高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念精练

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1．（2020·宜宾市南溪区第二中学校高一月考）已知数列，则数列的第4项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意.故选：B.
2．（2020·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）已知数列的通项公式是，则等于（ ）
A．70B．28C．20D．8
【答案】C
【解析】因为，所以，所以=20.故选C.
3．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列的一个通项公式为，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，则.故选：A.
4．（2020·广西田阳高中高一月考）已知数列…，则是这个数列的（ ）
A．第六项B．第七项C．第八项D．第九项
【答案】B
【解析】由数列前几项归纳可知通项公式为,
时,,为数列第七项，故选B.
5．（2020·浙江鄞州·宁波咸祥中学高一期中）已知数列的通项公式为，则
A．100B．110C．120D．130
【答案】C
【解析】数列的通项公式为，则.故选：C.
6．（2020·四川高一期中）已知数列的通项公式是，则220是这个数列的( )
A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项
【答案】B
【解析】由题意，令，则，解得或；
因为，所以，即220是这个数列的第20项.故选：B.
7．（2020·四川省苍溪实验中学校高一期中）已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第________项
【答案】
【解析】令，解得，所以8是该数列的第11项，故答案为：.
8．（2020·上海高二课时练习）在数列中，已知，则的前6项分别为______.
【答案】
【解析】易得，，，，，.故答案为：
9．（2020·上海高二课时练习）已知数列的通项公式为，那么是这数列的第_____项.
【答案】9
【解析】令，即，解得或(舍去)，
则是这数列的第9项，故答案为: 9.
10．（2020·上海高二课时练习）数列中，（），该数列从第_____项开始每项均为负值.
【答案】34
【解析】令，解不等式得：，由于，故.故答案为：34.
题组二 根据项写通项公式
1．（2020·江西高一月考）数列，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，.故选D.
2．（2020·四川双流·艺体中学）数列2，，，，…的一个通项公式an等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】数列2，，，，…
可写成：，，，，…
所以通项公式an.故选C.
3．（2020·上海市杨浦高级中学）已知数列、、、、，可猜想此数列的通项公式是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项，，不合乎题意；
对于B选项，，不合乎题意；
对于C选项，，不合乎题意；
对于D选项，当为奇数时，，此时，
当为偶数时，，此时，合乎题意.
故选：D.
4．（2018·吉林宽城·长春市养正高中高一期中）根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式__________．
【答案】
【解析】第一图点数是1；第二图点数 ;第三图是 ；第四图是
则第个图点数故答案为：
5．（2019·山东东营·）已知数列的前4项依次为，，，，试写出数列的一个通项公式______.
【答案】
【解析】，，，，的通项公式为，，，，，的通项公式为，
正负交替的通项公式为，所以数列的通项公式.故答案为：
6．（2020·全国高一课时练习）写出下列各数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】解（1）考虑到第2，4项的分母恰好是所在项的序号，
于是这个数列的前4项可以改写成，
这4项的分母都与项的序号相同，分子都恰好是序号加3，且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为.
（2）考虑到分子恰好是序号的2倍，
所以分子应为2n.分母都为分子的平方数减去1，
因此它的一个通项公式为.
（3）这个数列的第n项可以是n个5组成的n位数，用代数式替代省略号，
可考虑前4项改写成，
其中又可表示成，
这里的10的正整数次幂的指数恰好与数列中项的序号相等，
所以它的一个通项公式为.
（4），考虑到其每一项与序号的关系
将前几项分别写成：，
因此它的一个通项公式为.
题组三 根据递推公式求项
1．（2020·眉山市东坡区多悦高级中学校高一期中）在数列中，已知，，，则等于（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】B
【解析】由知：
故选：B
2．（2020·自贡市第十四中学校高一期中）数列的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为数列3，7，11，的一个通项公式为，
故数列，，，，的一个通项公式是，故选：C．
3．（2019·河北廊坊·高一期末）数列的前几项为，则此数列的通项可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】数列为其分母为，分子是首项为，公差为的等比数列，故通项公式为.
