2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷（word版 含答案）

这是一份2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年陕西省西安市莲湖区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A．2021 B．1 C．0 D．
2．下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
3．2020年，陕西省实现社会消费品零售总额9605.92亿元，将数字9605.92亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，则平移后的新直线为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，M，N是上两点，，连接，，，，添加一个条件，使四边形是菱形，这个条件是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，是的内接三角形，作与相交于点C，且，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
9．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，结论错误的是（ ）


A．AB=2 B．∠BAC=90° C． D．点A到直线BC的距离是2
10．若抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于A、B两点，若的长是6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．比较大小：______．（填“>”、“<”或“=”）
12．圆内接正六边形的边长为6，则该正六边形的边心距为_____．
13．如图，的顶点O在坐标原点上，，若点B在反比例函数的图象上，点A在反比例函数的图象上，则k的值为______．

14．如图，在正方形中，以为边，在正方形内部作等边三角形△，点P在对角线上，且，则的最小值为__________________．


三、解答题
15．计算：．
16．化简：．
17．如图，在中．请用尺规作图法，求作一个以为内角的菱形，使顶点E、F、G分别在、、边上．

18．如图，，，．求证：．

19．第十四届全运会圣火将在西安点燃，西安将再次惊艳全国.2019年8月2日，“朱朱”“熊熊”“羚羚”“金金”问世，成为2021年第十四届全国运动会的吉祥物．某校为了让学生进一步了解2021年“吉祥物”相关知识，计划开展“吉祥物知识进课堂”活动，开展活动之前，学校老师随机抽取若干名学生，对“你最感兴趣的吉祥物”进行了调查，经调查统计，结合学生自身的兴趣，每人从“A．朱朱、B．熊熊、C．羚羚、D．金金”中选择一项．现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．结合图中信息解答下列问题：
（1）请将两幅统计图补充完整，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是____________；
（2）在这次调查中，A、B、C、D哪项选择人数少于调查总人数的平均数？
（3）若本校一共有2000名学生，请估计“对B．熊熊最感兴趣”的人数．

20．在学习了相似三角形的应用知识点后，小丽为了测量某建筑的高度，在地面上的点D与同学们一同竖直放了一根标杆，并在地面上放置一块平面镜E，已知建筑底端B、E、D点在同一条水平直线上，在标杆顶端点C恰好通过平面镜E观测到建筑顶点A，在点C观测建筑顶点A的仰角为，平面镜E的俯角为，其中标杆的长度为1米，问建筑的高度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：）

21．为进一步落实精准扶贫工作．某农科所李教授选择乘坐客车前往目的地．经了解，长途汽车客运站规定乘客可以免费携带一定质量的行李，若携带行李质量超出免费的范围．乘客需自行购买行李票，行李票y（元）与行李质量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围．
（2）当李教授携带72千克行李时，行李费需要多少钱？

22．小红和小兵进行摸球试验，在一个不透明的空布袋中放有4个小球．分别标号1，2，3，4，小球除数字不同外其他都相同．试验规则：摸球前先搅拌均匀，每次随机摸一个小球，记下数字后，称为摸球一次．
（1）若小兵随机摸球一次，摸到标号为奇数的概率为__________________；
（2）若小红从袋中不放回地随机摸两次，请用列表法或画树状图法求出两球标号均为偶数的概率．
23．如图，为的直径，、是的两条弦，是的切线，且交于点D．
（1）求证：．
（2）若的半径为8，，求弦的长．

24．如图，抛物线：与抛物线：关于y轴对称，与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线，的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在一点N，在抛物线上是否存在一点M，使得以为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（1）如图1，在等边中，．点P、D、E分别为边、、上（均不与端点重合）的动点．
①当点P为的中点时，在图1中，作出，使的周长最小，并直接写出的周长的最小值；
②如图2，当时，求的周长的最小值．
（2）如图3，在等腰中．，，，点P、Q、R分别为边、、上（均不与端点重合）的动点，求周长的最小值并简要说明理由．



参考答案
1．B
【分析】
根据任何非零实数的零次幂都等于1可得答案．
【详解】
解：＝1；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查实数的零次幂的计算法则，了解非零实数的零次幂都等1是解题的关键．
2．A
【详解】
三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形由此可得：
只有A是三棱柱的展开图．
故选A．

