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2021年河北省保定市顺平县中考二模数学试题（word版 含答案）
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这是一份2021年河北省保定市顺平县中考二模数学试题（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省保定市顺平县中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A是∠B的（ ）
A．同位角 B．对顶角 C．余角 D．补角
2．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD=70°，则∠DOE的度数是（ ）
A．70° B．35° C．120° D．145°
4．如图，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在网格图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（ ）
A．O点 B．E点 C．G点 D．F点
6．已知，点、是反比例函数的图象上的两点，且．满足条件的m值可以是（ ）
A．-6 B．-1 C．1 D．3
7．某地森林火灾受害率控制在0.5‰以下．其中数据0.5‰用科学记数法表示为（ ）
A．5×10－3 B．5×10－4 C．5×10－5 D．0.5×10－3
8．为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（ ）
………………甲
………乙
………………………丙
=—2……………………………………丁
A．10分 B．20分 C．30分 D．40分
9．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF=CE．
求证；四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
10．用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP，射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n0，n0，n>DE
11．如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D、E、F、G四点中有一点是ΔABC的外心，该点到线段AB的距离是（ ）
A． B． C． D．1
12．瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50％，行驶时间缩短2h，那么汽车原来的平均速度为（ ）
A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h
13．如果一组数据a1，a2，…，an的方差是2，那么数据2a1－2，2a2－2，…，2an－2的方差是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
14．定义；如果一元二次力程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
15．如图，在矩形内画了一些直线，已知△ADH，△BEF，四边形HGFC的面积分别是12、32、96，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．52 C．60 D．108
16．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
二、填空题
17．的算术平方根是 _____．
18．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
19．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：____________．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=____________．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则____________．
三、解答题
20．在学习有理数时时我们清楚，表示3与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为3与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x一5|也可以理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索并完成以下题目．
（1）分别计算，的值．
（2）如图，x是1到2之间的数(包括1，2)，求的最大值．
21．某高中学校为掌握学生的学习情况，优化选科组合，特组织了文化测试，规定：每名学生测试四科，其中A、B，C为必测学科，第四科D、E中随机抽取．
（1）据统计，九（1）班有8名同学抽到了D“物理”学科，他们的成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7．
①这组成绩的中位数是__________，平均数是____________；
②该班同学丙因病错过了测试，补测抽到了D“物理”学科，加上丙同学的成绩后，发现这9名同学的成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“物理”学科的成绩为___________．
（2）九（1）班有50名学生，下表是单科成绩统计，请计算出该班此次文化测试的平均成绩．
项目
A
语文
B
数学
C
英语
D
物理
E
历史
测试人数(人)
50
50
50
30
20
单科平均成绩(分)
9
8
7
8
9
（3）请用列表法或画树状图法，求嘉嘉和琪琪两同学测试的四个学科不完全相同的概率．
22．探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，三个内角A、B、C所对的边长分别是a，b、c，由于sinA=，sinB=(已知sin90°=1)．可以但到，即在直角三角形中，每条边和它所对角的正弦值的比值相等．
（1）拓展：如图2所示，在锐角三角形ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a，b、c，AD⊥BC，BH⊥AC，试说明在锐角三角形中也有相同的结论．
（2）运用：请你运用拓展中的结论，完成下题．如图3，在某海域一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/小时的速度按北偏东32°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西76°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．(计算结果保留一位小数)(参考数据：sin46°≈0.72，sin32°≈0.53，sin62°≈0.88，sin76°≈0.97)
23．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是边BC上一点(可与B、C重合)，以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．
（1）如图1，当BE的长满足什么条件时，点F在矩形ABCD内？
（2）如图2，点F在矩形外，连接DF，若AE∥DF，求BE的长．
24．如图，B、D为线段AH上两点，△ABC、△BDE和△DGH都是等边三角形，连接CE并延长交AH的延长线于点F，点G恰好在CF上，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：AC2=CM·CF．
（2）设等边△ABC、△BDE和△DGH的面积分别为S1，S2，S3．试判断S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，某小区有块长为(2a+b)米，宽为(2a－b)米的长方形地块，角上有4个边长为(a一b)米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分绿化，绿化的总面积为S，其中a>b．
（1）用含有a和b的式子表示S：____________．(结果用最简形式表示)
（2）若a+b=20且=1，求S的值．
（3）若a+b=20，则当a，b为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
26．当抛物线(a、b、c为常数，c≠0)与x轴交于A，B两点时，以AB为边作矩形ABCD，使点C、点D落在直线y=c上，我们把这样的矩形ABCD叫做该抛物线的“相约矩形”．
（1）①抛物线的“相约矩形”的周长为___________．
②当抛物线(c为常数)不存在“相约矩形”，则c的取值范围是_________．
（2）已知抛物线经过点(2，0)，当该抛物线的“相约矩形”是正方形时，求出该抛物线所对应的函数表达式．
（3）对于函数(a为常数)．
①当该函数的图象与x轴只有－个交点时，求出交点的坐标；
