2022版高考数学大一轮复习课时作业28《平面向量的数量积》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习课时作业28《平面向量的数量积》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,3)，且a·(a－b)=2，|a|=2，则|b|等于( )
A.eq \r(2) B.2eq \r(3) C.4 D.2
已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq \(CD,\s\up6(→))在eq \(BA,\s\up6(→))方向上的投影是( )
A.－3eq \r(5) B.－eq \f(3\r(2),2) C.3eq \r(5) D.eq \f(3\r(2),2)
已知平面向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为eq \f(2π,3)，且(a＋λb)⊥(2a－b)，
则实数λ的值为( )
A.－7 B.－3 C.2 D.3
在△ABC中，已知eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(9,2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|=3，|eq \(AB,\s\up6(→))|=3，M，N分别是BC边上的三等分点，
则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的值是( )
A.eq \f(11,2) B.eq \f(13,2) C.6 D.7
如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq \(BF,\s\up6(→))=2eq \(FO,\s\up6(→))，则eq \(FD,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))的值是( )
A.－eq \f(3,4) B.－eq \f(8,9) C.－eq \f(1,4) D.－eq \f(4,9)
设非零向量a，b满足|2a＋b|=|2a－b|，则( )
A.a⊥b B.|2a|=|b| C.a∥b D.|a|<|b|
已知O是△ABC内一点，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))=0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=2且∠BAC=60°，则△OBC面积为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(2,3)
已知平面向量a，b满足|a|=1，a与b－a的夹角为60°，记m=λa＋(1－λ)b(λ∈R)，
则|m|的取值范围为 .
已知点O是锐角三角形ABC的外心，若eq \(OC,\s\up6(→))=meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，则( )
A.m＋n≤－2 B.－2≤m＋n<－1 C.m＋n<－1 D.－1二、填空题
已知平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|= .
在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))，P为CD上一点，已知|eq \(AB,\s\up6(→))|=8，|eq \(AD,\s\up6(→))|=5，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，
且csθ=eq \f(11,20)，eq \(CP,\s\up6(→))=3eq \(PD,\s\up6(→))，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))= .
已知平面向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a＋b|=eq \r(3)，则a在b方向上的投影等于 .
已知非零向量a，b满足a·b=0，|a＋b|=t|a|，若a＋b与a－b的夹角为eq \f(π,3)，
则t的值为 .
已知动直线l与圆O：x2＋y2=4相交于A，B两点，且满足|AB|=2，点C为直线l上一点，
且满足eq \(CB,\s\up6(→))=eq \f(5,2)eq \(CA,\s\up6(→))，若M是线段AB的中点，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的值为 .
三、解答题
已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b).
如图，已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))=(3csx,3sinx)，eq \(OB,\s\up6(→))=(3csx，sinx)，eq \(OC,\s\up6(→))=(eq \r(3)，0)，x∈(0,eq \f(π,2)).
(1)求证：(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))⊥eq \(OC,\s\up6(→))；
(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值.
\s 0 答案详解
答案为：D.
解析：因为a·(a－b)=2，所以a2－a·b=2，即|a|2－|a||b|cs〈a，b〉=2，
所以4－2|b|×eq \f(1,2)=2，解得|b|=2.
答案为：A.
解析：依题意得，eq \(BA,\s\up6(→))=(－2，－1)，eq \(CD,\s\up6(→))=(5,5)，
eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))=(－2，－1)·(5,5)=－15，|eq \(BA,\s\up6(→))|=eq \r(5)，
因此向量eq \(CD,\s\up6(→))在eq \(BA,\s\up6(→))方向上的投影是eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)=eq \f(－15,\r(5))=－3eq \r(5).
答案为：D.
解析：依题意得a·b=2×1×cseq \f(2π,3)=－1，由(a＋λb)·(2a－b)=0，
得2a2－λb2＋(2λ－1)a·b=0，即－3λ＋9=0，解得λ=3.
答案为：B.
解析：不妨设eq \(AM,\s\up6(→))=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))=eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))=(eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→)))=eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(5,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→))2
=eq \f(2,9)(eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2)＋eq \f(5,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=eq \f(2,9)×(32＋32)＋eq \f(5,9)×eq \f(9,2)=eq \f(13,2)，故选B.
答案为：B.
解析：因为eq \(BF,\s\up6(→))=2eq \(FO,\s\up6(→))，r=1，
所以|eq \(FO,\s\up6(→))|=eq \f(1,3)，eq \(FD,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))=(eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))·(eq \(FO,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)))=eq \(FO,\s\up6(→))2＋eq \(FO,\s\up6(→))·(eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))＋eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OE,\s\up6(→))=－eq \f(8,9)，故选B.
答案为：A.
解析：
解法1：∵|2a＋b|=|2a－b|，∴(2a＋b)2=(2a－b)2，化简得a·b=0，∴a⊥b，故选A.
解法2：记c=2a，则由|2a＋b|=|2a－b|得|c＋b|=|c－b|，由平行四边形法则知，
以向量c，b为邻边的平行四边形的对角线相等，
∴该四边形为矩形，故c⊥b，即a⊥b，故选A.
答案为：A.
解析：∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))=0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC=eq \f(1,3)S△ABC.
∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))=2，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|·cs∠BAC=2，∵∠BAC=60°，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|=4.
又S△ABC=eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|sin∠BAC=eq \r(3)，∴△OBC的面积为eq \f(\r(3),3)，故选A.
答案为：[eq \f(\r(3),2),+∞).
解析：如图所示，设eq \(OA,\s\up6(→))=a，eq \(OB,\s\up6(→))=b，eq \(OC,\s\up6(→))=m，则|eq \(OA,\s\up6(→))|=1，∠OAB=120°.
