2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：2.3　二次函数与幂函数 【KS5U 高考】

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2.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根的符号与系数之间的关系(1)方程有两个不相等的正实数根⇔ (2)方程有两个不相等的负实数根⇔ 
(3)方程有一正根一负根⇔④    ac<0    .
3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的区间根问题设x1、x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两实根, f(x)=ax2+bx+ c,则x1、x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.
考向    二次函数的最值问题
例　已知函数f(x)=x2-2x+4在区间[0,m](m>0)上的最大值为4,最小值为3, 则实数m的取值范围是 (　　)A.[1,2]　    B.(0,1]C.(0,2]　    D.[1,+∞)
解析　∵f(x)=(x-1)2+3,∴f(1)=3, f(0)=f(2)=4.作出函数f(x)的图象如图所 示,由图可以看出,当1≤m≤2时,函数f(x)=x2-2x+4在区间[0,m](m>0)上的 最大值为4,最小值为3.故选A. 
考向基础1.幂函数的定义一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中α为常数.2.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象 
3.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的性质
考向一    幂函数单调性的应用
例1　下列选项正确的是 (　　)>0.30.2　    B. < >1.250.2　    >0.93.1
考向二    幂函数图象及其应用
例2　函数f(x)= - 的零点个数为 (　　)A.0　    B.1　    C.2　    D.3
方法1  二次函数在区间上最值问题的解法二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴、区间都是给定的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两 个端点和中点,一轴是指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类 讨论的思想即可完成.对于(2)、(3)两种情况,通常要分对称轴与x轴交点的横坐标在区间内与
例1　已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,则a的值为  (　　)A.2　    B.-1或-3　    C.2或-3　    D.-1或2解题导引     
解析　函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种 情况讨论如下:①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,∴f(x)max=f(0)= 1-a,由1-a=2,得a=-1.②当01时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,∴f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,∴a=2.综上可知,a=-1或a=2.
方法2  解决一元二次方程根的分布问题的方法对方程根的分布问题,一般结合二次函数的图象从四个方面分析:(1)开口方向;(2)对称轴位置;(3)判别式;(4)端点函数值.
例2　已知二次函数f(x)=2x2-4ax+4,在下列条件下,求实数a的取值范围.(1)一个零点比2大,一个零点比2小;(2)两个零点均小于2.
解析　(1)∵二次函数f(x)=2x2-4ax+4的一个零点比2大,一个零点比2小, ∴f(2)=8-8a+4<0,解得a> .(2)解法一:∵函数图象的对称轴为x=a,两个零点均小于2,∴ 解得 ≤a< 或a≤- .解法二:记函数f(x)的两个零点分别为x1,x2.则 ∵x1<2,x2<2,∴ ⇒ ⇒ ≤a< 或a≤- .
方法3  幂函数的图象及性质的应用幂函数y=xα的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂,一般可从三方 面考查:(1)α的正负:α>0时图象经过(0,0)点和(1,1)点,在第一象限的部分“上 升”;α<0时图象不过(0,0)点,经过(1,1)点,在第一象限的部分“下降”;(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时曲线下凹,0<α<1时曲线上凸,α<0时 曲线下凹;(3)函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函 数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.注意重点掌握α=1,-1,2, ,3时这五个幂函数的图象、性质及应用.
例3　函数f(x)=(m2-m-1)· 是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足 >0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值 (　　)A.恒大于0　    B.恒小于0　    C.等于0　     D.无法判断