2022版高考数学大一轮复习课时作业25《解三角形的应用》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业25《解三角形的应用》(含答案详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80°
一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( )
A.50(eq \r(3)＋1) m B.100(eq \r(3)＋1) m C.50eq \r(2) m D.100eq \r(2) m
为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是( )
A.eq \f(3＋\r(6),4) km2 B.eq \f(3－\r(6),4) km2 C.eq \f(6＋\r(3),4) km2 D.eq \f(6－\r(3),4) km2
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=bcsC＋csinB，且△ABC的面积为1＋eq \r(2)，则b的最小值为( )
A.2 B.3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccsB=2a＋b，若△ABC的面积S=eq \r(3)c，则ab的最小值为( )
A.28 B.36 C.48 D.56
如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，则△BCD面积的最大值为( )

A.2eq \r(3)＋2 B.eq \f(\r(3)＋1,2) C.eq \f(\r(3),2)＋2 D.eq \r(3)＋1
二、填空题
如图，测量河对岸塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内两个测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于 .
如图所示，在△ABC中，C=eq \f(π,3)，BC=4，点D在边AC上，AD=DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE=2eq \r(2)，则csA= .
在△ABC中，已知BC=2，eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))=2，则△ABC面积的最大值是 .
在钝角△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，若a=4，b=3，则c取值范围是 .
三、解答题
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.
(1)求cs∠ADB；
(2)若DC=2eq \r(2)，求BC.
在△ABC中，a=7，b=8，csB=－eq \f(1,7).
(1)求∠A；
(2)求AC边上的高.
已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(2a－b,c)=eq \f(csB,csC).
(1)求角C的大小；
(2)求函数y=sinA＋sinB的值域.
已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且满足cs2B－cs2C－sin2A=－sinAsinB，sin(A－B)=cs(A＋B).
(1)求角A，B，C；
(2)若a=eq \r(2)，求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq \f(acsB＋bcsA,c)=eq \f(2\r(3),3)sinC.
(1)求C的值；
(2)若eq \f(a,sinA)=2，求△ABC的面积S的最大值.
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
满足cs2A－cs2B＋2cs(eq \f(π,6)－B)cs(eq \f(π,6)＋B)=0.
(1)求角A的值；
(2)若b=eq \r(3)且b≤a，求a的取值范围.
\s 0 答案详解
答案为：D.
解析：由条件及题图可知，∠A=∠B=40°，又∠BCD=60°，所以∠CBD=30°，
所以∠DBA=10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
答案为：A.
解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°－30°=45°，AB=200 m，
由正弦定理，得BC=eq \f(200×sin30°,sin45°)=100eq \r(2)(m)，
所以河的宽度为BCsin75°=100eq \r(2)×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)=50(eq \r(3)＋1)(m).
答案为：D.
解析：连接AC，根据余弦定理可得AC=eq \r(3) km，故△ABC为直角三角形.
且∠ACB=90°，∠BAC=30°，故△ADC为等腰三角形，设AD=DC=x km，
根据余弦定理得x2＋x2＋eq \r(3)x2=3，即x2=eq \f(3,2＋\r(3))=3×(2－eq \r(3))，
所以所求的面积为eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×3×(2－eq \r(3))×eq \f(1,2)=eq \f(2\r(3)＋6－3\r(3),4)=eq \f(6－\r(3),4)(km2).
答案为：A.
解析：由a=bcsC＋csinB及正弦定理，得sinA=sinBcsC＋sinCsinB，即sin(B＋C)
=sinBcsC＋sinCsinB，得sinCcsB=sinCsinB，又sinC≠0，所以tanB=1.
因为B∈(0，π)，所以B=eq \f(π,4).由S△ABC=eq \f(1,2)acsinB=1＋eq \r(2)，得ac=2eq \r(2)＋4.
又b2=a2＋c2－2accsB≥2ac－eq \r(2)ac=(2－eq \r(2))(4＋2eq \r(2))=4，
当且仅当a=c时等号成立，所以b≥2，b的最小值为2.故选A.
答案为：C.
解析：在△ABC中，2ccsB=2a＋b，由正弦定理，得2sinCcsB=2sinA＋sinB.