4．（2020·安徽黄山·高一期末）数列的一个通项公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，
所以其通项公式是：故选：B
5．（2020·武汉外国语学校高一月考）数列4，6，10，18，34，……的通项公式等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】故选：C
6．（2020·浙江越城·绍兴一中期中）在数列中，，则等于
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知逐一求解．故选D
7．（2020·吉林前郭尔罗斯县第五中学高一期中）数列，2，，8，，…它的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将代入四个选项可得为,B为,C为,D为.所以排除B、C选项.
将代入A、D,得A为2,D为,所以排除D综上可知,A可以是一个通项公式故选：A
8．（2019·息县第一高级中学高二月考（文））数列，3，，15，…的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将代入四个选项，可知中D中所以排除C、D.
当，代入B可得所以排除B，即A正确，故选：A.
9．（2018·安徽六安一中高一期末（文））已知，给出4个表达式：①，②，③，④.其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】A
【解析】①②③逐一写出为可以，④逐一写出为不满足，故选A．
10．（2020·湖北十堰·高一期末）数列，…的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，排除A，C，由，排除B.故选：D.
11.（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列，，，，，，的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵数列{an}各项值为，，，，，，
∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1
又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．
题组四 公式法求通项 公式
1．（2019·云南东川明月中学高一期中）数列的前项和,则的通项公式 _____.
【答案】
【解析】当时,；
当时,；
∴故答案为
2．（2019·湖南岳阳）已知数列，若，则数列的前项和为__________．
【答案】
【解析】因为所以
两式相减得所以设数列的前项和为Sn
则
3．（2020·上海市金山中学期中）已知数列的前项和，则__________．
【答案】
【解析】当时，
当时，由，得，
两式相减，，
将代入上式，，
通项公式为
故答案为.
4．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校期中）已知数列前项和为，且，则_______
【答案】.
【解析】当时，当且时，
综上所述：，本题正确结果：
5．（2020·河北石家庄·辛集中学）在数列中，已知其前项和为，则__________．
【答案】
【解析】当时，；
当时，，不满足上式。
故。
答案：.
题组五 斐波那契数列公式
1．（2020·重庆）斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列定义如下：，.随着n的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（ ）
A．144厘米B．233厘米C．250厘米D．377厘米
【答案】B
【解析】由题意可得且，解得.故选：B.
2．（2020·安徽）数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，将上述各式两边相加得，，
所以.故选：B
3．（2018·合肥一六八中学高二开学考试）斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：，，.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有（ ）种上楼方法.
A．377B．610C．987D．1597
【答案】C
【解析】由题意若只有一个台阶，则有种上楼方法；
若有两个台阶，则有种上楼方法；
若有三个台阶，则有种上楼方法；
若有四个台阶，则有种上楼方法；
以此类推：
若要到达第n个台阶，前一步可能在第n-1个台阶上再跨一台阶上去，也可能是在第n-2个台阶上跨两个台阶上去，
∴满足，符合斐波那契数列的规律，由此规律列举出前15项：
1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987
∴有15个台阶，则他到二楼就餐有987种上楼方法.
故选：C.
4．（2020·涞水波峰中学）斐波那契数列（Fibnacci sequence）又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Lenardda Fibnacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波纳契数列被以下递推的方法定义：数列满足：，，现从数列的前2019项中随机抽取1项，能被3整除的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据斐波纳契数列的定义，数列各项除以3所得余数依次为：，余数数列是周期数列，周期为8，，所以数列的前2019项中能被3整除的项有，所求概率为．故选：C．
5．（2019·山东高二期中）“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”，斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，
故选．
6．（2020·重庆6）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（ ）
A．
B．且
C．
D．
【答案】BC
【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然，，，，，所以且，即B满足条件；
由，
所以
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
所以，
令，则，
所以，
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
即C满足条件；
故选：BC
7．（2020·浙江月考）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；______.
【答案】
【解析】因为斐波那契数列满足， ，，
∴；；； …；
所以，
因为 ．
故答案为：，．
8．（2020·广东高二期末）斐波那契数列（Fibnacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Lenardda Fibnacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义： ，，，记其前项和为，设（为常数），则______（用表示），______(用常数表示)
【答案】
【解析】
故
，，，
故
故答案为：；