2022版高考数学大一轮复习课时作业29《平面向量数量积的应用》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业29《平面向量数量积的应用》(含答案详解)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
在△ABC中，(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))=|eq \(AC,\s\up6(→))|2，则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=x2，则点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
已知向量m=(1，csθ)，n=(sinθ，－2)，且m⊥n，则sin2θ＋6cs2θ的值为( )
A.eq \f(1,2) B.2 C.2eq \r(2) D.－2
已知△ABC中，AB=6，AC=3，N是边BC上的点，且eq \(BN,\s\up6(→))=2eq \(NC,\s\up6(→))，O为△ABC的外心，
则eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))的值为( )
A.8 B.10 C.18 D.9
在△ABC中，已知向量eq \(AB,\s\up6(→))=(2,2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|=2，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=－4，则△ABC的面积为( )
A.4 B.5 C.2 D.3
已知两个单位向量a，b的夹角为120°，k∈R，则|a－kb|的最小值为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(\r(3),2) C.1 D.eq \f(3,2)
如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))的最小值为( )
A.eq \f(21,16) B.eq \f(3,2) C.eq \f(25,16) D.3
已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足：
eq \(OP,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))＋λ()，λ∈(0，＋∞)，则( )
A.动点P的轨迹一定通过△ABC的重心
B.动点P的轨迹一定通过△ABC的内心
C.动点P的轨迹一定通过△ABC的外心
D.动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心
已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若eq \(AP,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A.(eq \f(2,3)，1) B.(eq \f(2,3)，2) C.(eq \f(7,12)，1) D.(2,3)
已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为eq \f(π,3)，向量b满足：
b2－4e·b＋3=0，则|a－b|的最小值是( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1 C.2 D.2－eq \r(3)
二、填空题
已知O为△ABC内一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))=0，则△AOC与△ABC的面积之比是 .
已知|a|=2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b=0有两相等实根，
则向量a与b的夹角是 .
已知△ABC是直角边长为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P为平面ABC内一点，
则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值是 .
已知向量a，b满足：|a|=|b|=1，且a·b=eq \f(1,2)，若c=xa＋yb，其中x>0，y>0且x＋y=2，
则|c|的最小值是 .
三、解答题
已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))=0，eq \(AM,\s\up6(→))=－eq \f(3,2)eq \(MQ,\s\up6(→))，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=(csB,2cs2 SKIPIF 1 < 0 -1)，
n=(c，b－2a)，且m·n=0.
(1)求角C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(DB,\s\up6(→))，|eq \(CD,\s\up6(→))|=eq \r(7)，c=2eq \r(3)，求△ABC的面积.
\s 0 答案详解
答案为：C.
解析：由(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))=|eq \(AC,\s\up6(→))|2，得eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))=0，
即eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))=0,2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))=0，∴eq \(AC,\s\up6(→))⊥eq \(BA,\s\up6(→))，∴A=90°.
又根据已知条件不能得到|eq \(AB,\s\up6(→))|=|eq \(AC,\s\up6(→))|，故△ABC一定是直角三角形.
答案为：D.
解析：∵eq \(PA,\s\up6(→))=(－2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))=(3－x，－y)，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))=(－2－x)(3－x)＋y2=x2，
∴y2=x＋6，即点P的轨迹是抛物线.
答案为：B.
解析：由题意可得m·n=sinθ－2csθ=0，则tanθ=2，所以sin2θ＋6cs2θ=eq \f(2sinθcsθ＋6cs2θ,sin2θ＋cs2θ)=eq \f(2tanθ＋6,tan2θ＋1)=2.故选B.
答案为：D.
解析：由于eq \(BN,\s\up6(→))=2eq \(NC,\s\up6(→))，则eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，取AB的中点为E，连接OE，
由于O为△ABC的外心，则eq \(EO,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))＋\(EO,\s\up6(→))))·eq \(AB,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2=eq \f(1,2)×62=18，
同理可得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))2=eq \f(1,2)×32=eq \f(9,2)，
所以eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=(eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))=eq \f(1,3)×18＋eq \f(2,3)×eq \f(9,2)=6＋3=9，故选D.
答案为：C.
解析：∵eq \(AB,\s\up6(→))=(2,2)，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|=eq \r(22＋22)=2eq \r(2).
∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|csA=2eq \r(2)×2csA=－4，
∴csA=－eq \f(\r(2),2)，∵0 答案为：B.
解析：∵两个单位向量a，b的夹角为120°，∴|a|=|b|=1，a·b=－eq \f(1,2)，
∴|a－kb|=eq \r(a2－2ka·b＋k2b2)=eq \r(1＋k＋k2)=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))，
∵k∈R，∴当k=－eq \f(1,2)时，|a－kb|取得最小值eq \f(\r(3),2)，故选B.
答案为：A.
解析：如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，C(0，eq \r(3))，令E(0，t)，t∈[0，eq \r(3)]，
∴eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))=(－1，t)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，t－\f(\r(3),2)))=t2－eq \f(\r(3),2)t＋eq \f(3,2)，∵t∈[0，eq \r(3)]，
∴当t=－eq \f(－\f(\r(3),2),2×1)=eq \f(\r(3),4)时，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))取得最小值，(eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→)))min=eq \f(3,16)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),4)＋eq \f(3,2)=eq \f(21,16).故选A.
答案为：D.
