第4章 4.2 4.2.5　正态分布-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

这是一份第4章 4.2 4.2.5　正态分布-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义，

小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸(单位：cm)X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线的定义
一般地，函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))eeq \s\up8(－eq \f(x－μ2,2σ2))对应的图像称为正态曲线，其中μ＝E(X)，σ＝eq \r(DX).
(2)正态曲线的性质
①正态曲线关于x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；
②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；
③σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．
2．正态分布
(1)一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．
(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%.
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%.
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
思考1：如果X～N(μ，σ2)，那么P(x≤μ)与P(x≥μ)之间存在怎样的等量关系？
[提示] P(x≤μ)＝P(x≥μ)＝eq \f(1,2).
3．标准正态分布
(1)定义：μ＝0且σ＝1的分布称为标准正态分布，记作X～N(0,1)．
(2)概率计算方法：
如果X～N(0,1)，那么对于任意a，通常记Φ(a)＝P(x＜a)，其中Φ(a)表示N(0,1)对应的正态曲线与x轴在区间(－∞，a)内所围的面积．
特别地，Φ(－a)＋Φ(a)＝1.
思考2：正态分布Y～N(μ，σ2)化为标准正态分布的变换是什么？
[提示] 借助X＝eq \f(Y－μ,σ)实现转换．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正态曲线是一条钟形曲线．( )
(2)正态曲线可以关于y轴对称．( )
(3)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．正态曲线函数f(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(x－μ2,2σ2)，x∈R，其中μ＞0的图像是下图中的( )
A B
C D
D [因为正态曲线函数f(x)关于直线x＝μ对称，又μ＞0，故选D.]
3．(一题两空)如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量中X，Y对应曲线分别是图中的________、________.
① ② [在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．]
4．若随机变量X～N(0,1)，则P(x＜0)＝________.
eq \f(1,2) [由标准正态曲线关于y轴对称可知P(x＜0)＝eq \f(1,2).]
【例1】 设X～N(10,1)．
(1)求证：P(1(2)若P(X≤2)＝a，求P(10[解] (1)证明：∵X～N(10,1)，
∴正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，
而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称，
即P(1(2)∵P(X≤2)＋P(2μ＝10，
∴P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，
P(2∴2a＋2P(10即P(10充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解.
1熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等.
2PXμ＋a.
eq \([跟进训练])
1．(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝( )
A．0.477 B．0.625
C．0.954 D．0.977
(2)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a
(1)C (2)B [(1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.
(2)对称轴x＝2，∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a.]
【例2】 某厂生产的产品，质量要求服从正态分布N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？
[思路点拨] 由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间[100－2,100＋2]，即[98,102]内的概率为68.3%，在区间[96,104]内的概率为95.4%，在区间[94,106]内的概率为99.7%，所以据此可以判断结论．
[解] 由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间[100－3×2,100＋3×2]，即[94,106]内的概率为99.7%，而在这个区间外的概率仅为0.3%，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．
假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布Nμ，σ2.②确定一次试验中的取值a是否落入区间[μ－3σ，μ＋3σ]内.③作出判断：如果a∈[μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设.如果a∉[μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设.
eq \([跟进训练])
2．设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)；(3)P(X>5)．
[解] 因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)
＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%.
(2)因为P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，
所以P(3≤X≤5)＝eq \f(1,2)[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)]
＝eq \f(1,2)[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)]
＝eq \f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]
≈eq \f(1,2)×(95.4%－68.3%)＝13.55%.
(3)P(X>5)＝P(X＜－3)
＝eq \f(1,2)[1－P(－3≤X≤5)]＝eq \f(1,2)[1－P(1－4≤X≤1＋4)]≈2.3%.
[探究问题]
1．若随机变量ξ～N(0,1)，且Φ(a)＝m，则Φ(－a)等于多少？
[提示] 由Φ(a)＋Φ(－a)＝1，得Φ(－a)＝1－Φ(a)＝1－m.
