初中数学华师大版七年级上册第5章 相交线与平行线5.1 相交线2 垂线优质学案

2.垂 线

学习目标：

1.理解垂线的概念及画法；

2.理解垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用解决问题(重点、难点). 

自主学习

一、知识链接

1.两点间的距离如何测量呢？

2.两条直线相交会形成几个角？这些角之间有何数量关系？

二、新知预习

（预习课本P162-164）完成下列各题：

1.垂直的有关概念：当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为        时，其他三个角也为直角，此时，这两条直线互相垂直，把它们的交点叫做        ，其中一条直线叫做另一条直线的        .

2.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线        .

3.从直线外一点到这条直线的        的长度，叫做点到直线的距离.

练习：如图，

（1）图中互相垂直的两条直线为          ，垂足为         ；（写一组即可）

（2）点B到直线AD的距离为            ；

（3）点A到直线BC的距离为            .

合作探究

一、要点探究

探究点1：垂线的概念

问题1:两条直线如何才算垂直呢？两条直线互相垂直，四个角的大小各如何呢？

问题2:试着借助下图写出问题1的推理过程.

已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC=90°，说明∠AOD、∠BOD、∠BOC均为直角.

【要点归纳】

1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所构成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.

2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.

3.交点O叫做垂足.

4.垂直是相交的特殊情况.

例1  (1)如图，若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则直线m、n的位置关系是________  ；

    (2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD =______°.

例2  如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC＝116°，求∠AOD的度数．

探究点2：垂线的画法及基本事实

问题3   （1）画已知直线l的垂线能画几条?

(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?

(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?

【要点归纳】垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

注意：（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；

（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.

探究点3：点到直线的距离

问题4    如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.

（1）线段AB, AC, AD , AE谁最短？

（2）你能用一句话表示这个结论吗？

【要点归纳】（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

（2）线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.

例3 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.

二、课堂小结

当堂检测

1.过点P向线段AB所在直线画垂线，画图正确的是（　　）

A．  B．  C． D．

2.如图，已知AB⊥CD，垂足为O，且直线AB与EF相交于点O,则图中∠1与∠2的关系是（　　）

A．∠1+∠2＝180° 

B．∠1+∠2＝90° 

C．∠1＝∠2 

D．无法确定 

3.点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上三点，PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离（　　）

A．等于4cm          B．等于3cm          C．小于3cm            D．不大于3cm

4.两条直线相交所成的四个角分别满足下列条件之一，其中不能判定这两条直线垂直的条件是（　　）

A．两对对顶角分别相等 B．有一对对顶角互补 

C．有两个角是直角 D．有三个角相等

5.如图，要从小河a引水到村庄A，设计人员设计了一条最佳路线如图所示，其设计的依据是　       　   ．

第5题图             第6题图             第7题图

6．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于点E．若∠AED＝145°，则∠CEF＝　   　°．

7．如图，CB⊥AB，∠CBA与∠CBD的度数比是5：1，则∠DBA＝　   　．

8．如图，AO⊥FD，OD为∠BOC的平分线，OE为射线OB的反向延长线．若∠AOB＝40°，求∠EOF、∠COE的度数．

参考答案

自主学习

二、新知预习

1.直角  垂足  垂线    2.垂直     3.垂线段

练习：1.（1）BC、AD   D    （2）线段BD    （3）线段AD

合作探究

一、要点探究

探究点1：垂线的概念

问题2   解：因为∠AOC=90°，所以∠BOD=90°，∠AOD=∠BOC=180°-∠AOC=90°.

例1  （1）m⊥n     （2）90

例2   解：∵EO⊥AB，∴∠AOE＝90°．∵∠EOC＝116°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE=116°﹣90°＝26°，则∠AOD＝180°﹣∠AOC＝154°．

例3  解：过农田P处作河流的垂线，垂足为点O，则沿着线段OP挖掘能使渠道最短，画图略.

当堂检测

1．C  2．B  3．D  4．A  5．垂线段最短    6．55  7．72° 

8．解：∵AO⊥OD且∠AOB＝40°，∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°.∴∠EOF＝50°．又∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOD＝50°．∴∠COE＝180°﹣∠EOF -∠DOC=180°﹣50°﹣50°＝80°．