②我们把平面直角坐标系中横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，当抛物线(a为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”时，直接写出a的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
由，可得从而可得答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
是的余角，
故选：
【点睛】
本题考查的是互为余角的含义，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
2．B
【分析】
三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可．
【详解】
解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；
C．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
3．D
【分析】
根据对顶角相等求出∠AOC，根据角平分线的定义计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠BOD＝70°，
∴∠AOC＝∠BOD＝70°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝×70°＝35°，
∠DOE＝∠COD-∠COE＝145°
故选：D．
【点睛】
本题考查的是对顶角、角平分线的定义、平角定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．
4．A
【分析】
利用整式乘法运算与因式分解的含义逐一判断即可得到答案．
【详解】
解： 是因式分解，
是整式的乘法运算，
不是整式的乘法，也不是因式分解，
不是整式的乘法，也不是因式分解，
故选：
【点睛】
本题考查的是整式乘法运算与因式分解的含义，掌握因式分解的含义是解题的关键．
5．C
【分析】
延长AD到A1，使A1D=2OA，即可得到A的对应点A1，同法得到其余点的对应点，顺次连接，即可得到△A1B1C1．
【详解】
如图，点A的对应点为G点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-位似变换，位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．
6．C
【分析】
根据反比例函数的性质，逐一判断选项，即可．
【详解】
∵点、是反比例函数的图象上的两点，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴2＞m＞0，
∴m可以为1，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性，是解题的关键．
7．B
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中＜ n为负整数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.5‰
故选：
【点睛】
本题主要考查用科学记数法表示较小的数，关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法．
8．B
【分析】
分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【详解】
解：原式
，
因此从丙开始出现错误．故得分为20分．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．
9．A
【分析】
先利用菱形的性质证明可得再同理可得 从而判断甲正确；连接BD交AC于O， 利用四边形ABCD是菱形， 可得AC⊥BD，AO=CO，BO=DO， 再证明OF=OE，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．
【详解】
解： 菱形
同理可得：
∴四边形FBED是菱形．故甲正确；
连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵AF=CE，
∴OF=OE，
∴四边形FBED是菱形．故乙正确；
由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；
故选：
【点睛】
本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
10．D
【分析】
根据角平分线的画法判断即可．
【详解】
解：作∠ABC的平分线的步骤如下：
①以B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E，即m＞0；
②分别以D，E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P，即n＞DE；
③画射线BP．
射线BP即为所求．
∴m＞0，n＞DE，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，属于中考常考题型．
11．D
【分析】
根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答．
【详解】
解：如图，
每个小三角形都是正三角形，
，，
，
为直角三角形，
是的中点，，
点是斜边的中点，点是边的中点，
∴，
∵的外心是斜边的中点，
∴即点为的外心，
又∵，，
∴，
∴点E到线段AB的距离，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的外心和等边三角形性质、三角形中位线定理，掌握等边三角形的性质、直角三角形的外心的位置是解题的关键．
12．C
【分析】
求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间-现在时间=2．
【详解】
解：设汽车原来的平均速度是x km/h，
根据题意得：，
解得：x=70
经检验：x=70是原方程的解．
所以，汽车原来的平均速度70km/h．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
13．C
【分析】
当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍，从而得出答案．
【详解】
解：设一组数据a1，a2，…，an的平均数为，方差是s2=2，则另一组数据2a1－2，2a2－2，…，2an－2的平均数为=2-2，方差是s′2，
∵S2=[（a1-）2+（a2-）2+…+（an-）2]，
∴S′2=｛[2a1-2-（2-2）] 2+[2a2-2-（2-2）] 2+…+[2an-2-（2-2）]2｝
=[4（a1-）2+4（a2-）2+…+4（an-）2]
=4S2
=4×2
=8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．即如果一组数据a1，a2，…，an的方差是s2，那么另一组数据ka1，ka2，…，kan的方差是k2s2．
14．A
【分析】
由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【详解】
解：由条件可知a+b+c=0，
所以-b=a+c，
又因为方程有两个相等的实数根，
所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，
整理可得（a-c）2=0，
所以a=c，
所以，a=c≠b
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
15．B
【分析】
设矩形的面积为S，则S△CDE=S△ABC=S，由图形可知，S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影，从而得到阴影部分的面积
【详解】
解：设矩形的面积为S，作EM⊥CD，AN⊥BC
∵S△CDE=，S△ABC =
又∵四边形为矩形
∴AN=CD，EM=BC
则S△CDE=S△ABC=S，
S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影
∴S阴影= S- S△CDE- S△ABC-12-32+96
∴S阴影= S- S -S -12-32+96
S阴影=96-32-12=52．
故选：B
【点睛】
本题考查阴影部分的面积，分析整体和部分的和差关系，利用相加、相减的方法是常用的方法
16．C
【详解】
试题解析：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要求；
②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；
③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点．
所以满足条件的点P共有6个．
故选C．
17．2
【详解】
∵，的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2.
