初中22.3 实际问题与二次函数练习

课堂测试答案

1.【分析】首先由y=2x2﹣4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，所以CD=14﹣6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．

【解答】解：∵y=2x2﹣4x+8=2（x﹣1）2+6，

∴抛物线顶点D的坐标为（1，6），

∵AB=4，

∴B点的横坐标为x=3，

把x=3代入y=2x2﹣4x+8，得到y=14，

∴CD=14﹣6=8，

∴CE=CD+DE=8+3=11．

故选：B．

【点评】本题主要考查了数形结合求点的坐标，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．

2.【分析】先求出2014年下半年的产量为700（x+1）吨，再求出2015年上半年的产量为700（x+1）（2x+1）吨，进而求解即可．

【解答】解：由题意得，y=700（x+1）（2x+1），

整理得，y=1400x2+2100x+700．

故选：D．

【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．注意增产x倍，就是原来的（x+1）倍．

3.【分析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．

【解答】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）量，根据题意得出：

W=y1+y2=﹣x2+10x+2（15﹣x）=﹣x2+8x+30，

∴最大利润为：==46（万元），

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．

4.【分析】根据第6秒与第14秒时的高度相等，则在这两个时刻对应的位置关于抛物线的对称轴对称，进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：高度最高时的时间是：=10（秒）．

则第10秒时炮弹达到最大高度．

故答案为：10．

【点评】本题考查了二次函数的图象的应用，正确确定二次函数的抛物线的对称轴是本题的关键

5.【分析】令y=0，求出此时s的值，即可计算出足球落地时距离原来的位置的距离．

【解答】解：令y=0，则0=x﹣x2，

解得：x=0或50米，

所以足球落地时距离原来的位置的距离=50﹣0=50米．

故答案为：50米．

【点评】本题考查了二次函数的实际应用，难度不大，注意读懂题意是关键．

四、综合与探究

【分析】（1）解方程x﹣4=0得A（﹣3，0），B（4，0），计算自变量为0时的二次函数值得C点坐标；

（2）利用勾股定理计算出AC=5，利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x﹣4，则可设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），讨论：当CQ=CA时，则m2+（m﹣4+4）2=52，

当AQ=AC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52；当QA=QC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标；

（3）过点F作FG⊥PQ于点G，如图，由△OBC为等腰直角三角形．可判断△FQG为等腰直角三角形，则FG=QG=FQ，再证明△FGP～△AOC得到=，则PG=FQ，所以PQ=FQ，于是得到FQ=PQ，设P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），利用PQ=﹣m2+m得到FQ=（﹣m2+m），然后利用二次函数的性质解决问题．

【解答】解：（1）当y=0，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，

∴A（﹣3，0），B（4，0），

当x=0，y=x﹣4=﹣4，

∴C（0，﹣4）；

（2）AC==5，

易得直线BC的解析式为y=x﹣4，

设Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），

当CQ=CA时，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m1=，m2=﹣（舍去），此时Q点坐标为（，﹣4）；

