2022年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷（含解析）

2022年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 的平方根为

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形是物理学中的力学、电学等器件的平面示意图，从左至右分别代表小车、音叉、凹透镜和砝码，其中是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则的余角的补角的度数是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，则下列结论不正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 将一次函数的图象向右平移个单位后与轴交于点，点的坐标是，则线段的长为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，于点，延长交于点，则的长为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、若为，则图中阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

8. 已知抛物线经过和两点，则的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. ______．
10. 六边形是一个常见的形状，比如古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形内角和为______
11. 对于任意实数、，定义一种运算：，若，则的值为______．
12. 设，为反比例函数图象上两点，若，，则的取值范围是______．
13. 如图，在等腰中，，，点在上，点、在上点在点下方，，点在内，四边形是平行四边形，连接，则面积的最大值为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分）

14. 计算：．
15. 解分式方程：．
16. 如图，已知，射线上一点和直线，请利用尺规作图法，在上求作一点，使得不写作法，保留作图痕迹
    
     

17. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
     
18. 中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何马、牛单价各是多少两？”
19. 在；；这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
    已知，如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，______ 填写序号．
    求证：．

20. 陕西考古博物馆是集科研、公众教育和社会服务为一体的，重点展示考古工作和考古学科发展的全国乃至全世界专题性博物馆．周末，爸爸带着晓玲和姐姐重点参观了考古发现篇章，考古发现篇又分为：一“探源文明，构建先史”；二“寻踪帝国，盛世再现”；三“追迹古都，陶冶风雅”三个单元，参观结束后回到家晓玲和姐姐各自从这三个单元中随机选择一个为主题写一篇小作文．
    晓玲选择“探源文明，构建先史”为主题，这一事件是______事件；填“随机”“不可能”或“必然”
    请用画树状图或列表法，求晓玲和姐姐选择同一个单元为主题的概率．
21. 某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量秦始皇雕塑的高度．如图所示，首先，在阳光下，某一时刻，小玉在雕塑影子顶端处竖立一根高米的标杆，此时测得标杆的影子为米；然后，在处竖立一根高米的标杆，小婷从处沿后退米到处恰好看到点、在一条直线上，小婷的眼睛到地面的距离米，米，已知，，，，点、、、、在同一水平直线上，请根据以上数据求出秦始皇雕塑的高度．

22. 月日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，中国“太空出差三人组”成员平安回到了祖国大地．星空浩瀚无限，探索永无止境，我们都是“追梦人”，为了庆祝我国航天事业的发展，某校举行航空航天作品展，为了解学生上交作品情况，随机调查了部分学生上交作品件数，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
    请根据相关信息，解答下列问题：
    补全两幅统计图；
    求所抽取学生上交作品件数的众数与中位数；
    求所抽取学生上交作品件数的平均数，若该校共有名学生，请估计上交的作品一共有多少件？

23. 将生态资源转化为经济资源，促进产业融合，生态绿色振兴之路是关键．为做好生态与产业融合，推进农业农村绿色发展，某生态示范园培育出品种优良的甲种有机水果，该有机水果同城销售方法是：送货上门，除每次收取送货费元外，购买水果不超过时按每千克元收费，超过时，超出部分按每千克元收费．设同城顾客购买甲种有机水果，所需总费用为元．
    求与之间的函数关系式；
    已知同城李阿姨在该生态示范园一次订购甲种有机水果共花费元，求李阿姨这次订购甲种有机水果多少千克？
24. 如图，内接于，是的直径，点是上一点，连接、，过点作，交的延长线于点，平分．
    求证：是的切线；
    若，的半径为，求的长．
     

25. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，交轴于点．
    求抛物线的函数表达式及点的坐标；
    点是轴上的点，在轴右侧的抛物线上是否存在点，使得与相似，且点与点为对应点，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

26. 问题提出
    如图，在中，点、分别是、的中点，连接、、，与交于点，若，则______；
    问题探究
    如图，在▱中，，，点是上一点可与端点重合，连接、，，求▱面积的最小值；
    问题解决
    某湿地公园拟建一个梯形花园，示意图如图所示，其中，，管理员计划在区域种植水生植物，在区域种植甲种花卉．根据设计要求，要满足点在上，，是锐角，且，若种植水生植物每平方米需元，种植甲种花卉每平方米需元，求种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用至少为多少元？

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的平方根为，
故选：．
利用平方根的意义解答即可．
本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的意义解答是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：；
的余角，
的余角的补角为；
故选：．
根据余角和补角的定义解答即可．
本题考查余角和补角相关知识．
 

4.【答案】

【解析】解：，是斜边上的中线，
，故A选项正确，选项正确，不符合题意；
，
是斜边上的高线，
，
，故B选项正确，不符合题意；
只有当时，，故D选项错误，符合题意．
故选：．
根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高线，中线的性质逐项判定解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：将一次函数的图象向右平移个单位后得到，即，
令，则，
，
，
故选：．
根据平移的规律求得平移后的解析式，即可求得的坐标，然后根据勾股定理即可求得线段的长．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移规律求得平移后的解析式是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得，，
，
，
根据菱形的对称性得．
故选：．
根据菱形的性质分别求出、，根据勾股定理求出，根据菱形的面积公式计算即可．
本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的面积公式、菱形的性质定理是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：连接，
，，，
四边形是矩形，
，
，
由矩形易得到≌，