【点睛】
这里需注意：的算术平方根和的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错.
18．36
【分析】
机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案．
【详解】
根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以．
故答案为：36°．
【点睛】
本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质．
19．5 26 19
【分析】
（1）根据题意直接将数值代入即可．
（2）根据题意写出“跟斗数”是含有k的式子，再利用，列方程求解即可．
（3）根据m+n=100，解设未知数用还有x，y的式子表示m、n为m=10x＋y， n=10(9-x)＋(10-y)，根据题意列式子化简即可．
【详解】
解：（1）
（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k＋1)，且，
∴
解得k=2，
∴2(k＋1)=6，∴b=26．
（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m＋n=100，设m=10x＋y，则n=10(9-x)＋(10-y)，
∴
【点睛】
本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型
20．（1）11；8；（2）3．
【分析】
（1）根据绝对值的含义分别计算即可得到答案；
（2）根据，可得＜ 再化简绝对值，利用代数式的特点求解最大值即可．
【详解】
解：（1）；
（2）当时，
＜
当x=1时，原式的最大值为3．
【点睛】
本题考查的是绝对值的含义，绝对值的化简，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
21．（1）①7.5，7.5；②8；（2）8.1；（3）．
【分析】
(1)先按大小排序，取中间数即为中位数，根据平均数计算公式即可求得；
(2)根据平均数公式计算即可求得；
(3)根据题意画出树状图，进而得出结论．
【详解】
解：(1)①中位数：，
平均数，
②设丙同学“物理”成绩为，
则这组成绩为：
，
∵这组成绩的众数与中位数相等，
∴为7或8，
∵平均数比①中的平均数大，即，
∴，
（2），
答：此次文化测试的平均成绩为8.1．
（3）画树状图如图所示，
由图中可知抽取结果共有4种，其中嘉嘉，琪琪两同学测试的学科不完全相同的结果有2种，
则P(四个学科不完全相同的概率)=．
【点睛】
本题主要考查了画树状图，求数据的中位数和平均数，正确理解题意是解题的关键．
22．（1）答案见解析；（2）36.7海里．
【分析】
（1）在Rt△ABH中，利用正弦的含义可得BH=csin∠BAH．在Rt△BCH中，同理可得csin∠BAH=asinC，从而可得：，于是可得答案；
（2）如图，先求解BC=30海里， 而∠ACB=62°，再求解 再利用（1）中的结论可得答案．
【详解】
解：（1）在Rt△ABH中，
∵sin∠BAH=
∴BH=csin∠BAH．
在Rt△BCH中，
∵
∴csin∠BAH=asinC，
∴
同理可得
∴．
（2）如图，BC=60×=30(海里)，
∴
而∠ACB=62°，
∴
∵
∴
∴(海里)
此时货轮距灯塔A的距离AB为36.7海里．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的应用，考查自主探究总结的能力，以及运用探究结论的能力，自主熟练运用结论是解题的关键．
23．（1）BE的长应满足0
（1）如图1中，证明△ABE≌△ECF（AAS），即可解决问题．
（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．证明△EFM≌△DNC（AAS），设NC=FM=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）当点F在CD边上时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥AE，∠AEF=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∵EF=AE，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴CE=AB=6，
∴BE=BC-CE=2，
∴若要点F在矩形ABCD内，BE的长应满足0
延长DF、C交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．
同理可证△ABE≌△EMF．
设BE=x，则EM=AB=6，FM=BE=x，EC=8-x．
∵EF⊥DF，
∴∠DFE=∠DCB=90°，
∴∠FEC=∠CDF．
又∵CD=AB=EM，△FME=∠DCN=90°．
∴△EFM≌△DNC(ASA)，
∴NC=FM=x，EN=EC+NC=8，NM=EN-EM=2．
即在Rt△FMN中，FN2=x2＋22，
在Rt△EFM中，EF2=x2＋62，
在Rt△EFN中，FN2＋EF2=EN2，
即x2+22＋x2＋62=82，
解得或(舍去)，即BE=
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
24．（1）证明见解析；（2）；理由见解析．
【分析】
（1）连接MB，易证∠CMB=∠CBF，则可以得到△CMB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证；
（2）由题意可得出AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根据平行线分线段成比例定理即可得证．
【详解】
解：（1）连接MB，如图，
∵四边形ABMC是圆O的内接四边形，
∴∠FMB=∠A
∴∠CMB=180°一∠A=120°．
∵∠CBF=60°+60°=120°．
∴∠CMB=∠CBF．
∵∠BCM=∠FCB，
∴△CMB∽△CBF，
∴，即
∵AC=CB，
∴
（2）S1，S2，S3之间的数量关系为
理由：∵△ABC、△BDE和△DGH都是等边三角形，
∴
∴AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，
∴
∵，
∴，即
∴所以所求的数量关系是．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质，能灵活应用平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质表示线段之间的关系．特别第（2）问中平行线比较多，合理选择比例线段很关键．
25．（1）平方米；（2）475平方米；（3）当时，，S有最大值，最大值是平方米．
【分析】
（1）根据题意得出绿化的总面积是（2a+b）（2a-b）-4（a-b）2，再进行化简即可；
（2）根据条件求出a，b的值，代入求值即可；
（3）把变形为，代入进行配方求解即可．
【详解】
解：（1）绿化的总面积是S=（2a+b）（2a-b）-4（a-b）2
=4a2-b2-4a2+8ab-4b2
=（）平方米；
故答案为：平方米；
（2）∵
∴．
解方程组，解得
则S=－5×52＋8×15×5=475．
（3）∵，
∴
∴
当时，，S有最大值，最大值是．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式法则和列代数式，解二元一次方程组以及配方的应用等知识，能灵活运用相关知识是解此题的关键．
