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2020年江苏省徐州市中考数学试卷
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这是一份2020年江苏省徐州市中考数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）（2020•徐州）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．-13 D．13
2．（3分）（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
4．（3分）（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
5．（3分）（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2°C
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
6．（3分）（2020•徐州）下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）（2020•徐州）7的平方根是 ．
10．（3分）（2020•徐州）分解因式：m2﹣4＝ ．
11．（3分）（2020•徐州）若x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）（2020•徐州）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 ．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ ．
14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
15．（3分）（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为 ．
16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．
17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于 ．
18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（2020•徐州）计算：
（1）（﹣1）2020+|2-2|﹣（12）﹣1；
（2）（1-1a）÷a2-2a+12a-2．
20．（10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；
（2）解不等式组：3x-4＜52x-13＞x-22．
21．（7分）（2020•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到B组的概率是 ；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
22．（7分）（2020•徐州）某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
市民每天的阅读时间统计表
类别
A
B
C
D
阅读时间x（min）
0≤x＜30
30≤x＜60
60≤x＜90
x≥90
频数
450
400
m
50
根据以上信息解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 ，m＝ ；
（2）在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于 °；
（3）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人．
23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地
起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
实际收费
目的地
质量
费用（元）
上海
2
9
北京
3
22
求a，b的值．
25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
2020年江苏省徐州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）（2020•徐州）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．-13 D．13
【解答】解：根据相反数的含义，可得
3的相反数是：﹣3．
故选：A．
2．（3分）（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故选：C．
4．（3分）（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：x20=0.25，
解得x＝5，
∴袋子中红球的个数最有可能是5个，
故选：A．
5．（3分）（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2°C
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6，
处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；
出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；
平均数为：x=（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃，
极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃，
故选：B．
6．（3分）（2020•徐州）下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【解答】解：a2+2a2＝3a2，因此选项A不符合题意；
a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项C不符合题意；
（ab）2＝a2b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【解答】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
【解答】解：
法一：由题意得，
y=4xy=x-1，解得，x=1+172y=17-12或x=1-172y=-1-172（舍去），
∴点P（1+172，17-12），
即：a=1+172，b=17-12，
∴1a-1b=21+17-217-1=-14；
法二：由题意得，
函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴1a-1b=b-aab=-14；
故选：C．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）（2020•徐州）7的平方根是 ±7 ．
【解答】解：7的平方根是±7．
故答案为：±7．
10．（3分）（2020•徐州）分解因式：m2﹣4＝ （m+2）（m﹣2） ．
【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
11．（3分）（2020•徐州）若x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（3分）（2020•徐州）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 1.48×10﹣10 ．
【解答】解：0.000000000148＝1.48×10﹣10．
故答案为：1.48×10﹣10．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ 5 ．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，
∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE=12AC＝5．
故答案是：5．
14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 15π ．
【解答】解：由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3，
∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π．
故答案为：15π．
15．（3分）（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为 x＝9 ．
【解答】解：去分母得：
9（x﹣1）＝8x
9x﹣9＝8x
x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，
所以x＝9是原方程的解．
故答案为：x＝9．
16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 10 ．
【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数=360°36°=10，
故答案为：10．
17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于 219 ．
【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，
∴OA1＝A1A2，
∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，
∴B1A1∥B2A2，
∴B1A1=12A2B2，
∴A2B2＝2A1B1，
同法可得A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，…，
由此规律可得A20B20＝219•A1B1，
∵A1B1＝OA1•tan30°=3×33=1，
∴A20B20＝219，
故答案为219．
18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 92+9 ．
【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM=12AB=12×6=3，
∴OA=OM2+AM2=32，
∴CM＝OC+OM＝32+3，
∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．
故答案为：92+9．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（2020•徐州）计算：
（1）（﹣1）2020+|2-2|﹣（12）﹣1；
（2）（1-1a）÷a2-2a+12a-2．
【解答】解：（1）原式＝1+2-2-2＝1-2；
（2）原式=a-1a÷(a-1)22(a-1)
=a-1a•2a-1
=2a．
20．（10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；
（2）解不等式组：3x-4＜52x-13＞x-22．
【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1=32，x2＝1；
（2）3x-4＜5①2x-13＞x-22②
解不等式①，得x＜3．
解不等式②，得x＞﹣4．
则原不等式的解集为：﹣4＜x＜3．
21．（7分）（2020•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到B组的概率是 13 ；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【解答】解：（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到“B组”的概率为13；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）=39=13．
22．（7分）（2020•徐州）某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
市民每天的阅读时间统计表
类别
A
B
C
D
阅读时间x（min）
0≤x＜30
30≤x＜60
60≤x＜90
x≥90
频数
450
400
m
50
根据以上信息解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 1000 ，m＝ 100 ；
（2）在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于 144 °；
（3）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人．
【解答】解：（1）450÷45%＝1000，
m＝1000﹣（450+400+50）＝100．