图中阴影部分的面积扇形的面积，

图中阴影部分的面积，
故选：．

连接，易证得四边形是矩形，则≌，得到，图中阴影部分的面积扇形的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形的面积等于阴影的面积是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：抛物线经过和，
抛物线对称轴为直线，
，
，
将代入得，
，
故选：．
由抛物线的对称性及点和可得抛物线对称轴为直线，从而可得的值，将点坐标代入解析式求出的值，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

9.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
根据积的乘方以及同底数幂的乘方等知识求解即可求得答案．
本题考查了积的乘方和同底数幂的乘法运算法则，一定要记准法则才能做题．
 

10.【答案】

【解析】解：六边形的内角和，
故答案为：．
根据边形的内角和为可得到六边形的内角和即可解答．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，且，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
根据，由，可得：，据此求出的值即可．
此题主要考查了实数的运算，定义新运算，解答此题的关键是注意完全平方公式的应用．
 

12.【答案】

【解析】解：点，为反比例函数图象上两点，当时，，
，
解得，
故的取值范围是．
根据反比例函数的性质，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，

设，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，


，
，
当时，取得最大值，
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，则，，由等腰三角形的性质及勾股定理求出，，利用等积法，进而求出，由平行四边形的性质得出，，进而得出，求出，得出，再利用二次函数的性质即可求出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，二次函数的最值，掌握平行四边形的性质，勾股定理，等积法，解直角三角形，二次函数的图象与性质等知识是解决问题的关键．
 

14.【答案】解：


．

【解析】先进行二次根式的乘法运算，绝对值运算，负整数指数幂运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．

【解析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

16.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】过点作交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：设马的单价为两，牛的单价为两，
依题意得：，
解得：．
答：马的单价为两，牛的单价为两．

【解析】设马的单价为两，牛的单价为两，根据“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

19.【答案】解：选，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
．

故选择：答案不唯一．

【解析】由四边形是平行四边形得，加上条件，从而得出四边形为平行四边形，从而有．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】随机

【解析】解：晓玲选择“探源文明，构建先史”为主题，这一事件是随机事件，
故答案为：随机；
将三个单元主题分别记作、、，
画树状图如图：

共有个等可能的结果，晓玲和姐姐选择同一个单元为主题的有种结果，
所以晓玲和姐姐选择同一个单元为主题的概率为．
根据随机事件的概念求解即可；
将三个单元主题分别记作、、，画出树状图，共有个等可能的结果，晓玲和姐姐选择同一个单元为主题的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设米，
高米的标杆的影子为米，
米，
过作于，交于，
则四边形，是矩形，
米，米，
米，
米，米，
，
∽，
，，
解得：，
米，
答：秦始皇雕塑的高度为米．

【解析】设米，根据物体和影长的关系得到米，证得∽，根据相似三角形的性质求出即可即可得到结论．
本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，并证得∽是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：本次调查共抽取的学生有人．
上交作品件的人数为人．
上交作品件的人数所占的百分比，
补全两幅统计图如图：


所抽取学生上交作品件数的众数为，
所抽取学生上交作品件数的中位数为；

所抽取学生上交作品件数的平均数，
件，
答：估计上交的作品一共有件．

【解析】用上交作品件的人数和除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出上交作品件的人数后补全条形统计图，求出上交作品件的人数所占的百分比即可补全扇形统计图；
根据众数与中位数的定义即可求解；
用乘以所抽取学生上交作品件数的平均数即可．
本题主要考查利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

23.【答案】解：由题意可知，当时，，
当时，，
与之间的函数关系式为：；
当时，
，
解得，
答：李阿姨这次订购甲种有机水果千克．

【解析】根据题意，可以分别写出和时，与之间的函数关系式；
将代入中的相应的函数解析式即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
的长为．

【解析】连接，根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证明，从而利用平行线的性质可得，即可解答；
根据圆周角定理可求出，从而证明是等边三角形，进而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，角平分线的性质，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：对于，令，解得，令，则，
故点、的坐标分别为、，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得，
，
把代入上式得，，
抛物线的函数表达式为，点的坐标为；
当时，即，
解得：，，
，
设，，
与相似，且点与点为对应点，
或，
或
或，
点在抛物线上，
或，
，不合题意舍去或，不合题意舍去，
点的坐标为或．

【解析】解方程求得点、的坐标分别为、，将点的坐标代入抛物线表达式得到，于是得到结论；
设，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
 

26.【答案】

【解析】解：，分别是，的中点，
，．
∽，
，
，
，
故答案为：；
过点作于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
过点作于点，取的中点，连接，则，
，
，
当最小时，▱的面积最小，
，
的最小值为，
；
如图，延长，交于点，
，
，，
∽，
，，
，，
过点作于点，
，
种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用为：



，
当的长最小时，种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用最少，
作的外接圆，连接，，，过点作于点，在弦所对的优弧上找一点，连接，，

，，
，
，
，
，
，
即，
设，则，，，
，
，
，
，
种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用至少为元．
根据中位线的性质得到∽，再用相似三角形的性质以及面积的比等于相似比的平方进行计算可以求出的面积；
过点作于点，由平行四边形的性质及直角三角形的性质求出，过点作于点，取的中点，连接，则，求出的最小值，则可得出答案；
延长，交于点，种植水生植物和种植甲种花卉所需总费用为：，作的外接圆，连接，，，过点作于点，在弦所对的优弧上找一点，连接，，由直角三角形的性质求出的最小值则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的外接圆，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．