26．（1）①14；②c≥1或c=0；（2）或；（3）①(0，0)，(，0)或(，0)；②．
【分析】
（1）①设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点横坐标分别为x1、x2，解一元二次方程根即可求出|x1﹣x2|，即“相约矩形”的长，即可求出周长；②抛物线存在“相约矩形”，必须满足两个条件：Ⅰ．抛物线与x轴有两个交点，Ⅱ．抛物线不经过原点；
（2）由抛物线的“相约矩形”是正方形，可知：抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）或（﹣1，0），分别代入即可求出抛物线解析式；
（3）①函数y＝ax2﹣2x+2a（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，分两种情况：a＝0，a≠0；分别求出交点坐标；
②分四种情形，分别画出图形，构建不等式组解决问题即可．
【详解】
解：（1）①设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点横坐标分别为x1、x2，则x1=3、x2=-1
∴x1-x2=3-（-1）=4
y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点(0,-3)
∴周长=4+4+3+3=14
故答案为：14．
②∵抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）不存在“相约矩形”，
∴抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）与x轴没有两个交点，或经过原点
∴，解得：c≥1；
当经过原点时c=0
∴c≥1或c=0．
故答案为： c≥1或c=0．
（2）∵抛物线经过点(2，0)，且抛物线的“相约矩形”是正方形，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(5，0)或(一1，0)．
将(2，0)，(5，0)或(2，0)，(-1，0)分别代入得
或，解得或
∴该抛物线所对应的函数表达式为：3或．
（3）①∵函数(a为常数)的图象与x轴只有一个交点，
∴可以分两种情况：
当a=0时，函数y=一2x与x轴只有一个交点：(0，0)．
当a≠0时，△=(一2)2一4a·2a=0，解得，．
当时，，令y=0，得多，解得，
此时，抛物线与x轴的交点为(，0)；
当时，，令y=0，得，解得，
此时，抛物线与x轴的交点为(，0)．
综上所述，当函数(a为常数)的图象与x轴只有一个交点时，交点的坐标为(0，0)，(，0)或(，0)．
②
由题意可知函数已x轴有两个交点：
∴△=(一2)2一4a·2a＞0
解得：
∵a>0
∴
∵抛物线(a为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”，分四种情况：
，当x轴上有8个“好点时”如图1，，解得．
，
当x轴上有4个“好点”时如图2，，无解．
,
当x轴上有2个“好点”时，即 ，
解得：，
∵
∴无解
当x轴上有1个“好点”时，，
解得：
∵
∴无解
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、对新定义的理解和应用；解题关键在于正确理解新定义，分类讨论避免漏解．
2021年河北省保定市顺平县中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A是∠B的（ ）
A．同位角 B．对顶角 C．余角 D．补角
2．三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠BOD=70°，则∠DOE的度数是（ ）
A．70° B．35° C．120° D．145°
4．如图，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在网格图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（ ）
A．O点 B．E点 C．G点 D．F点
6．已知，点、是反比例函数的图象上的两点，且．满足条件的m值可以是（ ）
A．-6 B．-1 C．1 D．3
7．某地森林火灾受害率控制在0.5‰以下．其中数据0.5‰用科学记数法表示为（ ）
A．5×10－3 B．5×10－4 C．5×10－5 D．0.5×10－3
8．为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（ ）
………………甲
………乙
………………………丙
=—2……………………………………丁
A．10分 B．20分 C．30分 D．40分
9．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF=CE．
求证；四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错 C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
10．用尺规作已知∠ABC的角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP，射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（ ）
A．m>0，n>0 B．m>0，n
11．如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D、E、F、G四点中有一点是ΔABC的外心，该点到线段AB的距离是（ ）
A． B． C． D．1
12．瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50％，行驶时间缩短2h，那么汽车原来的平均速度为（ ）
A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h
13．如果一组数据a1，a2，…，an的方差是2，那么数据2a1－2，2a2－2，…，2an－2的方差是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
14．定义；如果一元二次力程(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于x的方程(a≠0)是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（ ）
A．a=c≠b B．a=b≠c C．b=c≠a D．a=b=c
15．如图，在矩形内画了一些直线，已知△ADH，△BEF，四边形HGFC的面积分别是12、32、96，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．52 C．60 D．108
16．如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足条件的点P共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
二、填空题
17．的算术平方根是 _____．
18．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
