北师大版高考数学一轮复习第四章 §4.6　解三角形

这是一份北师大版高考数学一轮复习第四章 §4.6　解三角形，共18页。试卷主要包含了三角形常用面积公式，5小时能截住该走私船？，2 m，，5·sin 80°≈38，等内容，欢迎下载使用。

1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的几个有关术语
微思考
1．三角形中有哪些三角函数关系？
提示 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；(4)cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
2．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件吗？
提示 在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B，由sin A>sin B也可推出A>B，故A>B是sin A>sin B的充要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a21＝a，所以B＝45°或B＝135°.
6．在△ABC中，acs A＝bcs B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
题型一 利用正弦、余弦定理解
三角形
例1 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(sin A,a)＝eq \f(\r(3)cs C,c).
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝4，求c的值．
解 (1)由正弦定理，eq \f(sin A,a)＝eq \f(\r(3)cs C,c)可化为eq \f(sin A,2Rsin A)＝eq \f(\r(3)cs C,2Rsin C)，即tan C＝eq \r(3).又∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).
(2)eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(CB,\s\up6(→))|cs C＝abcs C＝4，
且cs C＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).∴ab＝8.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C
＝(a＋b)2－2ab－2abcs eq \f(π,3)
＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.
∴c＝2eq \r(3).
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 ∵cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，
∴cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，
∴AB＝eq \r(32)＝4eq \r(2).
(2)(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则tan B等于( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．4eq \r(5) D．8eq \r(5)
答案 C
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C＝42＋32－2×4×3×eq \f(2,3)＝9，
得AB＝3，所以AB＝BC.
过点B作BD⊥AC，交AC于点D，如图，
则AD＝eq \f(1,2)AC＝2，
BD＝eq \r(32－22)＝eq \r(5)，
所以tan∠ABD＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，
所以tan∠ABC＝eq \f(2tan∠ABD,1－tan2∠ABD)＝4eq \r(5).
题型二 正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例2 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
答案 C
解析 因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，
所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).
所以△ABC是等边三角形．
命题点2 三角形面积的计算
例3 (1)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为 ．
答案 6eq \r(3)
解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝eq \f(π,6)，a＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
答案 2＋eq \r(3)
解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得4＝b2＋c2－2bc×eq \f(\r(3),2)≥2bc－eq \r(3)bc，
所以bc≤4(2＋eq \r(3))，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≤2＋eq \r(3)(当且仅当b＝c时，取等号)，
故△ABC面积的最大值为2＋eq \r(3).
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cs2eq \f(B,2)＝eq \f(1＋cs B,2)，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)，
∴(1＋cs B)·c＝a＋c，∴a＝cs B·c＝eq \f(a2＋c2－b2,2a)，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝eq \f(1,2).
因为b2＋c2－a2＝8，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，
所以bc＝eq \f(8\r(3),3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).
题型三 解三角形应用举例
命题点1 测量距离问题
例4 (2020·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ．
答案 80eq \r(5)
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))＝160sin 15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80eq \r(5)，故图中海洋蓝洞的口径为80eq \r(5).
命题点2 测量高度问题
例5 (2020·长春质检)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
答案 A
解析 因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH).因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以eq \f(DG,HG)＝eq \f(DE,AH).又BC＝DE，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(DG,HG)，即eq \f(123,123＋HB)＝eq \f(127,127＋1 000＋HB)，所以HB＝30 750步，又eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH)，
所以AH＝eq \f(5×30 750＋123,123)＝1 255(步)．故选A.
命题点3 测量角度问题
例6 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(参考数据：sin 38°≈\f(5\r(3),14)，sin 22°≈\f(3\r(3),14)))
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq \f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(5\r(3),14)，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．
跟踪训练3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
答案 100eq \r(6)
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，
故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)
＝100eq \r(6) (m)．
课时精练
1．(2020·安庆模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(4,3) C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 D
解析 由bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acs A＝sin Asin B，得cs A＝eq \f(1,2).