当AQ=AC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此时Q点坐标为（1，﹣3）；

当QA=QC时，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m=（舍去），

综上所述，满足条件的Q点坐标为（，﹣4）或（1，﹣3）；

（3）解：过点F作FG⊥PQ于点G，如图，

则FG∥x轴．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC为等腰直角三角形

∴∠OBC=∠QFG=45                                                           

∴△FQG为等腰直角三角形，

∴FG=QG=FQ，

∵PE∥AC，PG∥CO，

∴∠FPG=∠ACO，

∵∠FGP=∠AOC=90°，

∴△FGP～△AOC．

∴=，即=，

∴PG=FG=•FQ=FQ，

∴PQ=PG+GQ=FQ+FQ=FQ，

∴FQ=PQ，

设P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），

∴PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+m，

∴FQ=（﹣m2+m）=﹣（m﹣2）2+

∵﹣＜0，

∴QF有最大值．

∴当m=2时，QF有最大值．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

课后巩固答案

一、选择题

1.【分析】根据总利润w=单件利润×销售量列出函数表达式，运用二次函数性质解答即可．

【解答】解：设利润为w，涨价x元，由题意得，每天利润为：

w=（2+x）（20﹣2x）．

=﹣2x2+16x+40，

=﹣2（x﹣4）2+72．

所以当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．

故选：D．

【点评】此题考查了二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出二次函数解析式．

2.【分析】2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．

【解答】解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y=100（1+x）2，

故选：B．

【点评】本题主要考查列二次函数解析式，得到2017年产量的等量关系是解决本题的关键．

3.【分析】根据表格中的数据和题意可以求得相应的函数解析式，从而可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．

【解答】解：设该抛物线的解析式为h=at2+bt+c，

，

解得，，

∴h=﹣t2+9t=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，h取得最大值，此时h=，故①错误，

该抛物线的对称轴是直线t=，故②正确，

当h=0时，得t=0或t=9，故③错误，

当t=7.5时，h=11.25，故④正确，

由上可得，不正确的是①③，

故选：B．

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．

4.【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．

【解答】解：把y=0代入y=﹣x2+x+得：

﹣x2+x+=0，

解之得：x1=10，x2=﹣2．

又x＞0，解得x=10．

故选：D．

【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度一般．

5.【分析】因为拱门是抛物线形，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题．

【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系（以CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立直角坐标系），

此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0），

设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），

∵抛物线经过点B（50，150），

可得 150=a（50﹣100）（50+100）．

解得 a=﹣，

∴y=﹣（x﹣100）（x+100）．

即 抛物线的解析式为y=﹣x2+200

顶点坐标是（0，200）

∴拱门的最大高度为200米，

故选：C．

【点评】此题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，数形结合，是一道基础题．

6.【分析】先利用待定系数求得函数解析式，再求出y=﹣3时x的值即可得出答案．

【解答】解：设抛物线的解析式为y=ax2，

将点A（﹣2，﹣2）代入解析式，得：﹣2=4a，

解得：a=﹣，

所以抛物线解析式为y=﹣x2，

当y=﹣3时，﹣x2=﹣3，

解得：x=±，

所以此时水面的宽为﹣（﹣）=2，

故选：C．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，将实际问题转化为函数问题的能力．

一、填空题

1.【分析】由小球高度h与运动时间t的关系式h=30t﹣5t2，令h=0，解得的两值之差便是所要求得的结果．

【解答】解：由小球高度h与运动时间t的关系式h=30t﹣5t2．

令h=0，﹣5t2+30t=0

解得：t1=0，t2=6

小球从抛出至回落到地面所需要的时间是6秒．

故答案为：6．

【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解解析式中h的实际意义及解一元二次方程的能力．

2.【分析】求出当x=﹣10时y的值即可得．

【解答】解：根据题意知，当x=﹣10时，y=﹣（x﹣80）2+16=﹣（﹣10﹣80）2+16=﹣4.25，

所以AC为4.25米，

故答案为：4.25．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握将实际问题转化为二次函数的问题求解的能力．

3.【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即S的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．

【解答】解：依题意：该函数关系式化简为S=﹣5（t﹣2）2+20，

当t=2时，汽车停下来，滑行了20m．

故惯性汽车要滑行20米．

【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．

4.【分析】（1）根据题意可以求得小球第3次着地时，经过的总路程；

（2）根据题意可以求得小球第n次着地时，经过的总路程．

【解答】解：（1）由题意可得，

小球第3次着地时，经过的总路程为：1+=2.5（m），

故答案为：2.5；

（2）由题意可得，小球第n次着地时，经过的总路程为：1+2[]=3﹣（）n﹣2，

故答案为：3﹣（）n﹣2．

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数的变化规律，注意每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．