又A=π－(B＋C)，所以sinA=sin[π－(B＋C)]=sin(B＋C)，
所以2sinCcsB=2sin(B＋C)＋sinB=2sinBcsC＋2csBsinC＋sinB，
得2sinBcsC＋sinB=0，
因为sinB≠0，所以csC=－eq \f(1,2)，又0由S=eq \r(3)c=eq \f(1,2)absinC=eq \f(1,2)ab×eq \f(\r(3),2)，得c=eq \f(ab,4).
由余弦定理得，c2=a2＋b2－2abcsC=a2＋b2＋ab≥2ab＋ab=3ab(当且仅当a=b时取等号)，
所以(eq \f(ab,4))2≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C.
答案为：D.
解析：在△ABC中，设∠ABC=α，∠ACB=β，由余弦定理得：AC2=12＋22－2×1×2csα，
∵△ACD为正三角形，∴CD2=AC2=5－4csα，
S△BCD=eq \f(1,2)·2·CD·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋β))=CD·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋β))=eq \f(\r(3),2)CD·csβ＋eq \f(1,2)CD·sinβ，
在△ABC中，由正弦定理得：eq \f(1,sinβ)=eq \f(AC,sinα)，∴AC·sinβ=sinα，∴CD·sinβ=sinα，
∴(CD·csβ)2=CD2(1－sin2β)=CD2－sin2α=5－4csα－sin2α=(2－csα)2，
∵β<∠BAC，∴β为锐角，CD·csβ=2－csα，
∴S△BCD=eq \f(\r(3),2)CD·csβ＋eq \f(1,2)CD·sinβ=eq \f(\r(3),2)·(2－csα)＋eq \f(1,2)sinα=eq \r(3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))，
当α=eq \f(5π,6)时，(S△BCD)max=eq \r(3)＋1.
答案为：15eq \r(6).
解析：在△BCD中，∠CBD=180°－15°－30°=135°.
由正弦定理得eq \f(BC,sin30°)=eq \f(CD,sin135°)，所以BC=15eq \r(2).
在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15eq \r(2)×eq \r(3)=15eq \r(6).
答案为：eq \f(\r(6),4).
解析：∵AD=DB，∴∠A=∠ABD，∠BDC=2∠A.
设AD=BD=x，∴在△BCD中，eq \f(BC,sin∠CDB)=eq \f(BD,sinC)，可得eq \f(4,sin2A)=eq \f(x,sin60°).①
在△AED中，eq \f(ED,sinA)=eq \f(AD,sin∠AED)，可得eq \f(2\r(2),sinA)=eq \f(x,1).②
∴联立①②可得eq \f(4,2sinAcsA)=eq \f(\f(2\r(2),sinA),\f(\r(3),2))，解得csA=eq \f(\r(6),4).
答案为：eq \r(3).
解析：由eq \(BC,\s\up14(→))=eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))，得eq \(BC,\s\up14(→))2=(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→)))2，设|eq \(AB,\s\up14(→))|=c，|eq \(AC,\s\up14(→))|=b，则b2＋c2=8，
又因为eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))=bc·csA=2，所以csA=eq \f(2,bc)，所以sin2A=1－eq \f(4,bc2)，
设△ABC的面积为S，则S2=eq \f(1,4)(bc)2sin2A=eq \f(1,4)(b2c2－4)，
因为bc≤eq \f(b2＋c2,2)=4，所以S2≤3，所以S≤eq \r(3).所以△ABC面积的最大值是eq \r(3).
答案为：(1，eq \r(7))∪(5,7).
解析：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得1若∠C为钝角，则csC=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(25－c2,24)<0，解得c>5，②
若∠A为钝角，则csA=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(c2－7,6c)<0，解得0结合①②③可得c的取值范围是(1，eq \r(7))∪(5,7).
解：(1)在△ABD中，由正弦定理得eq \f(BD,sinA)=eq \f(AB,sin∠ADB).
由题设知，eq \f(5,sin45°)=eq \f(2,sin∠ADB)，
所以sin∠ADB=eq \f(\r(2),5).由题设知，∠ADB<90°，
所以cs∠ADB=eq \r(1－\f(2,25))=eq \f(\r(23),5).
