初中数学华师大版七年级上册2 垂线教案

5.2.2.垂线

备课人：

【基本目标】1.使学生理解垂线的含义与垂线的画法；

2.能理解点到直线的距离，理解垂线段的意义；

3.能在学习中了解几何在不同情况下的分类，并能在一个三角形中作出三角形的高.

【教学重点】理解点到直线的距离以及垂线段最短.

【教学难点】垂线公理及垂线段最短的应用.

教学课时：1课时

教学方法：先学后教，当堂训练。

教学手段：多媒体课件。

一、情境导入，激发兴趣

〔投影〕如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、 b所成的角

是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a与b相交所成的四个角分别是多少度？

总结归纳：有，当∠α＝90°时，所成的四个角都是90°.

【教学说明】在转动的过程中，必须注意到变与不变，什么变，什么不变，为什么，怎么变？当有一个角是直角时，另外三个角也是直角，这个在原理上必须让学生明白.

二、出示学习目标：1、理解垂线的含义与垂线的画法；

2、理解点到直线的距离，理解垂线段的意义；

3、能在学习中了解几何在不同情况下的分类，并能在一个三角形中作出三角形的高.

三、自学探究，探索新知

1.垂直定义

（1）显然，两条直线相交有一个角是90°是一种特殊的情况.

（2）当两直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，称这两直线互相垂直.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图，直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD,垂足为O.

【教学说明】图形与语言的结合（转化）是几何中的一个难点，教师可进行示范.

（3）在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的,如：〔投影2〕

你能再举一些其它的例子吗？

【教学说明】举出实际生活中的实例，加深学生对垂直定义的理解.同时，也使学生了解数学知识来源于生活，又在生活中有着广泛的应用.

2.过一点画已知直线的垂线

（1）如图，已知直线AB和直线AB外一点P，过点P画出直线AB的垂线，你能画出多少条呢？

学生画图，观察后总结：只能画一条.

（2）如图，你能经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？

学生画图后总结：只能画一条.

【教学说明】作图的方法，可以作为一个补充知识进行讲解.在画垂线时，不一定局限于三角板或是量角器，也应懂得利用身边的东西.

（3）通过以上的操作，你有什么发现？

归纳总结：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

【教学说明】这是一个难点，重点强调在同一平面内.

3.垂线段

（1）演示：在黑板上固定木条l, l外一点P,木条a一端固定在点P，使之与l相交于点A.

左右摆动木条a, l与a的交点A随之变动,线段PA 的长度也随之变化，a与l的位置关系怎样时，PA最短?

小结：a与l垂直时，PA最短.这时的线段PA叫做点P到直线l的垂线段.

【教学说明】让学生观察思考后回答，教师强调垂线段和垂线的区别.

（2）〔投影3〕画出PA在摆动过程中的几个位置.如图，点A1、A2、A3….在l上,连接PA1、PA2、PA3…，PO⊥ l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3…的长短，可知垂线段PO最短.

小结：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.

【教学说明】学生通过比较得出结论，可以再多画一些线段进行比较.然后教师再举出一些实例加深理解.

（3）我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离.

【教学说明】教师强调点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离.

三、练习反馈，巩固提高

1.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm, BC=bcm,则BD的范围是(   )

A.大于acm

B.小于bcm

C.大于acm或小于bcm

D.大于bcm且小于acm

2.到直线l的距离等于2cm的点有(   )

A.0个B.1个

C.无数个D.无法确定

3.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为(   )

A.4cm                    B.2cm

C.小于2cm               D.不大于2cm

4. 如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6，

AC= 6,那么点C到AB的距离是       ,点A到BC的距离是        ,点B到CD 的距离是        ,A、B两点的距离是    .

5.已知:如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE的位置关系.

【教学说明】对于第4题距离的理解是难点，要提醒学生注意观察，第5题要注意推理的合理性和格式的规范性.

【答案】

1.D    2.C    3.D     4.4.8   6    6.4    10

5.解：OD⊥OE，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOC.

∵OD平分∠BOC，∴∠COD=∠BOC，

∴∠DOE=∠COE+∠COD=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB=×180°=90°.

∴OD⊥OE.

四、师生互动，课堂小结

1.当两直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，称这两直线互相垂直.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:

垂线段最短.

4.我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.

【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，重点是对于垂线段最短的理解和应用.对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.

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