19．如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记，例如：a=13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）计算：____________．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k+1)，且，则“跟斗数”b=____________．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n=100，则____________．
三、解答题
20．在学习有理数时时我们清楚，表示3与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为3与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x一5|也可以理解为x与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索并完成以下题目．
（1）分别计算，的值．
（2）如图，x是1到2之间的数(包括1，2)，求的最大值．
21．某高中学校为掌握学生的学习情况，优化选科组合，特组织了文化测试，规定：每名学生测试四科，其中A、B，C为必测学科，第四科D、E中随机抽取．
（1）据统计，九（1）班有8名同学抽到了D“物理”学科，他们的成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7．
①这组成绩的中位数是__________，平均数是____________；
②该班同学丙因病错过了测试，补测抽到了D“物理”学科，加上丙同学的成绩后，发现这9名同学的成绩的众数与中位数相等，但平均数比①中的平均数大，则丙同学“物理”学科的成绩为___________．
（2）九（1）班有50名学生，下表是单科成绩统计，请计算出该班此次文化测试的平均成绩．
项目
A
语文
B
数学
C
英语
D
物理
E
历史
测试人数(人)
50
50
50
30
20
单科平均成绩(分)
9
8
7
8
9
（3）请用列表法或画树状图法，求嘉嘉和琪琪两同学测试的四个学科不完全相同的概率．
22．探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，三个内角A、B、C所对的边长分别是a，b、c，由于sinA=，sinB=(已知sin90°=1)．可以但到，即在直角三角形中，每条边和它所对角的正弦值的比值相等．
（1）拓展：如图2所示，在锐角三角形ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a，b、c，AD⊥BC，BH⊥AC，试说明在锐角三角形中也有相同的结论．
（2）运用：请你运用拓展中的结论，完成下题．如图3，在某海域一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/小时的速度按北偏东32°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西76°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．(计算结果保留一位小数)(参考数据：sin46°≈0.72，sin32°≈0.53，sin62°≈0.88，sin76°≈0.97)
23．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是边BC上一点(可与B、C重合)，以点E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角△AEF．
（1）如图1，当BE的长满足什么条件时，点F在矩形ABCD内？
（2）如图2，点F在矩形外，连接DF，若AE∥DF，求BE的长．
24．如图，B、D为线段AH上两点，△ABC、△BDE和△DGH都是等边三角形，连接CE并延长交AH的延长线于点F，点G恰好在CF上，△ABC的外接圆⊙O交CF于点M．
（1）求证：AC2=CM·CF．
（2）设等边△ABC、△BDE和△DGH的面积分别为S1，S2，S3．试判断S1，S2，S3之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，某小区有块长为(2a+b)米，宽为(2a－b)米的长方形地块，角上有4个边长为(a一b)米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分绿化，绿化的总面积为S，其中a>b．
（1）用含有a和b的式子表示S：____________．(结果用最简形式表示)
（2）若a+b=20且=1，求S的值．
（3）若a+b=20，则当a，b为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
26．当抛物线(a、b、c为常数，c≠0)与x轴交于A，B两点时，以AB为边作矩形ABCD，使点C、点D落在直线y=c上，我们把这样的矩形ABCD叫做该抛物线的“相约矩形”．
（1）①抛物线的“相约矩形”的周长为___________．
②当抛物线(c为常数)不存在“相约矩形”，则c的取值范围是_________．
（2）已知抛物线经过点(2，0)，当该抛物线的“相约矩形”是正方形时，求出该抛物线所对应的函数表达式．
（3）对于函数(a为常数)．
①当该函数的图象与x轴只有－个交点时，求出交点的坐标；
②我们把平面直角坐标系中横、纵坐标都为整数的点称为“好点”，当抛物线(a为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”时，直接写出a的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】
由，可得从而可得答案．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
是的余角，
故选：
【点睛】
本题考查的是互为余角的含义，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
2．B
【分析】
三根等高的木杆竖直立在平地上，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该同方向、长度相等且平行，据此判断即可．
【详解】
解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误；
B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确；
C．在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子的长度应该相同，故本选项错误；
D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该互相平行，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行投影，由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
3．D
【分析】
根据对顶角相等求出∠AOC，根据角平分线的定义计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠BOD＝70°，
∴∠AOC＝∠BOD＝70°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝×70°＝35°，
∠DOE＝∠COD-∠COE＝145°
