2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：2.3　二次函数与幂函数 Word版含解析【KS5U 高考】

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【考情探究】
分析解读 本节重点考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用以及幂函数的图象及性质,重点考查等价转化和数形结合的思想.以二次函数为载体,解决二次函数的单调区间、二次函数在给定的闭区间上的最值以及有关参数的取值范围问题,关键是抓住函数图象的对称轴;幂函数问题主要是考查幂函数在第一象限内的图象及性质.本节内容在高考中的分值为5分左右,属于中档题.
破考点
【考点集训】
考点一 二次函数
1.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于 .
答案 9
考点二 幂函数
2.已知a,b∈R,若aA.a<2b B.ab答案 D
炼技法
【方法集训】
方法1 二次函数在区间上最值问题的解法
1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )
A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关
答案 B
方法2 解决一元二次方程根的分布问题的方法
2.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围;
(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的取值范围.
解析 令f(x)=x2+2mx+2m+1.
(1)由条件知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,
则f(0)=2m+1<0,f(-1)=2>0,f(1)=4m+2<0,f(2)=6m+5>0⇒m<-12,m∈R,m<-12,m>-56.
故m的取值范围是-56,-12.
(2)抛物线与x轴的交点的横坐标均落在区间(0,1)内,如图所示,
则f(0)>0,f(1)>0,Δ≥0,0<-m<1⇒m>-12,m>-12,m≥1+2或m≤1-2,-1故m的取值范围是-12,1-2.
方法3 幂函数的图象及性质的应用
3.(2016课标Ⅲ,7,5分)已知a=243,b=323,c=2513,则( )
A.b答案 A
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·天津卷题组
1.(2018天津,14,5分)已知a>0,函数f(x)=x2+2ax+a,x≤0,-x2+2ax-2a, x>0.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是 .
答案 (4,8)
2.(2014天津文,14,5分)已知函数f(x)=|x2+5x+4|, x≤0,2|x-2|, x>0.若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为 .
答案 (1,2)
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 二次函数
1.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间12,2上单调递减,那么mn的最大值为( )
A.16 B.18 C.25 D.812
答案 B
2.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cs 2x+asin x在区间π6,π2是减函数,则a的取值范围是 .
答案 (-∞,2]
考点二 幂函数
(2014浙江,7,5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=lgax的图象可能是( )
答案 D
C组 教师专用题组
1.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.(2015广东,21,14分)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当a≥2时,讨论f(x)+4x在区间(0,+∞)内的零点个数.
解析 (1)f(0)=a2+|a|-a(a-1)=|a|+a.
当a≤0时, f(0)=0≤1对于任意的a≤0恒成立;
当a>0时, f(0)=2a,
令2a≤1,解得0综上,a的取值范围是-∞,12.
(2)易知函数f(x)的定义域为R.
由已知得, f(x)=x2-(2a+1)x+2a, x≤a,x2-(2a-1)x, x>a,
则f '(x)=2x-(2a+1), x≤a,2x-(2a-1), x>a.
当x≤a时, f '(x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1<0,
所以f(x)在区间(-∞,a]上单调递减;
当x>a时, f '(x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+1>0,
所以f(x)在区间(a,+∞)上单调递增.
(3)令h(x)=f(x)+4x,由(2)得,
h(x)=x2-(2a+1)x+2a+4x, 0a,
则h'(x)=2x-(2a+1)-4x2, 0a,
当0所以h(x)在区间(0,a]上单调递减;
当x>a时,因为a≥2,所以x>2,所以0<4x2<1,
所以h'(x)=2(x-a)+1-4x2>0,
所以h(x)在区间(a,+∞)上单调递增.
因为h(1)=4>0,h(2a)=2a+2a>0,
①若a=2,则h(a)=-a2+a+4a=-4+2+2=0,
此时h(x)在(0,+∞)上有唯一一个零点;
②若a>2,则h(a)=-a2+a+4a=-a3-a2-4a=-a2(a-1)-4a<0,此时h(x)在区间(0,a)和(a,+∞)上各有一个零点,共两个零点.
综上,当a=2时, f(x)+4x在区间(0,+∞)内有一个零点;
当a>2时, f(x)+4x在区间(0,+∞)内有两个零点.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.(2019届天津一中1月月考,5)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a 的部分图象,则函数g(x)=ln x+f '(x)的零点所在的区间是( )
A.14,12 B.12,1 C.(1,2) D.(2,3)
答案 B
2.(2019届天津耀华中学统练(1),14)设f(x)=x2,|x|≥1,x,|x|<1,g(x)是二次函数,若f(g(x))的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.(-∞,-1]∪[0,+∞) C.[1,+∞) D.[0,+∞)
答案 D
3.(2018天津实验中学热身训练,6)已知定义在R上的函数f(x)=x2+2tx+5(t为实数)为偶函数,记a=f(lg125),b=lg23,c=f(-1),则a,b,c的大小关系为( )
A.a答案 C
二、填空题(每小题5分,共20分)
4.(2019届天津耀华中学统练(1),17)若函数f(x)=x-4mx2+4mx+3的定义域为实数集R,则实数m的取值范围是 .
答案 0,34
5.(2019届天津南开中学统练(2),11)函数y=x2-3x+4x2+x+4(x>0)的值域为 .
答案 15,1
6.(2018天津南开中学第三次月考,14)已知函数f(x)=ax2+20x+14(a>0).若对任意实数t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在两个实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥4成立,则实数a的最小值为 .
答案 4
7.(2017天津实验中学高三统练,14)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),当x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,则(a+b)c的最大值为 .
答案 14
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.二次函数
1.了解二次函数的图象与性质
2.结合二次函数的图象,求二次函数的最值,单调区间
3.掌握三个“二次”之间的关系
2018天津,14
二次函数的图象及性质
函数零点与方程
★★★
2014天津文,14
含绝对值的二次函数图象
2.幂函数
1.了解幂函数的概念
2.结合五种基本幂函数的图象,了解它们的变化情况
2015天津文,20
幂函数求导及单调区间
导数在函数中的应用
★★★
2014天津文,19
幂函数求导及单调区间