3．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：9605.92亿=960592000000=9.60592×1011．
故选：D．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．A
【分析】
直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC以及∠EOC的度数，进而得出答案．
【详解】
解：∵∠1与∠2互余，
∴，
∴°，
∵，
∴°，
∴．
故选：A
【点睛】
此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键．
5．C
【分析】
A.根据合并同类项的法则进行验证即可；
B.根据同底数幂的乘法法则进行验证即可；
C.根据积的乘方法则进行验证即可；
D.根据完全平方公式进行验证即可．
【详解】
解：A.a6与a3不是同类项不能合并，故此选项错误；
B.a2·a3=a5，故此选项错误；
C.(2a)3=8a3，故此选项正确；
D.(a-b)2=a2+b2-2ab，故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方和完全平方公式，熟记公式是解决此题的关键．
6．B
【分析】
根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．
【详解】
解：将直线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，平移后所得新直线的表达式为，即，
故选：B
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．
7．C
【分析】
由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形，由对角线互相垂直的平行四边形可得到菱形．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
A选项、∵，则OM=ON=OA=OC，即AC=MN，
∴平行四边形AMCN是矩形，不符合题意；
B选项、，不能判断平行四边形AMCN是菱形，不符合题意；
C选项、∵BD⊥AC，
∴MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形；
D选项、∵，
∴，
∴AM∥CN，不能判断平行四边形AMCN是菱形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．A
【分析】
根据平行线的性质、等腰三角形的性质求出∠AOD，根据圆周角定理解答即可．
【详解】
解：∵∠BOC=110°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=70°，
∵AD∥OC，
∴∠BAD=∠AOC=70°，
∵OA=OC，
∴∠ODA=∠BAD=70°，
∴∠AOD=40°，
由圆周角定理得，∠ABD=∠AOD=20°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、平行线的性质是解题的关键．
9．C
【分析】
根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．
【详解】
解：AB=，故选项A正确，不符合题意；
∵AC＝，BC，
∴，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠CAB=90°，故选项B正确，不符合题意；
S△ABC，故选项C错误，符合题意；
点A到直线BC的距离，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．
10．D
【分析】
用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得，
故抛物线的表达式为，
令，解得，
则，
解得，
故抛物线的表达式为，
当时，，
故顶点的坐标为（2，-18），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
11．<
【分析】
比较这两个正数的平方，哪一个数的平方大，数就大．
【详解】
解：∵，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查实数的大小比较，解题的关键是利用它们的平方比较大小．
12．3
【分析】
根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及锐角三角函数的定义直接计算即可．
【详解】
如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G．
∵此多边形是正六边形，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBG=60°，
∴边心距OG=OB•sin∠OBG=6(cm)．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了正多边形与圆、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟知正六边形的性质是解答本题的关键．
13．6
【分析】
过A、B作轴于C，轴于D， 易证，根据相似三角形的性质求得点A的坐标，由此即可求得k的值．
【详解】
过A、B作轴于C，轴于D，如图：

B在反比例函数的图象上，
设，则，，
∵，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，，
∴，
把代入得：
．
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，作出辅助线，证明是解决问题的关键．
14．
【分析】
由正方形的轴对称性知：PD＝PB，从而转化为PB＋PE最小即可．
【详解】
解：∵四边形是正方形，

∴B，D关于对称，
∴，
∴，
∴的最小值为，
在中，
，
∵等边，
∴，
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及轴对称问题，将两条线段和最小问题转化为两点之间，线段最短是解决问题的关键．
15．7．
【分析】
由特殊的三角函数值得到，由负指数幂公式算出，化简，最后算出结果即可．
【详解】
解：原式＝ ，
＝
＝
＝
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，关键注意负指数幂：的运算和特殊的三角函数值．
16．
【分析】
先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．
【详解】
解：原式


．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
17．作图见解析
【分析】
作∠ABC的平分线交AC于F，再作BF的垂直平分线交AB于G，交BC于E，则四边形BEFG满足条件．
【详解】
解：如图，四边形为所作．
．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
18．证明见解析
【分析】
先证△ADE≌△ABC（AAS），得AE＝AC，再证△ACE是等边三角形，即可得出结论．
【详解】
证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．（1）作图见解析；C．羚羚；（2）“B．熊熊、D．金金”的选择人数少于调查总人数的平均数；（3）约有400人．
【分析】
（1）从两个统计图中可以得出，所抽取学生最感兴趣的吉祥物是“C．羚羚”．对D．金金最感兴趣的有30人，占调查人数的10%，可求出得出人数，进而求出“B．熊熊”的人数，以及“A．朱朱“，”B．熊熊”所占的百分比，进而补全两个统计图；
（2）通过计算平均数，比较得出答案；
（3）对“B．熊熊”最感兴趣的占20%，因此计算2000人的20%即可．
【详解】
解：（1）（人），（人），，，补全统计图如图：

从两个统计图中均可以看出，从两个统计图中可以得出，最感兴趣的吉祥物为“C．羚羚”的人数最多，是120人，
因此所抽取学生最感兴趣的吉祥物是“C．羚羚”，
故答案为：C．羚羚；
（2）各项内容选择人数的平均数是（人）．
所以“B．熊熊、D．金金”的选择人数少于调查总人数的平均数；
（3）（人），
答：“对B．熊熊最感兴趣”的人数大约有400人．
【点睛】
本题考查扇形统计图、条形统计图，众数、平均数，理解两个统计图中的数量关系是正确计算的前提，掌握平均数、众数的求法是得出答案的关键．
20．建筑的高度约为3.7米．
【分析】
根据题意和题目中的数据，利用锐角三角函数，可以计算出建筑AB的高度，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
米，，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
设米，则米，米，
∴米，
∵，，，
∴，
解得，
即建筑的高度约为3.7米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（1）；（2）7元．
【分析】
（1）由图象首先设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y＝kx＋b，再把x＝60，y＝5和x＝90，y＝10代入y＝kx＋b中，求出k，b的值，得出解析式，求出当y=0时的x的值，然后进行讨论即可；
（2）把x＝72代入（1）中解析式即可．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为，
由题意得：，
解得，，
∴
当y=0时x=30