故选：D．
【点睛】
本题考查的是对顶角、角平分线的定义、平角定义，掌握对顶角相等、角平分线的定义是解题的关键．
4．A
【分析】
利用整式乘法运算与因式分解的含义逐一判断即可得到答案．
【详解】
解： 是因式分解，
是整式的乘法运算，
不是整式的乘法，也不是因式分解，
不是整式的乘法，也不是因式分解，
故选：
【点睛】
本题考查的是整式乘法运算与因式分解的含义，掌握因式分解的含义是解题的关键．
5．C
【分析】
延长AD到A1，使A1D=2OA，即可得到A的对应点A1，同法得到其余点的对应点，顺次连接，即可得到△A1B1C1．
【详解】
如图，点A的对应点为G点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-位似变换，位似变换的关键是根据位似中心和位似比确定对应点的位置．
6．C
【分析】
根据反比例函数的性质，逐一判断选项，即可．
【详解】
∵点、是反比例函数的图象上的两点，
∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，
∵，
∴2＞m＞0，
∴m可以为1，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性，是解题的关键．
7．B
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中＜ n为负整数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.5‰
故选：
【点睛】
本题主要考查用科学记数法表示较小的数，关键是掌握科学记数法表示较小的数的方法．
8．B
【分析】
分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【详解】
解：原式
，
因此从丙开始出现错误．故得分为20分．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．
9．A
【分析】
先利用菱形的性质证明可得再同理可得 从而判断甲正确；连接BD交AC于O， 利用四边形ABCD是菱形， 可得AC⊥BD，AO=CO，BO=DO， 再证明OF=OE，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．
【详解】
解： 菱形
同理可得：
∴四边形FBED是菱形．故甲正确；
连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵AF=CE，
∴OF=OE，
∴四边形FBED是菱形．故乙正确；
由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；
故选：
【点睛】
本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
10．D
【分析】
根据角平分线的画法判断即可．
【详解】
解：作∠ABC的平分线的步骤如下：
①以B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E，即m＞0；
②分别以D，E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P，即n＞DE；
③画射线BP．
射线BP即为所求．
∴m＞0，n＞DE，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，属于中考常考题型．
11．D
【分析】
根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答．
【详解】
解：如图，
每个小三角形都是正三角形，
，，
，
为直角三角形，
是的中点，，
点是斜边的中点，点是边的中点，
∴，
∵的外心是斜边的中点，
∴即点为的外心，
又∵，，
∴，
∴点E到线段AB的距离，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的外心和等边三角形性质、三角形中位线定理，掌握等边三角形的性质、直角三角形的外心的位置是解题的关键．
12．C
【分析】
求的汽车原来的平均速度，路程为420km，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：从甲地到乙地的时间缩短了2h．等量关系为：原来时间-现在时间=2．
【详解】
解：设汽车原来的平均速度是x km/h，
根据题意得：，
解得：x=70
经检验：x=70是原方程的解．
所以，汽车原来的平均速度70km/h．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
13．C
【分析】
当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍，从而得出答案．
【详解】
解：设一组数据a1，a2，…，an的平均数为，方差是s2=2，则另一组数据2a1－2，2a2－2，…，2an－2的平均数为=2-2，方差是s′2，
∵S2=[（a1-）2+（a2-）2+…+（an-）2]，
∴S′2=｛[2a1-2-（2-2）] 2+[2a2-2-（2-2）] 2+…+[2an-2-（2-2）]2｝
=[4（a1-）2+4（a2-）2+…+4（an-）2]
=4S2
=4×2
=8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了方差的性质：当一组数据的每一个数都乘以同一个数时，方差变成这个数的平方倍．即如果一组数据a1，a2，…，an的方差是s2，那么另一组数据ka1，ka2，…，kan的方差是k2s2．
14．A
【分析】
由条件可知a+b+c=0，再根据方程根的判别式得到到b2-4ac=0，整理可得出结论．
【详解】
解：由条件可知a+b+c=0，
所以-b=a+c，
又因为方程有两个相等的实数根，
所以△=0，即b2-4ac=0，
所以（a+c）2-4ac=0，
整理可得（a-c）2=0，
所以a=c，
所以，a=c≠b
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知a+b+c=0和b2-4ac=0是解题的关键．
15．B
【分析】
设矩形的面积为S，则S△CDE=S△ABC=S，由图形可知，S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影，从而得到阴影部分的面积
【详解】
解：设矩形的面积为S，作EM⊥CD，AN⊥BC
∵S△CDE=，S△ABC =
又∵四边形为矩形
∴AN=CD，EM=BC
则S△CDE=S△ABC=S，
S＋96=S△CDE+S△ABC＋12＋32＋S阴影
∴S阴影= S- S△CDE- S△ABC-12-32+96
∴S阴影= S- S -S -12-32+96
S阴影=96-32-12=52．
故选：B
【点睛】
本题考查阴影部分的面积，分析整体和部分的和差关系，利用相加、相减的方法是常用的方法
16．C
【详解】
试题解析：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与坐标轴交于一点，这一点符合点P的要求；
②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与坐标轴交于两点，这两点也符合P点的要求；
③以P为直角顶点，可以AB为直径画圆，与坐标轴共有3个交点．
所以满足条件的点P共有6个．
故选C．
17．2
【详解】
∵，的算术平方根是2，
∴的算术平方根是2.
