人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布学案设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布学案设计，共8页。


1．正态曲线
(1)定义：当n充分大时，X～B(n，p)的直观表示总是具有中间高、两边低的“钟形”．具体地φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) ＝ eq \f(1,σ\r(2π)) e－ eq \f(（x－μ）2,2σ2) ，φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) 的解析式中含有μ和σ两个参数，其中μ＝E(X)，即X的均值，σ＝ eq \r(D（X）) ，即X的标准差．一般地φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) 对应的图像称为正态曲线．
(2)性质：
①正态曲线关于直线x＝μ对称，具有“中间高，两边低”的特点；
②正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；
③曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“胖”；σ越小，曲线越“瘦”．
(3)面积：正态曲线与x轴在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(μ，μ＋σ)) 内所围面积约为0.341__3，在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(μ＋σ，μ＋2σ)) 内所围面积约为0.135__9，在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(μ＋2σ，μ＋3σ)) 内所围面积约为0.021__5．如图：
为什么σ决定正态曲线的“胖瘦”？
提示：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”．
2．正态分布
(1)定义：一般地，如果随机变量X落在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b)) 内的概率，总是等于φμ，σ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) 对应的正态曲线与x轴在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a，b)) 内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) 称为X的概率密度函数，μ是X的均值，σ是X的标准差，σ2是X的方差．
(2)三个特殊区间内取值的概率值：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%．
(3)“3σ原则”：由P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%知，正态变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值的概率约为0.3%(这样的事件可看成小概率事件).
3．标准正态分布
(1)标准正态分布的定义：μ＝0且σ＝1的正态分布称为标准正态分布．
(2)Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) 的概念：如果X～N(0，1)，那么对于任意a，通常记Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X(3)Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) 的性质：Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a)) ＋Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) ＝1．
1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)正态曲线是一条钟形曲线．( )
(2)正态曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝σ对称．( )
(3)Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2)) ＝0.841 3.( )
提示：(1)√.由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
(2)×.正态曲线关于直线x＝μ对称．
(3)×.Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X<2)) ＝0.5＋0.341 3＋0.135 9＝0.977 2.
2．设X～N(10，0.64)，则D(X)等于( )
A．0.8 B．0.64 C．0.642 D．6.4
【解析】选B.因为X～N(10，0.64)，所以D(X)＝0.64.
3．(教材二次开发：练习改编)若随机变量ξ～N(10，σ2)，
P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．
【解析】由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以
x＝μ＝10为对称轴知，P(9≤ξ≤11)
＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，
又P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
类型一 正态曲线及性质的应用(数据分析、数学运算)
求正态曲线与x轴在区间内所围成的面积
【典例】正态曲线与x轴在区间 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(μ＋σ，＋∞)) 内所围的面积为( )
A．0.5 B．0.341 3 C．0.158 7 D．0.021 5
【思路导引】利用正态曲线的对称性求解．
【解析】选C.根据正态曲线的对称性，所求区间的面积约为0.5－0.341 3＝0.158 7.
正态曲线与x轴在区间 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(u＋2σ，＋∞)) 内所围成的面积为______，在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，u－3σ)) 内所围成的面积为________．
【解析】根据正态曲线的对称性，正态曲线与x轴在区间 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(u＋2σ，＋∞)) 内所围成的面积为0.5－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.341 3＋0.135 9)) ＝0.022 8，
在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，u－3σ)) 内所围成的面积为0.5－(0.341 3＋0.135 9＋0.021 5)＝0.001 3.
答案：0.022 8 0.001 3
求服从正态分布的随机变量在区间内的概率
【典例】某正态概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为 eq \f(1,\r(2π)) ，则总体落入区间(0，2)内的概率为________．
【思路导引】由已知条件求出μ和σ，进而利用3σ原则求得概率．
【解析】若正态概率密度函数是φ(x)＝ eq \f(1,σ\r(2π)) e－ eq \f(（x－u）2,2σ2) ，x∈(－∞，＋∞)是偶函数，则μ＝0.因为φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) 的最大值为φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(u)) ＝ eq \f(1,σ\r(2π)) ＝ eq \f(1,\r(2π)) ，所以σ＝1，所以P(0答案：0.477 2
1．求正态曲线与x轴在区间内所围成的面积常根据如图所示图形与数据：正态曲线与x轴在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(u，u＋σ)) 内所围成的面积为0.341 3，在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(u＋σ，u＋2σ)) 内所围成的面积为0.135 9，在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(u＋2σ，u＋3σ)) 内所围成的面积为0.021 5.如图．
2．求服从正态分布的随机变量在区间内的概率的两个方法：(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：(1)P(Xμ＋a).
(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.683，0.954，0.997 求解．
1．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X【解析】由正态分布图像的对称性可得：
P(a≤X<4－a)＝1－2P(X答案：0.36
2．设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；
(2)求曲线与x轴在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，5)) 内所围的面积；
(3)求P(－4【解析】由X～N(2，9)可知，μ＝2，σ＝3.