∴当时，；
当时， ；
∴该一次函数关系式为：，
（2）当时，（元），
∴当李教授携带72千克行李时，行李费需要7元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求一次函数．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据一个不透明的口袋中有标号为1，2，3，4的四个小球，可知标号为奇数的有2个，再由概率公式求解即可；
（2）画出相应的树状图，得到从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵标号为1，2，3，4的四个小球中，标号为奇数的是1号和3号，
∴摸出一个球，摸到标号为奇数的概率为，
故答案为：；
（2）树状图如下所示，

共有12个等可能的结果，其中两球标号数字均为偶数的结果有2个，
∴从袋中不放回地摸两次，两球标号数字均为偶数的概率为．
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率，注意区分放回与不放回实验，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，根据垂直的定义得到∠ODA＋∠OAC＝90°，进而得到∠EDC＝∠ECD，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）根据勾股定理求出OE，求出OD，再根据勾股定理求出AD，证明△AOD∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可.

【详解】
（1）证明：连接，

∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）在中，，
∴，
在中，，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】
本题考查的是切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24．（1）：，：；（2）存在；M（3，-16），N（-3，-16）或M（-3，8），N（3，8）．
【分析】
（1）根据题意C1与C2关于y轴对称，即C1与C2的形状，开口大小和开口方向，和最大值都一样，而对称轴互为相反数，即可得C1、C2的表达式；
（2）令C1的纵坐标为0，可得A、B的横坐标，由AB中点坐标为（2，0），N在抛物线C1上，M在抛物线C2上，所以AB只能为平行四边形一边，由MN∥AB且MN=AB，可得MN=AB=6，设N（t，-t2+4t+5），M在x轴左半轴或在x轴右半轴，则M（t+6，-t2+4t+5）或（t-6，-t2+4t+5），当M（t-6，-t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t=3，即得M、N坐标，当M（t+6，-t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t=-3即得M、N坐标．
【详解】
解：（1）∵C1、C2关于y轴对称，
∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，
∴a=-1，
∴C2：y=ax2-4x+5，当x=0时，y=5，
∴C1：y=-x2+mx+n，当x=0时，y=n，
∴n=5，
∵a=-1，
∴C2的对称轴为x==-2，
故C1的对称轴为x==2，
得m=4，（对称轴关于y轴对称，则C1的对称轴为2），
∴C1：y=-x2+4x+5，C2：y=-x2-4x+5；
（2）∵AB的中点为（2，0），且点N在抛物线C1上，点M在抛物线C2上，
∴AB只能为平行四边形的一边，
∴MN∥AB且MN=AB，
C1：y=-x2+4x+5，
令y=0，得x2-4x-5=0，
解得x1=5，x2=-1，
∴A（-1，0），B（5，0），
则AB=5-（-1）=6，
∴MN=6，
设N（t，-t2+4t+5），则M（t+6，-t2+4t+5）或（t-6，-t2+4t+5），
①当M（t+6，-t2+4t+5）时，
则-（t+6）2-4（t+6）+5=-t2+4t+5，解得t=-3，
∴-t2+4t+5=-16，
∴N（-3，-16），M（3，-16）；
②当M（t-6，-t2+4t+5）时，
则-（t-6）2-4（t-6）+5=-t2+4t+5，解得t=3，
∴-t2+4t+5=8，
∴N（3，8），M（-3，8）；
综上可知存在满足条件的点M、N，其坐标为M（3，-16），N（-3，-16）或M（-3，8），N（3，8）．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质，平行四边形的性质，及解一元二次方程等．
25．（1）①作图见解析；9；②；（2）最小值是；答案见解析．
【分析】
（1）①作点P关于AB的对称点M，关于AC的对称点N，连接MN，交AB于点D，AC于点E，利用等边三角形的性质和轴对称的性质可求PM=PN=3，由直角三角形的性质可求解；
②先求NH，MH的值，由勾股定理可求解；
（2）过BC的中点P作AB，AC的对称点M，N，连接MN交AB与Q，交AC于R，则此时△PQR周长最小，求出MQ，RQ，RN即可解决问题．
【详解】
解：（1）①作点P关于的对称点M，关于的对称点N，连接，交于点D，于点E，连接交于J，连接，交于H，连接，交于点G，

∵是等边三角形，，
∴，，
∴，同法可得，
由对称的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②作点P关于的对称点M，关于的对称点N，连接，交于点D，于点E，则的周长的最小值即为线段的长，
如图2，过点M作直线于F，过点N作直线于G，过点M作于H，

∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴的周长的最小值为；
（2）过点P作，的对称点M，N，连接交于Q，交于R，
则，，
∴周长为，
∴当点P是的中点时，的周长最小，

∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
同理，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴周长的最小值是．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，解直角三角形，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．