【点睛】
这里需注意：的算术平方根和的算术平方根是完全不一样的；因此求一个式子的平方根、立方根和算术平方根时，通常需先将式子化简，然后再去求，避免出错.
18．36
【分析】
机器人行走的路程为10米，每次走1米，回到O点时，组成一个封闭的图形，则多边形的边数为十，且每条边长度相等，由于每次右转的角度相同，故为正十边形，每次右转的角度为正十边形的外角，因而可求得答案．
【详解】
根据题意可得，机器人行走的路程是边长为1米的正十边形，而每次向右转的角度为正十边形的外角度数，所以．
故答案为：36°．
【点睛】
本题主要考查了正多形的定义及外角和的性质．
19．5 26 19
【分析】
（1）根据题意直接将数值代入即可．
（2）根据题意写出“跟斗数”是含有k的式子，再利用，列方程求解即可．
（3）根据m+n=100，解设未知数用还有x，y的式子表示m、n为m=10x＋y， n=10(9-x)＋(10-y)，根据题意列式子化简即可．
【详解】
解：（1）
（2）∵一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2(k＋1)，且，
∴
解得k=2，
∴2(k＋1)=6，∴b=26．
（3）∵m，n都是“跟斗数”，且m＋n=100，设m=10x＋y，则n=10(9-x)＋(10-y)，
∴
【点睛】
本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型
20．（1）11；8；（2）3．
【分析】
（1）根据绝对值的含义分别计算即可得到答案；
（2）根据，可得＜ 再化简绝对值，利用代数式的特点求解最大值即可．
【详解】
解：（1）；
（2）当时，
＜
当x=1时，原式的最大值为3．
【点睛】
本题考查的是绝对值的含义，绝对值的化简，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
21．（1）①7.5，7.5；②8；（2）8.1；（3）．
【分析】
(1)先按大小排序，取中间数即为中位数，根据平均数计算公式即可求得；
(2)根据平均数公式计算即可求得；
(3)根据题意画出树状图，进而得出结论．
【详解】
解：(1)①中位数：，
平均数，
②设丙同学“物理”成绩为，
则这组成绩为：
，
∵这组成绩的众数与中位数相等，
∴为7或8，
∵平均数比①中的平均数大，即，
∴，
（2），
答：此次文化测试的平均成绩为8.1．
（3）画树状图如图所示，
由图中可知抽取结果共有4种，其中嘉嘉，琪琪两同学测试的学科不完全相同的结果有2种，
则P(四个学科不完全相同的概率)=．
【点睛】
本题主要考查了画树状图，求数据的中位数和平均数，正确理解题意是解题的关键．
22．（1）答案见解析；（2）36.7海里．
【分析】
（1）在Rt△ABH中，利用正弦的含义可得BH=csin∠BAH．在Rt△BCH中，同理可得csin∠BAH=asinC，从而可得：，于是可得答案；
（2）如图，先求解BC=30海里， 而∠ACB=62°，再求解 再利用（1）中的结论可得答案．
【详解】
解：（1）在Rt△ABH中，
∵sin∠BAH=
∴BH=csin∠BAH．
在Rt△BCH中，
∵
∴csin∠BAH=asinC，
∴
同理可得
∴．
（2）如图，BC=60×=30(海里)，
∴
而∠ACB=62°，
∴
∵
∴
∴(海里)
此时货轮距灯塔A的距离AB为36.7海里．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的应用，考查自主探究总结的能力，以及运用探究结论的能力，自主熟练运用结论是解题的关键．
23．（1）BE的长应满足0
（1）如图1中，证明△ABE≌△ECF（AAS），即可解决问题．
（2）如图2中，延长DF，BC交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．证明△EFM≌△DNC（AAS），设NC=FM=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）当点F在CD边上时，如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥AE，∠AEF=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∵EF=AE，
∴△ABE≌△ECF（AAS），
∴CE=AB=6，
∴BE=BC-CE=2，
∴若要点F在矩形ABCD内，BE的长应满足0
延长DF、C交于点N，过点F作FM⊥BC于点M．
同理可证△ABE≌△EMF．
设BE=x，则EM=AB=6，FM=BE=x，EC=8-x．
∵EF⊥DF，
∴∠DFE=∠DCB=90°，
∴∠FEC=∠CDF．
又∵CD=AB=EM，△FME=∠DCN=90°．
∴△EFM≌△DNC(ASA)，
∴NC=FM=x，EN=EC+NC=8，NM=EN-EM=2．
即在Rt△FMN中，FN2=x2＋22，
在Rt△EFM中，EF2=x2＋62，
在Rt△EFN中，FN2＋EF2=EN2，
即x2+22＋x2＋62=82，
解得或(舍去)，即BE=
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
24．（1）证明见解析；（2）；理由见解析．
【分析】