∵m=λa＋(1－λ)b(λ∈R)，∴A，B，C三点共线，
∵点O到直线AB的距离为|eq \(OA,\s\up6(→))|·sin60°=eq \f(\r(3),2)，
∴|eq \(OC,\s\up6(→))|≥eq \f(\r(3),2)，∴|m|的取值范围为[eq \f(\r(3),2),+∞).
答案为：C.
解析：因为点O是锐角三角形ABC的外心，所以O在三角形内部，则m<0，n<0，
不妨设锐角三角形ABC的外接圆的半径为1，
因为eq \(OC,\s\up6(→))=meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \(OC,\s\up6(→))2=m2eq \(OA,\s\up6(→))2＋n2eq \(OB,\s\up6(→))2＋2mneq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))，
设向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为θ，则1=m2＋n2＋2mncsθ所以m＋n<－1或m＋n>1(舍去)，所以m＋n<－1，故选C.
答案为：eq \r(3).
解析：∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)=0，解得2a·b=1，
∴|a＋b|=eq \r(|a|2＋|b|2＋2a·b)=eq \r(3).
答案为：2.
解析：∵eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(CP,\s\up6(→))=3eq \(PD,\s\up6(→))，∴eq \(AP,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DP,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BP,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CP,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
又|eq \(AB,\s\up6(→))|=8，|eq \(AD,\s\up6(→))|=5，csθ=eq \f(11,20)，∴eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))=8×5×eq \f(11,20)=22，
∴eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))=(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→)))=|eq \(AD,\s\up6(→))|2－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,16)|eq \(AB,\s\up6(→))|2=52－11－eq \f(3,16)×82=2.
答案为：－eq \f(1,2).
解析：解法1：∵|a|=1，|b|=2，|a＋b|=eq \r(3)，
∴(a＋b)2=|a|2＋|b|2＋2a·b=5＋2a·b=3，
∴a·b=－1，∴a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)=－eq \f(1,2).
解法2：记a=eq \(OA,\s\up6(→))，a＋b=eq \(OB,\s\up6(→))，则b=eq \(AB,\s\up6(→))，由题意知|eq \(OA,\s\up6(→))|=1，|eq \(OB,\s\up6(→))|=eq \r(3)，|eq \(AB,\s\up6(→))|=2，
则|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2=|eq \(AB,\s\up6(→))|2，△AOB是直角三角形，且∠OAB=eq \f(π,3)，
∴a在b方向上的投影为|eq \(OA,\s\up6(→))|cs(π－eq \f(π,3))=1×(－eq \f(1,2))=－eq \f(1,2).
答案为：eq \f(2\r(3),3).
解析：因为a·b=0，所以(a＋b)2=(a－b)2，即|a＋b|=|a－b|.又|a＋b|=t|a|，
所以|a－b|=|a＋b|=t|a|.因为a＋b与a－b的夹角为eq \f(π,3)，
所以eq \f(a＋b·a－b,|a＋b|·|a－b|)=cseq \f(π,3)，整理得eq \f(|a|2－|b|2,t2|a|2)=eq \f(1,2)，即(2－t2)|a|2=2|b|2.
又|a＋b|=t|a|，平方得|a|2＋|b|2=t2|a|2，
所以|a|2＋eq \f(2－t2|a|2,2)=t2|a|2，解得t2=eq \f(4,3).因为t>0，所以t=eq \f(2\r(3),3).
答案为：3.
解析：动直线l与圆O：x2＋y2=4相交于A，B两点，连接OA，OB，
因为满足|AB|=2，所以△AOB为等边三角形，于是不妨设动直线l为y=eq \r(3)(x＋2)，
如图所示，根据题意可得B(－2,0)，A(－1，eq \r(3))，
因为M是线段AB的中点，所以M(－eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2)).
设C(x，y)，因为eq \(CB,\s\up6(→))=eq \f(5,2)eq \(CA,\s\up6(→))，所以(－2－x，－y)=eq \f(5,2)(－1－x，eq \r(3)－y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2－x＝\f(5,2)－1－x，,－y＝\f(5,2)\r(3)－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)，,y＝\f(5\r(3),3)，))
所以C(－eq \f(1,3)，eq \f(5\r(3),3))，所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))=(－eq \f(1,3)，eq \f(5\r(3),3))·(－eq \f(3,2)，eq \f(\r(3),2))=eq \f(1,2)＋eq \f(5,2)=3.
解：由已知得，a·b=4×8×(-eq \f(1,2))=－16.
(1)①∵|a＋b|2=a2＋2a·b＋b2=16＋2×(－16)＋64=48，
∴|a＋b|=4eq \r(3).
②∵|4a－2b|2=16a2－16a·b＋4b2=16×16－16×(－16)＋4×64=768，
∴|4a－2b|=16eq \r(3).
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，
∴(a＋2b)·(ka－b)=0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2=0，
即16k－16(2k－1)－2×64=0.
∴k=－7.
即k=－7时，a＋2b与ka－b垂直.
解：(1)证明：eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))=(0,2sinx)，
∴(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(OC,\s\up6(→))=0×eq \r(3)＋2sinx×0=0，
∴(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))⊥eq \(OC,\s\up6(→)).
(2)若△ABC是等腰三角形，则AB=BC，
∴(2sinx)2=(3csx－eq \r(3))2＋sin2x，
整理得2cs2x－eq \r(3)csx=0，
解得csx=0，或csx=eq \f(\r(3),2).
∵x∈(0,eq \f(π,2))，
∴csx=eq \f(\r(3),2)，x=eq \f(π,6).