人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数教案及反思

专题13指数（讲）

1．n次方根

[归纳总结]　(1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．

(2)＝0(n＞1，且n∈N*)．

2．根式

(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(n＞1，且n∈N*)

①()n＝a.

②＝

3．分数指数幂的意义

4.有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

[知识点拨]　(1)分数指数幂的运算的其他性质．

①ar÷as＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；

②()r＝(a>0，b>0，r∈Q)．

(2)指数幂的几个常见结论．

①当a>0时，ab>0；

②当a≠0时，a0＝1；而当a＝0时，a0无意义；

③若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：

(a＋b)(a－b)＝(a)2－(b)2＝a－b(a>0，b>0)．

1．=______．

2．的值为________．

3．计算：化简的结果是____________．

4．=_____________.

5．已知，则______．

重要考点一：n次方根的概念

【典型例题】化简()4＋＝________.

【题型强化】计算______．

【收官验收】根式 __________．

【名师点睛】

(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．

(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．

重要考点二：利用根式的性质化简或求值

【典型例题】若x≤－3，则 ________．

【题型强化】＝________.

【收官验收】若，则 ________．

【名师点睛】

1.根式化简或求值的注意点

解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

2．对与()n的进一步认识

(1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)．

(2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝.

(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．

重要考点三：带有限制条件的根式运算

【典型例题】若，则__________.

【题型强化】化简：＝________.

【收官验收】化简(1－a)·＝________.

【名师点睛】

有限制条件的根式化简的步骤

重要考点四：注意与的区别

【典型例题】化简下列各式

（1）

（2）（x≥1）

【题型强化】计算下列各式的值．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【收官验收】求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）.

重要考点五：配方法与平方法的应用

【典型例题】化简：__________.

【题型强化】化简：－＝________.

【收官验收】________.

【名师点睛】

对形如的复合根式，在有些情况下是可能得到化简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要掌握其中较简单的基本类型即可．

将复合根式先化为(a>0，b>0)的形式．若有x1＋x2＝a，x1·x2＝b，其中x1>0，x2>0，x1>x2，则复合根式可写为

＝＝±，

也即若方程x2－ax＋b＝0有两个正的有理根，则复合根式可化简．

重要考点六：根式与分数指数幂的互化

【典型例题】已知，则_________.

【题型强化】用分数指数幂表示_________.

【收官验收】__________ .

【名师点睛】

把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则，有时会改变a的取值范围而导致出错，如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．

重要考点七：利用分数指数幂的运算性质化简求值

【典型例题】已知，，求的值.

【题型强化】化简求值(式子中的字母都为正数)：

（1）；

（2）．

【收官验收】

【名师点睛】

1.幂的运算的常规方法

(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；

(2)化根式为分数指数幂；

(3)化小数为分数．

2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求

利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．

重要考点八：指数幂运算中的条件求值

【典型例题】若，求下列各式的值:

（1）；（2）；（3）；（4）

【题型强化】（1）已知，化简.

（2）设，，，求的值.

【收官验收】（1）化简；

（2）已知，求的值.

【名师点睛】

(1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过a＋a－＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．

(2)解决此类问题的一般步骤是

重要考点九：因忽略幂底数的范围而导致错误

【典型例题】化简：________.

【题型强化】＋的值是________.

【收官验收】__________.

【名师点睛】

在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．

重要考点十：数学运算能力

【典型例题】已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.

【题型强化】计算下列各式：

（1）.

（2）.

（3）.

【收官验收】（1）计算：；

（2）已知，求的值．

【名师点睛】

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．

 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段．数学运算是计算机解决问题的基础．

 在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．

数的计算能力(简便计算方法)、代数式的化简求解能力、方程不等式的求解能力、数学公式、运算法则的应用能力等都是重要的运算能力．