又c＝2b，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×eq \f(1,2)＝3b2，
得eq \f(a,b)＝eq \r(3).
2．(2020·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于( )
A.eq \f(\r(15),2) B.eq \f(\r(11),2) C.eq \f(3\r(15),4) D.eq \f(3\r(15),8)
答案 D
解析 由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋16－4,2×3×4)＝eq \f(21,24)＝eq \f(7,8)，则sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\f(49,64))＝eq \r(\f(15,64))＝eq \f(\r(15),8)，
则h＝ACsin A＝bsin A＝3×eq \f(\r(15),8)＝eq \f(3\r(15),8)，故选D.
3．(2020·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．2
答案 B
解析 因为S＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)，
所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝3.
所以BC＝eq \r(3).
4．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 ∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)
＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，
∴eq \f(b,c)＝6.
5．(2020·安康模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若sin A＝eq \f(b,2c)，cs C＝eq \f(a,2b)，则B等于( )
A.eq \f(1,12)π B.eq \f(5,12)π
C.eq \f(1,12)π或eq \f(5,12)π D.eq \f(5,12)π或eq \f(7,12)π
答案 C
解析 因为cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a,2b)，所以b＝c，
因为sin A＝eq \f(b,2c)＝eq \f(1,2)，
所以A＝eq \f(π,6)或eq \f(5,6)π，
当A＝eq \f(π,6)时，由B＝C，得到B＝eq \f(5π,12)；
当A＝eq \f(5π,6)时，得到B＝eq \f(π,12).
故B＝eq \f(π,12)或eq \f(5,12)π.
6．(2020·三门峡模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bsin A－eq \r(3)acs B＝0，且b2＝ac，则eq \f(a＋c,b)的值为( )
A．2 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D．4
答案 A
解析 在△ABC中，
因为bsin A－eq \r(3)acs B＝0，且b2＝ac，
所以由正弦定理得sin Bsin A－eq \r(3)sin Acs B＝0，
因为A∈(0，π)，则sin A>0，
所以sin B－eq \r(3)cs B＝0，即tan B＝eq \r(3)，
解得B＝eq \f(π,3)，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac
＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－3b2，
即4b2＝(a＋c)2，解得eq \f(a＋c,b)＝2.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则c＝ .
答案 3
解析 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去)．
8．(2020·西安质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs B＝eq \f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq \r(2)，则△ABC的周长为 ．
答案 4eq \r(3)＋4
解析 由cs B＝eq \f(1,3)，得sin B＝eq \f(2\r(2),3)，由三角形面积公式可得eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)ac·eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(2)，则ac＝12，①
由b2＝a2＋c2－2accs B，可得16＝a2＋c2－2×12×eq \f(1,3)，则a2＋c2＝24，②
联立①②可得a＝c＝2eq \r(3)，
所以△ABC的周长为4eq \r(3)＋4.
9．在△ABC中，C＝60°，且eq \f(a,sin A)＝2，则△ABC的面积S的最大值为 ．
答案 eq \f(3\r(3),4)
解析 由C＝60°及eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2，可得c＝eq \r(3).
由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，
∴S＝eq \f(1,2)absin C≤eq \f(1,2)×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),4)，
∴△ABC的面积S的最大值为eq \f(3\r(3),4).
10.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，AB＝3eq \r(2)，AD＝3，则BD的长为 ．
答案 eq \r(3)
解析 因为sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，且AD⊥AC，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋∠BAD))＝eq \f(2\r(2),3)，
所以cs∠BAD＝eq \f(2\r(2),3)，在△BAD中，由余弦定理，
得BD＝eq \r(AB2＋AD2－2AB·ADcs∠BAD)
＝eq \r(3\r(2)2＋32－2×3\r(2)×3×\f(2\r(2),3))＝eq \r(3).
11．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acs B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的长．
解 (1)∵bsin A＝eq \r(3)acs B，
∴由正弦定理可得sin Bsin A＝eq \r(3)sin Acs B.
∵sin A≠0，∴tan B＝eq \r(3)，
又∵0