5.【分析】用含x的代数式（12﹣3x）÷3=4﹣x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积

【解答】解：∵AB为x米，则AD==4﹣x，

S长方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

当x=2时，S取得最大值=4；

∴长方形框架ABCD的面积S最大为4m2．

故答案为：4．

【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值是解题的关键．

6.【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y值，然后与车高比较大小即可解答本题．

【解答】解：将x=2代入y=﹣x2+3.25，得

y=﹣×22+3.25=2.75，

∵2.75＜3，

∴该车不能通过隧道，

故答案为：不能．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

二、填空题

1.【分析】△BPQ的面积=BP×BQ，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可．

【解答】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t，

∴S=PB•BQ=PB•（BE+EQ）

=（6﹣t）（6+t）

=﹣t2+18，

∴S=﹣t2+18（0≤t＜6）．

【点评】解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑．

2.【分析】（1）利用每件利润×销量=12000，进而求出答案即可；

（2）利用每件利润×销量=总利润，进而求出最值即可；

（3）根据已知得出自变量x的取值范围，进而利用函数增减性得出答案．

【解答】解：（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元

则（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=12000﹣10x2+1300x﹣30000=12000，

解得：x1=60，x2=70，

答：玩具销售单价为60元或70元时，可获得12000元销售利润；

（2）设该种品牌玩具的销售单价为x元，销售该品牌玩具获得利润为w元

则w=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]

=﹣10x2+1300x﹣30000

=﹣10（x﹣65）2+12250

∵a=﹣10＜0    抛物线的开口向下，

∴当x=65时  W最大值=12250（元），

答：玩具销售单价定为65元时，商场获得的销售利润最大，最大利润是12250元；

（3）根据题意得

解得：46≤x≤50

w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250

∵a=﹣10＜0，对称轴x=65∴当46≤x≤50时，y随x增大而增大．

∴当x=50时，W最大值=10000（元），

答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为10000元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键．

3.【分析】根据题意可以建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式即可解答本题．

【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

此时，抛物线与 x 轴的交点为 C（﹣100，0），D（100，0），

设这条抛物线的解析式为 y=a（x﹣100）（x+100），

∵抛物线经过点 B（50，150），

∴150=a（50﹣100）（50+100），

解得，a=﹣，

∴y==，

∴当x=0时，y取得最大值，此时y=200，

即拱门的最大高度是200米．

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．

4.【分析】（1）经过t秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；

（2）利用勾股定理列出方程求解即可；

（3）结合（1）列出函数关系式，化成顶点是即可．

【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，

则列方程为：（5﹣t）×2t×=4，

解得t1=1，t2=4（舍），

答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；

（2）设x秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm，

列方程为：（5﹣x）2+（2x）2=52，

解得x1=0（舍），x2=2，

答：2秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm；

（3）设面积为Scm2，时间为t，则S=（5﹣t）×2t×=﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+，

所以当t=2.5时，面积最大．

【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积=4建立方程是关键．

5.【分析】（1）建立适当的坐标系，由待定系数法求出函数解析式，即可得出结果；

（2）利用已知得出x=2时，y的值，进而得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：

设函数解析式为y=ax2，B（3，﹣3），A（﹣3，﹣3），

把点B坐标代入得：9a=﹣3，

解得：a=﹣，

即y=﹣x2，

当y=﹣2时，﹣x2=﹣2，

解得：x=±，

故此时水面宽度为2．

（2）当x=2时，y=﹣，

因为船上货物最高点距拱顶1.5米，且|﹣|＜1.5，所以这艘船能从桥下通过．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及图象上点的坐标性质；建立适当的坐标系，根据题意确定点的坐标求出函数解析式是解题关键．

6.【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；

（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；

（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．

【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，

解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），

∴OA=1，OB=3

∵△OCA∽△OBC，

∴OC：OB=OA：OC，

∴OC2=OA•OB=3，

则OC=；

（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，

∴OC=BC，

∴点C的横坐标为，

又OC=，点C在x轴下方，

∴C（，﹣），

设直线BM的解析式为y=kx+b，

把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，

解得：b=﹣，k=，

∴y=x﹣，

又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，

解得：a=，

∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；

（3）点P存在，

设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，

则Q（x，x﹣），

∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，

当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，

S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，

当x=﹣=时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

四、综合与探究

1.如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．