(2)由题设及(1)知，
cs∠BDC=sin∠ADB=eq \f(\r(2),5).
在△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2＋DC2－2·BD·DC·cs∠BDC
=25＋8－2×5×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),5)=25.
所以BC=5.
解：(1)在△ABC中，因为csB=－eq \f(1,7)，
所以sinB=eq \r(1－cs2B)=eq \f(4\r(3),7).
由正弦定理得sinA=eq \f(asinB,b)=eq \f(\r(3),2).
由题设知eq \f(π,2)<∠B<π，所以0<∠A(2)在△ABC中，因为sinC=sin(A＋B)
=sinAcsB＋csAsinB=eq \f(3\r(3),14)，
所以AC边上的高为asinC=7×eq \f(3\r(3),14)=eq \f(3\r(3),2).
解：(1)由eq \f(2a－b,c)=eq \f(csB,csC)，利用正弦定理可得2sinAcsC－sinBcsC=sinCcsB，
可化为2sinAcsC=sin(C＋B)=sinA，
∵sinA≠0，∴csC=eq \f(1,2)，∵C∈(0，eq \f(π,2))，∴C=eq \f(π,3).
(2)y=sinA＋sinB=sinA＋sin(π－eq \f(π,3)－A)=sinA＋eq \f(\r(3),2)csA＋eq \f(1,2)sinA=eq \r(3)sin(A＋eq \f(π,6))，
∵A＋B=eq \f(2π,3)，0∴eq \f(π,6)∴sin(A＋eq \f(π,6))∈(eq \f(\r(3),2)，1]，∴y∈(eq \f(3,2)，eq \r(3)].
解：(1)∵cs2B－cs2C－sin2A=－sinAsinB，
∴sin2C＋sinAsinB=sin2A＋sin2B，
∴由正弦定理得c2＋ab=a2＋b2，
∴csC=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(ab,2ab)=eq \f(1,2)，
∵0∵sin(A－B)=cs(A＋B)，
∴sinAcsB－csAsinB=csAcsB－sinAsinB，
∴sinA(sinB＋csB)=csA(sinB＋csB)，∴sinA=csA，
∴由A为锐角，可得A=eq \f(π,4)，B=π－A－C=eq \f(5π,12).
(2)∵a=eq \r(2)，A=eq \f(π,4)，B=eq \f(5π,12)，
∴由正弦定理可得b=eq \f(a·sinB,sinA)=eq \f(\r(6)＋\r(2),2)，
∴三角形ABC的面积S=eq \f(1,2)absinC=eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \f(\r(6)＋\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3＋\r(3),4).
解：(1)∵eq \f(acsB＋bcsA,c)=eq \f(2\r(3),3)sinC，
由正弦定理可得sinAcsB＋sinBcsA=eq \f(2\r(3),3)sin2C，
∴sin(A＋B)=eq \f(2\r(3),3)sin2C，∴sinC=eq \f(2\r(3),3)sin2C.
∵sinC>0，∴sinC=eq \f(\r(3),2)，∵C为锐角，∴C=60°.
(2)由C=60°及eq \f(c,sinC)=eq \f(a,sinA)=2，
可得c=eq \r(3).
由余弦定理得3=b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a=b时取等号)，
∴S=eq \f(1,2)absinC≤eq \f(1,2)×3×eq \f(\r(3),2)=eq \f(3\r(3),4)，
∴△ABC的面积S的最大值为eq \f(3\r(3),4).
解：(1)由cs2A－cs2B＋2cs(eq \f(π,6)－B)cs(eq \f(π,6)＋B)=0，
得2sin2B－2sin2A＋2(eq \f(3,4)cs2B－eq \f(1,4)sin2B)=0，化简得sinA=eq \f(\r(3),2)，
又△ABC为锐角三角形，故A=eq \f(π,3).
(2)∵b=eq \r(3)≤a，∴c≥a，
∴eq \f(π,3)≤C由正弦定理eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB)，得eq \f(a,\f(\r(3),2))=eq \f(\r(3),sinB)，∴a=eq \f(\f(3,2),sinB)，
由sinB∈(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2)]得a∈[eq \r(3)，3).