北师大版高考数学一轮复习第四章 强化训练3　三角函数中的综合问题试卷

强化训练3　三角函数中的综合问题

1．(2020·北京东城区模拟)《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步≈1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(　　)

A．135平方米   B．270平方米

C．540平方米   D．1 080平方米

答案　B

解析　根据扇形的面积公式，S＝lr＝×45×＝270(平方米)．

2．(2020·日照联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　)

A．sin α＋cos α   B．sin α－cos α

C．sin αcos α   D.

答案　D

解析　由题意知sin α<0，cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，A不成立；sin α－cos α<0，B不成立；sin αcos α<0，C不成立；tan α<0，>0，D成立．

3．(2020·张家口质检)已知锐角α满足3cos 2α＝1＋sin 2α，则cos α等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　3cos 2α＝1＋sin 2α可化简为

3(cos2α－sin2α)＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α，

即3(cos α－sin α)(sin α＋cos α)＝(sin α＋cos α)2，

因为α为锐角，所以3(cos α－sin α)＝sin α＋cos α，

化简得到cos α＝2sin α，

代入sin2α＋cos2α＝1，解得cos α＝.

4．(2020·东三省四市模拟)已知直线y＝－2与函数f(x)＝2sin(其中ω＞0)的相邻两交点间的距离为π，则函数f(x)的递增区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　B

解析　∵y＝－2与函数f(x)＝2sin(其中ω＞0)的相邻两交点间的距离为π，

∴函数的周期T＝π，即＝π，得ω＝2，

则f(x)＝2sin，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

即函数f(x)的递增区间为，k∈Z.

5．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是(　　)

答案　D

解析　y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝结合选项中图形知，D正确．

6．(2020·宁德模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且将图像向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数，则f(x)的图像(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝对称

C．在上是增加的

D．在上是减少的

答案　C

解析　∵f(x)的最小正周期为π，

∴T＝＝π，得ω＝2，

此时f(x)＝sin(2x＋φ)，

将图像向右平移个单位长度后得到

y＝sin＝sin，

若函数为偶函数，则φ－＝kπ＋，k∈Z，

得φ＝kπ＋，k∈Z，

∵|φ|<，∴当k＝－1时，φ＝－，

则f(x)＝sin，

则f ＝sin＝sin ＝1，

故f(x)不关于点对称，故A错误；

f ＝sin＝sin 0＝0，

故f(x)不关于直线x＝对称，故B错误；

当－≤x≤时，－≤2x－≤，此时函数f(x)为增函数，故C正确；

当≤x≤时，－≤2x－≤，此时函数f(x)不单调，故D错误．

7．(2020·咸阳模拟)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝      .

答案　

解析　因为β＝(α＋β)－α，

且tan α＝，tan(α＋β)＝，

所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝

＝＝，所以tan β＝.

8．(2020·咸阳质检)已知cos2x－sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，则A＝        ，b＝        .

答案　　

解析　cos2x－sin 2x＝－sin 2x

＝cos 2x－sin 2x＋＝cos(2x＋θ)＋

＝sin＋(其中tan θ＝2)，

∴A＝，b＝.

9．(2020·邯郸模拟)已知α为锐角，且tan α＝m，cos 2α＝－，则sin2＝        .

答案　＋

解析　∵cos 2α＝＝

＝＝－，解得m2＝2，

∴cos 2α＝－，

∵0<α<，∴0<2α<π，

∴sin 2α＝＝，

∴sin2＝＝＋＝＋.

10．(2020·枣庄训练)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为π，且对x∈R，f(x)≥f 恒成立，若函数y＝f(x)在[0，a]上是减少的，则a的最大值为        ．

答案　　

解析　因为函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，

又对任意的x，都使得f(x)≥f ，

所以函数f(x)在x＝处取得最小值，

则＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，

即φ＝＋2kπ，k∈Z，

所以f(x)＝cos，

令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

则函数y＝f(x)在上是减少的，

故a的最大值是.

11．已知函数f(x)＝cos2x＋sin·sin－.

(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；

(2)若f(α)＝，且α∈，求cos 2α的值．

解　(1)f(x)＝·＋sin·

sin－

＝cos 2x＋×2cossin

＝cos 2x＋sin

＝cos 2x＋

＝

＝sin.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

由2x＋＝kπ，k∈Z得x＝－，k∈Z，所以f(x)的对称中心为，k∈Z.