解析：由条件，得eq \(AP,\s\up6(→))=λ()，
从而eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))=λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))|csB))＋\f(\(AC,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\(AC,\s\up6(→))|csC))))
=λeq \f(|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|cs180°－B,\a\vs4\al(|\(AB,\s\up6(→))|csB))＋λ·eq \f(|\(AC,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|csC,\a\vs4\al(|\(AC,\s\up6(→))|csC))=0，所以eq \(AP,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，
则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
答案为：A.
解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4).设△ABC的内切圆的半径为r，
因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r=4×3，解得r=1，所以I(1,1).
设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0因为eq \(AB,\s\up6(→))=(－3,0)，eq \(AC,\s\up6(→))=(－3,4)，eq \(AP,\s\up6(→))=(x－3，y)，且eq \(AP,\s\up6(→))=λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－3λ－3μ，,y＝4μ，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1－\f(1,3)x－\f(1,4)y，,μ＝\f(1,4)y，))
所以λ＋μ=1－eq \f(1,3)x，又0 答案为：A.
解析：解法1：设O为坐标原点，a=eq \(OA,\s\up6(→))，b=eq \(OB,\s\up6(→))=(x，y)，e=(1,0)，
由b2－4e·b＋3=0得x2＋y2－4x＋3=0，即(x－2)2＋y2=1，
所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆.

因为a与e的夹角为eq \f(π,3)，所以不妨令点A在射线y=eq \r(3)x(x>0)上，
如图，数形结合可知|a－b|min=|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(CB,\s\up6(→))|=eq \r(3)－1.故选A.
解法2：由b2－4e·b＋3=0得b2－4e·b＋3e2=(b－e)·(b－3e)=0.
设b=eq \(OB,\s\up6(→))，e=eq \(OE,\s\up6(→))，3e=eq \(OF,\s\up6(→))，所以b－e=eq \(EB,\s\up6(→))，b－3e=eq \(FB,\s\up6(→))，所以eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))=0，取EF的中点为C，
则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图.设a=eq \(OA,\s\up6(→))，作射线OA，使得∠AOE=eq \f(π,3)，
所以|a－b|=|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|=|eq \(CA,\s\up6(→))|－|eq \(BC,\s\up6(→))|≥eq \r(3)－1.故选A.
答案为：1：2.
解析：如图所示，取AC的中点D，
∴eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))=2eq \(OD,\s\up6(→))，∴eq \(OD,\s\up6(→))=eq \(BO,\s\up6(→))，∴O为BD的中点，∴面积比为高之比.即eq \f(DO,BD)=eq \f(1,2).
答案为：eq \f(2π,3).
解析：由已知可得Δ=|a|2＋4a·b=0，即4|b|2＋4×2|b|2csθ=0，
∴csθ=－eq \f(1,2).又∵0≤θ≤π，∴θ=eq \f(2π,3).
答案为：-1.
解析：解法1：如图，以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，
设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))=(－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))=(2－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))=(－x,2－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))=(2－2x,2－2y)，∴eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))=－x(2－2x)－y(2－2y)
=2(x－eq \f(1,2))2＋2(y－eq \f(1,2))2－1≥－1(当且仅当x=y=eq \f(1,2)时等号成立)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))的最小值为－1.
答案为：eq \r(3).
解析：∵|a|=|b|=1，且a·b=eq \f(1,2)，
当c=xa＋yb时，c2=x2a2＋2xya·b＋y2b2=x2＋xy＋y2=(x＋y)2－xy；
又x>0，y>0且x＋y=2，∴xy≤(eq \f(x＋y,2))2=1，当且仅当x=y=1时取“=”，
∴c2≥(x＋y)2－(eq \f(x＋y,2))2=22－1=3，∴|c|的最小值是eq \r(3).
解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，
设A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，
则eq \(PA,\s\up6(→))=(a,3)，eq \(AM,\s\up6(→))=(x－a，y)，eq \(MQ,\s\up6(→))=(－x，b－y)，
由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))=0，得a(x－a)＋3y=0. ①
由eq \(AM,\s\up6(→))=－eq \f(3,2)eq \(MQ,\s\up6(→))，得(x－a，y)=－eq \f(3,2)(－x，b－y)=eq \f(3,2)x，eq \f(3,2)(y－b)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－a＝\f(3,2)x，,y＝\f(3,2)y－\f(3,2)b，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(x,2)，,b＝\f(y,3).))
∵b>0，∴y>0，把a=－eq \f(x,2)代入到①中，
得－eq \f(x,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(x,2)))＋3y=0，整理得y=eq \f(1,4)x2(x≠0).
∴动点M的轨迹方程为y=eq \f(1,4)x2(x≠0).
解：(1)由题意知m=(csB，csC)，n=(c，b－2a)，m·n=0，
则ccsB＋(b－2a)csC=0.
在△ABC中，由正弦定理得sinCcsB＋(sinB－2sinA)csC=0，
整理得sinCcsB＋sinBcsC－2sinAcsC=0，即sin(B＋C)=2sinAcsC.
故sinA=2sinAcsC，又sinA≠0，∴csC=eq \f(1,2)，
∵C∈(0，π)，∴C=eq \f(π,3).
(2)由eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(DB,\s\up6(→))知，eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，
∴2eq \(CD,\s\up6(→))=eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
两边平方得4|eq \(CD,\s\up6(→))|2=b2＋a2＋2bacs∠ACB=b2＋a2＋ba=28.①
又c2=a2＋b2－2abcs∠ACB，
∴a2＋b2－ab=12.②
由①②得ab=8，∴S△ABC=eq \f(1,2)absin∠ACB=2eq \r(3).