续顺时针旋转α（0°＜α≤90°），当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，求α的值．
【分析】（1）如图1中，过点B1作B1E⊥AB于E，B1F⊥CA1于F．可得四边形EBFB1是矩形，求出AE，EB1，可得结论．
（2）如图2中，设AC交BD于点O，过点A作AJ⊥BD于J，CK⊥BD于K．想办法证明∠ADB＝45°，∠BDC＝45°，推出CD⊥AA1可得结论．
（3）分两种情形：①如图3中，当AB与A1B1的交点Q在BA的延长线上时，延长BC到T，②如图4中，当AB与A1B1的交点Q在AB的延长线上时，延长BC到T，分别利用全等三角形的判定和性质求解即可．
【解答】（1）解：如图1中，过点B1作B1E⊥AB于E，B1F⊥CA1于F．
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC＝CA1＝＝4，
∵B1C＝B1A1，B1F⊥CA1，
∴CF＝FA2＝2，
∴B1F＝CA1＝2，
∵∠B1EB＝∠EBF＝∠BFB1＝90°，
∴四边形EBFB1是矩形，
∴BE＝FB1＝2，EB1＝BF＝4+2，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣2，
∴AB1＝＝＝4．
（2）证明：如图2中，设AC交BD于点O，过点A作AJ⊥BD于J，CK⊥BD于K．
由旋转的性质可知，CB＝CB1，CA＝CA1，
∴∠CBB1＝∠CB1B，∠CAA1＝∠CA1A，
∵∠ACB＝∠A1CB1＝45°，
∴∠BCB1＝∠ACA1，
∴∠CBO＝∠OAD，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠ADO＝∠BCO＝45°，
∵AJ⊥BD，
∴∠AJD＝90°
∴∠JAD＝∠JDA＝45°，
∴JA＝JD，
∵CK⊥BD，
∴∠AJB＝∠BKC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABJ+∠CBK＝90°，∠CBK+∠BCK＝90°，
∴∠ABJ＝∠BCK，
在△AJB和△BKC中，
，
∴△AJB≌△BKC（AAS），
∴BJ＝CK，AJ＝BK，
∴BK＝DJ，
∴BJ＝DK＝CK，
∴∠CDK＝45°，
∴∠ADC＝∠ADK+∠CDK＝90°，
∴CD⊥AA1，
∵CA＝CA1，
∴AD＝DA1，即点D为线段AA1中点．
（3）解：①如图3中，当AB与A1B1的交点Q在BA的延长线上时，延长BC到T，
在Rt△CQB和Rt△CQB1中，
，
∴Rt△CQB≌Rt△CQB1（HL），
∴∠CQB＝∠CQB1＝∠AQB1＝15°，
∴∠QCB＝∠QCB1＝75°
∴∠TCB1＝180°﹣2×75°＝30°，
∴α＝45°﹣30°＝15°．
②如图4中，当AB与A1B1的交点Q在AB的延长线上时，延长BC到T，
同法可证∠QCB＝∠QCB1＝75°，
∴∠TCB1＝180°﹣2×75°＝30°，
∴α＝45°+30°＝75°，
综上所述，满足条件的α的值为15°或75°．
28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在y轴正半轴上（OB＜OA），把线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，过点C分别向x轴，y轴作垂线，垂足为D，E．
（1）求四边形ABEC的面积；
（2）若CE＝4BE，求直线AC的表达式；
（3）在（2）的条件下，点P为OE延长线上一点，连接PC，作∠PCD的平分线，交x轴于点F，若△PCF为等腰三角形，求点F的坐标．
【分析】（1）根据ASA证△ABE≌△ACG，得出△EOA是等腰直角三角形，再根据S四边形ABEC＝S△AEG计算面积即可；
（2）设OB＝a，则AD＝a，根据CE＝4BE，得出方程解出a的值，得到C点坐标，用待定系数法求解析式即可；
（3）分PF＝PC和PF＝CF和CP＝CF三种情况分别计算出F点坐标即可．
【解答】解：（1）∵A（5，0），
∴OA＝5，
如图1，连接AE，作∠EAG＝90°，AG交EC的延长线于点G，
∴∠BAC＝90°＝∠EAG，
∴∠CAG＝∠BAE，
∵∠CEO+∠BAC＝180°，则∠ABE+∠ACE＝180°，
又∵∠ACG+∠ACE＝180°，
∴∠ABE＝∠ACG，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACG（ASA），
∴AE＝AG，
∴∠AEG＝∠AGE＝45°，
∴∠AEO＝45°＝∠EAO，
∴OE＝OA＝5，AE＝5，
∴S四边形ABEC＝S△AEG＝×5×5＝25；
（2）设OB＝a，则AD＝a，
∴CE＝OD＝a+5，BE＝5﹣a，
∵CE＝4BE，
∴a+5＝4（5﹣a），
解得a＝3，
∴点C的坐标为C（8，5），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
代入A点，C点坐标，得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣；
（3）设点F的坐标为（m，0），
∵CF平分∠PCD，
∴∠PCF＝∠DCF，
①当PF＝PC时，
∴∠PFC＝∠PCF＝∠DCF，
∴PF∥PC，
∴F与原点O重合，
即F点坐标为（0，0）；
②当PF＝CF时，如备用图所示，
过点F作FM⊥CP，垂足为M，
则PM＝CM，∠CMF＝∠CDF＝90°，
∵∠PCF＝∠DCF，CF＝CF，
∴△CMF≌△CDF（AAS），
∴CM＝CD＝5，
∴PC＝10，
∵C点横坐标是8，
∴EC＝8，
∴PE＝＝＝6，
∴OP＝OE+PE＝6+5＝11，
由勾股定理得PF2＝OF2+OP2，CF2＝CD2+DF2，
又∵PF＝CF，
∴OF2+OP＝CD2+DF2，
即（﹣m）2+112＝52+（8﹣m）2，
解得m＝﹣2，
∴点F的坐标为（﹣2，0）；
③当CP＝CF时，如备用图2所示，
延长CF交y轴于点N，
∴∠CNP＝∠DCF＝∠PCF，
∴PN＝PC，
过点P作PQ⊥CF，垂足为Q，
则CQ＝QN，
在△PCQ和△FCD中，
，
∴△PCQ≌△FCD（AAS），
∴CQ＝CD＝5，
∴CN＝CQ+QN＝10，
∴EN＝＝＝6，
∴ON＝EN﹣OE＝6﹣5＝1，
即N（0，﹣1），
设直线CN的解析式为y＝sx+t，
代入点C，点N坐标，得，
解得，
∴直线CN的解析式y＝x﹣1，
当y＝0时，解得x＝，
∴F点坐标为（，0），
综上，当△PCF为等腰三角形时，F点的坐标为（0，0）或（﹣2，0）或（，0）．