(2)由f(α)＝得sin＝，

因为α∈，所以2α＋∈，

所以cos＝－

＝－＝－，

所以cos 2α＝cos

＝cos·cos ＋sin·sin

＝－·＋·＝.

12．设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.

(1)求函数f(x)的递增区间；

(2)把函数y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，求g的值．

解　(1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2

＝2sin2x－(1－2sin xcos x)

＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1

＝sin 2x－cos 2x＋－1

＝2sin＋－1.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的递增区间是(k∈Z).

(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，

把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

得到y＝2sin＋－1的图像，

再把得到的图像向左平移个单位长度，

得到y＝2sin x＋－1的图像，

即g(x)＝2sin x＋－1.

所以g ＝2sin ＋－1＝.

13．(2020·厦门质检)已知函数f(x)＝sin＋cos ωx(ω>0)在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　f(x)＝sin＋cos ωx＝sin ωx＋cos ωx＝sin，

因为x∈[0，π]，所以ωx＋∈，

因为f(x)在[0，π]上的值域为，

所以≤ωπ＋≤，所以≤ω≤.

14．(2020·湖北七市联考)已知函数f(x)＝sin ωx＋acos ωx(ω>0，a>0)对任意x1，x2∈R，f(x1)＋f(x2)的最大值为4，若f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，则实数ω的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为对任意x1，x2∈R，f(x1)＋f(x2)的最大值为4，所以f(x)的最大值为2，所以＝2，

又a>0，所以a＝1，

所以f(x)＝2sin，

所以f′(x)＝2ωcos，

因为f(x)在(0，π)上恰有两个极值点，

所以f′(x)＝2ωcos＝0，

即cos＝0在(0，π)上恰有两个零点，

设t＝ωx＋，则t∈，

所以cos t＝0在上恰有两个零点，

所以函数y＝cos t的图像与t轴恰有两个交点，

所以<ωπ＋≤，解得<ω≤.

15．(2020·安庆模拟)已知函数f(x)＝2(|cos x|＋cos x)·sin x，给出下列五个命题：

①f(x)的最小正周期为π；

②f(x)的图像关于直线x＝对称；

③f(x)在区间上是增加的；

④f(x)的值域为[－2,2]；

⑤f(x)在区间[－2π，2π]上有6个零点．

其中所有正确的编号是(　　)

A．②④  B．①④⑤  C．③④  D．②③⑤

答案　C

解析　f(x)＝2(|cos x|＋cos x)sin x＝2|cos x|sin x＋sin 2x，函数f ＝，f ＝0，∴f ≠f，故函数f(x)的最小正周期不是π，故①错误；由于f＝2·sin＝2(|sin x|＋sin x)·cos x≠f(x)，故f(x)的图像不关于直线x＝对称，故②错误；在区间上，2x∈，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x是增加的，故③正确；当cos x≥0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin xcos x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x<0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝－2sin xcos x＋sin 2x＝0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故④正确；当cos x≤0时，f(x)＝0，在区间[－2π，2π]上有无数个零点，故⑤错误．

16.如图所示，四边形ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是弧TN上一点．设∠TAP＝θ，长方形PQCR的面积为S平方米．

(1)求S关于θ的函数解析式；

(2)求S的最大值．

解　(1)延长RP交AB于E，延长QP交AD于F(图略)，

由四边形ABCD是正方形，四边形PRCQ是矩形，

可知PE⊥AB，PF⊥AD，

由∠TAP＝θ，可得EP＝6sin θ，FP＝6cos θ，

∴PR＝7－6sin θ，PQ＝7－6cos θ，

∴S＝PR·PQ＝(7－6sin θ)(7－6cos θ)

＝49－42(sin θ＋cos θ)＋36sin θcos θ，

故S关于θ的函数解析式为

S＝49－42(sin θ＋cos θ)＋36sin θcos θ.

(2)令sin θ＋cos θ＝t，可得

t2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，

即sin θcos θ＝，

∴S＝49－42t＋18(t2－1)＝18t2－42t＋31.

又由0≤θ≤，可得≤θ＋≤，

故t＝sin θ＋cos θ＝sin∈[1，]，

∴S关于t的表达式为S＝18t2－42t＋31(t∈[1，])，

又由S＝182＋，t∈[1，]，

可知当t＝时，S取最大值，最大值为(67－42)平方米．