(1)正态曲线关于直线x＝2对称(如图所示).
因为P(X>c＋1)＝P(X(2)根据正态曲线的对称性，所求面积为区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(μ，μ＋σ)) 对应的面积的2倍，即约为2×0.341 3＝0.682 6.
(3)P(－4类型二 正态分布的实际应用(数学建模、数学运算)
【典例】数学考试试卷满分150分，设在某次数学考试中，某校考生的分数X服从正态分布，即X～N(90，100).
(1)求此次考试中分数X位于区间(70，110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试分数在(80，100)间的考生大约有多少人？
解答正态分布的实际应用题的关注点
(1)方法：转化法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
(2)理论基础：①正态曲线的对称性；②曲线与x轴之间的面积为1；③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．
数学考试试卷满分是150分，设在一次考试中，某班学生的分数X近似服从正态分布，且均值为110，标准差为20.
(1)求这个班在这次数学考试中分数在90分以上的概率；
(2)若这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数．
【解析】(1)由题意可知，分数X～N(110，202)，μ＝110，σ＝20，
P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)，
因为P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)
＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，所以P(X≤μ－σ)＝0.158 5，
所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.158 5＝0.841 5.
(2)因为P(X≥130)＝P(X≥110＋20)＝P(X≥μ＋σ)，
所以P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝0.683＋2P(X≥μ＋σ)＝1，
所以P(X≥μ＋σ)＝0.158 5，即P(X≥130)＝0.158 5.
所以54×0.158 5≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．
类型三 标准正态分布(数学运算)
1．设随机变量X～N(0，1)，
(1)求Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3)) 的值；
(2)若Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.42)) ＝0.662 8，求Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－0.42)) .
【解析】(1)因为X～N(0，1)，所以Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3)) ＝
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X<－3)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3≤X≤3)))) ≈
eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－0.997)) ＝0.001 5.
(2)因为X～N(0，1)且Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.42)) ＝0.662 8，
所以由Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a)) ＋Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) ＝1得，Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－0.42))
＝1－Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.42))
＝1－0.662 8＝0.337 2.
2．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，已知Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－0.18)) ＝0.428 6，求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(X))<0.18)) .
【解析】由正态曲线的对称性知，
Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－0.18)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X<－0.18)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X>0.18)) ＝0.428 6，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(X))<0.18)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－0.18＝1－2P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X<－0.18)) ＝1－2×0.428 6＝0.142 8.
求标准正态分布的概率问题的关注点
(1)标准正态曲线特点：关于y轴对称，σ＝1；
(2)Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) 的含义：Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X(3)解题思路：
①当a＝±1，±2，±3时，利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值求解；
②当a为其他值时，可查表求解．
【补偿训练】
设随机变量X～N(0，1)，
Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.25)) ＝0.598 7，Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.51)) ＝0.695 0，求：
(1)Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－0.25)) ；
(2)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.25【解析】(1)Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－0.25)) ＝1－Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.25)) ＝1－0.598 7＝0.401 3.
(2)P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.25＝Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.51)) －Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.25)) ＝0.695 0－0.598 7
＝0.096 3.
1．设两个正态分布N(μ1，σ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )(σ1>0)和N(μ2，σ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )(σ2>0)的概率密度函数图像如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
【解析】选A.根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得选项A正确．
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,3) D． eq \f(1,2)
【解析】选D.因为ξ～N(3，σ2)，所以ξ＝3为正态分布的对称轴，所以P(ξ<3)＝ eq \f(1,2) .
3．(教材二次开发：练习改编)若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.9)＝0.028，则P(ξ<1.9)＝( )
A．0.028 B．0.056 C．0.944 D．0.972
【解析】选D.由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，
可得P(ξ<－1.9)＝Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1.9)) ，P(ξ<1.9)＝Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.9)) ，
又Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－0.19)) ＋Φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0.19)) ＝1，
所以P(ξ<1.9)＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ξ<－1.9)) ＝1－0.028＝0.972.
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)
＝________．
【解析】由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，
对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
答案：0.16
5．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率．
【解析】因为X～N(50，102)，所以μ＝50，σ＝10.
所以P(30＝ eq \f(1,2) P(μ－2σ≈ eq \f(1,2) ×0.954＋ eq \f(1,2) ×0.683＝0.818 5.
即他在(30，60]分内赶到火车站的概率是0.818 5.四步
内容
理解
题意
条件：①考生的分数X～N(90，100)；②共有2 000名考生．
结论：求分数X位于区间(70，110)上的概率；估计分数在(80，100)间的考生的人数．
思路
探求
先确定出μ＝90，σ＝10，再结合3σ原则求解．
书写
表达
因为X～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，
μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70，110)内的概率是0.954 4.①
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩X位于区间(80，100)内的概率就是0.682 6.
又因为一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80，100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人).②
注意书写的规范性：①利用3σ原则求概率；②求概率，再进行估计．
题后
反思
解答此类题目的关键：在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．