（1）连接MB，易证∠CMB=∠CBF，则可以得到△CMB∽△CBF，根据相似三角形对应边的比相等即可得证；
（2）由题意可得出AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，根据平行线分线段成比例定理即可得证．
【详解】
解：（1）连接MB，如图，
∵四边形ABMC是圆O的内接四边形，
∴∠FMB=∠A
∴∠CMB=180°一∠A=120°．
∵∠CBF=60°+60°=120°．
∴∠CMB=∠CBF．
∵∠BCM=∠FCB，
∴△CMB∽△CBF，
∴，即
∵AC=CB，
∴
（2）S1，S2，S3之间的数量关系为
理由：∵△ABC、△BDE和△DGH都是等边三角形，
∴
∴AC∥BE∥DG，BC∥DE∥HG，
∴
∵，
∴，即
∴所以所求的数量关系是．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质，能灵活应用平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质表示线段之间的关系．特别第（2）问中平行线比较多，合理选择比例线段很关键．
25．（1）平方米；（2）475平方米；（3）当时，，S有最大值，最大值是平方米．
【分析】
（1）根据题意得出绿化的总面积是（2a+b）（2a-b）-4（a-b）2，再进行化简即可；
（2）根据条件求出a，b的值，代入求值即可；
（3）把变形为，代入进行配方求解即可．
【详解】
解：（1）绿化的总面积是S=（2a+b）（2a-b）-4（a-b）2
=4a2-b2-4a2+8ab-4b2
=（）平方米；
故答案为：平方米；
（2）∵
∴．
解方程组，解得
则S=－5×52＋8×15×5=475．
（3）∵，
∴
∴
当时，，S有最大值，最大值是．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式法则和列代数式，解二元一次方程组以及配方的应用等知识，能灵活运用相关知识是解此题的关键．
26．（1）①14；②c≥1或c=0；（2）或；（3）①(0，0)，(，0)或(，0)；②．
【分析】
（1）①设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点横坐标分别为x1、x2，解一元二次方程根即可求出|x1﹣x2|，即“相约矩形”的长，即可求出周长；②抛物线存在“相约矩形”，必须满足两个条件：Ⅰ．抛物线与x轴有两个交点，Ⅱ．抛物线不经过原点；
（2）由抛物线的“相约矩形”是正方形，可知：抛物线与x轴的另一个交点为（5，0）或（﹣1，0），分别代入即可求出抛物线解析式；
（3）①函数y＝ax2﹣2x+2a（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，分两种情况：a＝0，a≠0；分别求出交点坐标；
②分四种情形，分别画出图形，构建不等式组解决问题即可．
【详解】
解：（1）①设抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点横坐标分别为x1、x2，则x1=3、x2=-1
∴x1-x2=3-（-1）=4
y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点(0,-3)
∴周长=4+4+3+3=14
故答案为：14．
②∵抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）不存在“相约矩形”，
∴抛物线y＝x2﹣2x+c（c为常数）与x轴没有两个交点，或经过原点
∴，解得：c≥1；
当经过原点时c=0
∴c≥1或c=0．
故答案为： c≥1或c=0．
（2）∵抛物线经过点(2，0)，且抛物线的“相约矩形”是正方形，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(5，0)或(一1，0)．
将(2，0)，(5，0)或(2，0)，(-1，0)分别代入得
或，解得或
∴该抛物线所对应的函数表达式为：3或．
（3）①∵函数(a为常数)的图象与x轴只有一个交点，
∴可以分两种情况：
当a=0时，函数y=一2x与x轴只有一个交点：(0，0)．
当a≠0时，△=(一2)2一4a·2a=0，解得，．
当时，，令y=0，得多，解得，
此时，抛物线与x轴的交点为(，0)；
当时，，令y=0，得，解得，
此时，抛物线与x轴的交点为(，0)．
综上所述，当函数(a为常数)的图象与x轴只有一个交点时，交点的坐标为(0，0)，(，0)或(，0)．
②
由题意可知函数已x轴有两个交点：
∴△=(一2)2一4a·2a＞0
解得：
∵a>0
∴
∵抛物线(a为常数，a>0)的“相约矩形”内部(包括矩形边界)恰有8个“好点”，分四种情况：
，当x轴上有8个“好点时”如图1，，解得．
，
当x轴上有4个“好点”时如图2，，无解．
,
当x轴上有2个“好点”时，即 ，
解得：，
∵
∴无解
当x轴上有1个“好点”时，，
解得：
∵
∴无解
综上所述，a的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、对新定义的理解和应用；解题关键在于正确理解新定义，分类讨论避免漏解．
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