2．如果Y～N(μ，σ2)，令X＝eq \f(Y－μ,σ)，试证明X～N(0,1)．
[提示] ∵E(X)＝eq \f(EY－μ,σ)＝eq \f(EY－μ,σ)＝eq \f(μ－μ,σ)＝0，
D(X)＝eq \f(DY－μ,σ2)＝eq \f(DY,σ2)＝eq \f(σ2,σ2)＝1，
∴X＝eq \f(Y－μ,σ)～N(0,1)．
【例3】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名．
(1)试问此次参赛学生总数约为多少人？
(2)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(x0)＝P(x＜x0)
[思路点拨] (1)先求出90分以上(含90分)的学生所占的百分比，再计算参赛学生的总数A；
(2)利用P(ξ≥x)＝eq \f(50,A)，结合P(ξ＜x)＝Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－70,10)))求解．
[解] (1)设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70,100)，所以eq \f(ξ－70,10)～N(0,1)．
由条件知，P(ξ≥90)＝1－P(ξ＜90)
＝1－Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(90－70,10)))＝1－Φ(2)＝1－0.977 2＝0.022 8.
这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，
∴参赛总人数约为eq \f(12,0.022 8)≈526(人)．
(2)假定设奖的分数线为x分，则X～N(70,100)，故eq \f(x－70,10)～N(0,1)．
又P(ξ≥x)＝1－P(ξ＜x)
＝1－Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－70,10)))＝eq \f(50,526)≈0.095 1.
即Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－70,10)))≈0.904 9，查表得eq \f(x－70,10)≈1.31，
解得x＝83.1.故设奖的分数线约为83分．
1．任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布．
即：如果X～N(μ，σ2)，则Z＝eq \f(X－μ,σ)～N(0,1)．
2．Φ(a)＝P(x＜a)即标准正态曲线与x轴在区间(－∞，a)上的概率，解题时要熟记该要点．
eq \([跟进训练])
3．已知某地农村务工人员年平均收入服从μ＝8 000，σ＝500的正态分布．
(1)求此地农村务工人员年平均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比；
(2)如果要使此地农村务工人员年平均收入在(μ－a，μ＋a)内的概率不少于0.95，则a至少有多大？
[解] 设X表示此地农村务工人员年平均收入，
则X～N(8 000,5002)．
(1)P(8 000＜X＜8 500)
＝Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8 500－8 000,500)))－Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8 000－8 000,500)))
＝Φ(1)－Φ(0)＝0.841 3－0.5＝0.341 3.
即此地农村务工人员年平均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比为34.13%.
(2)∵P(μ－a＜X＜μ＋a)
＝Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,500)))－Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,500)))
＝2Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,500)))－1≥0.95，
∴Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,500)))≥0.975，查表得eq \f(a,500)≥1.96.
∴a≥980，
即a的值至少为980.
1．熟记P(μ－σ≤x≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)的值；
2．借助正态曲线的对称性及与x轴之间的面积为1两个特点；
3．借助线性变换使一般正态分布转化为标准正态分布，然后查表求得．变换方式为：Z＝eq \f(X－μ,σ)～N(0,1)，其中X～N(μ，σ2)．
1．设两个正态分布N(μ1，σeq \\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq \\al(2,2))(σ2>0)的密度函数图像如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2
A [根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.]
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)( )
A．0.6B．0.4
C．0.3D．0.2
C [∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.]
3．某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的________．
4.6% [属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)，即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数1－95.4%＝4.6%.]
4．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，在某项测量中，已知ξ在(－∞，－1.96]内取值的概率为0.025，则P(|ξ|＜1.96)＝________.
0.95 [法一：∵ξ～N(0,1)，
∴P(|ξ|＜1.96)＝P(－1.96＜ξ＜1.96)
＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950.
法二：因为曲线的对称轴是直线x＝0，
所以由图知
P(ξ＞1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，
∴P(|ξ|＜1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950.
]
5．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求P(－4[解] (1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X(2)P(－4核 心 素 养
1．了解二项分布与正态曲线的关系，能借助正态曲线理解正态曲线的性质．(重点)
2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题．(重点)
3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率．(难点)
1．通过学习正态分布和标准正态分布，体会数学抽象与直观想象的素养．
2．借助正态分布中的“3σ原则”解题及标准正态分布函数φ(x)的函数值计算正态分布X～N(μ，σ2)在某一区间内取值的概率，提升数学运算的素养.
利用正态分布的对称性求概率
“3σ原则”的应用
标准正态分布及其应用
x0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.2
0.8849
0.8869
0.888
0.89077
0.8925
0.8944
0.8962
0.8980
0.8997
0.9015
1.3
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9115
0.9131
0.9147
0.9162
0.9177
1.4
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9265
0.9278
0.9292
0.9306
0.9316
1.9
0.97713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
0.9762
0.9767
2.0
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0.9812
0.9817
2.1
0.9821
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9850
0.9854
0.9857