故答案为：1000，100；
（2）360°×4001000=144°．
即在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于144°．
故答案为：144；
（3）600×100+501000=90（万人）．
答：估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有90万人．
23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ANC＝90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠A＝∠B，
∵∠ANC＝∠BNF，
∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，
∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．
24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地
起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
实际收费
目的地
质量
费用（元）
上海
2
9
北京
3
22
求a，b的值．
【解答】解：依题意，得：a+(2-1)b=9a+3+(3-1)(b+4)=22，
解得：a=7b=2．
答：a的值为7，b的值为2．
25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
【解答】解：作PN⊥BC于N，如图：
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM=22PM=22×30＝152（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝302m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ=33PN＝106m，PQ＝2NQ＝206≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （105-10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB=5-12×20＝（105-10）cm．
故答案为：（105-10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC=DE2+DC2=102+202=105，
∴EM＝105，
∴DM＝105+10，
∴tan∠DMC=DCDH=20105+10=25+1=5-12．
∴tan∠BCG=5-12，
即BGBC=5-12，
∴BGAB=5-12，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴AEBP=AFBF，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴AFBF=BFAB，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴AFBF=BFAB=AEBC，
∴AEBP=AEBC，
∴BP＝BC．
28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： （1，0） ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=-2a-2a=1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．
（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，∴AE=12DH，∵AE＝2，∴DH＝4，∵HE⊥DFEF＝ED，∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，
解得a=33或-33（不符合题意舍弃），
∴a=33．
当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，∴3a＝1，
∴a=13，
综上所述，满足条件的a的值为33或13．
（3）结论：EH∥GK．
理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），
∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，
由y=-3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=-1y=0或x=6y=-21a，
∴K（6，﹣21a），
由y=3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=2y=3a或x=-3y=-12a，
∴G（﹣3，﹣12a），
∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，
∵k相同，∴HE∥GK．
2020年江苏省徐州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）（2020•徐州）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．-13 D．13
2．（3分）（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
4．（3分）（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
5．（3分）（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2°C
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
6．（3分）（2020•徐州）下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）（2020•徐州）7的平方根是 ．
10．（3分）（2020•徐州）分解因式：m2﹣4＝ ．
11．（3分）（2020•徐州）若x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）（2020•徐州）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 ．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ ．
14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
15．（3分）（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为 ．
16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 ．
17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于 ．
18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（2020•徐州）计算：
（1）（﹣1）2020+|2-2|﹣（12）﹣1；
（2）（1-1a）÷a2-2a+12a-2．
20．（10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；
（2）解不等式组：3x-4＜52x-13＞x-22．
21．（7分）（2020•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到B组的概率是 ；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
22．（7分）（2020•徐州）某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
市民每天的阅读时间统计表
类别
A
B
C
D
阅读时间x（min）
0≤x＜30
30≤x＜60
60≤x＜90
x≥90
频数
450
400
m
50
根据以上信息解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 ，m＝ ；
（2）在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于 °；
（3）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人．
23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地
起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
实际收费
目的地
质量
费用（元）
上海
2
9
北京
3
22
求a，b的值．
25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
2020年江苏省徐州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）（2020•徐州）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．3 C．-13 D．13
【解答】解：根据相反数的含义，可得
3的相反数是：﹣3．
故选：A．
2．（3分）（2020•徐州）下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：
6﹣3＜x＜6+3，
解得：3＜x＜9，
故选：C．
4．（3分）（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．15
【解答】解：设袋子中红球有x个，
根据题意，得：x20=0.25，
解得x＝5，
∴袋子中红球的个数最有可能是5个，
故选：A．
5．（3分）（2020•徐州）小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是36.5℃ B．众数是36.2°C
C．平均数是36.2℃ D．极差是0.3℃
【解答】解：把小红连续5天的体温从小到大排列得，36.2，36.2，36.3.36.5，36.6，
处在中间位置的一个数是36.3℃，因此中位数是36.3℃；
出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃；
平均数为：x=（36.2+36.2+36.3+36.5+36.6）÷5＝36.36℃，
极差为：36.6﹣36.2＝0.4℃，
故选：B．
6．（3分）（2020•徐州）下列计算正确的是（ ）
A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a3＝a2
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）2＝a2b2
【解答】解：a2+2a2＝3a2，因此选项A不符合题意；
a6÷a3＝a6﹣3＝a3，因此选项B不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，因此选项C不符合题意；
（ab）2＝a2b2，因此选项D符合题意；
故选：D．
7．（3分）（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【解答】解：∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠APO＝∠BPC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝20°，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣20°＝70°．
故选：B．
8．（3分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式1a-1b的值为（ ）
A．-12 B．12 C．-14 D．14
【解答】解：
法一：由题意得，
y=4xy=x-1，解得，x=1+172y=17-12或x=1-172y=-1-172（舍去），
∴点P（1+172，17-12），
即：a=1+172，b=17-12，
∴1a-1b=21+17-217-1=-14；
法二：由题意得，
函数y=4x（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴1a-1b=b-aab=-14；
故选：C．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（3分）（2020•徐州）7的平方根是 ±7 ．
【解答】解：7的平方根是±7．
故答案为：±7．
10．（3分）（2020•徐州）分解因式：m2﹣4＝ （m+2）（m﹣2） ．
【解答】解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
11．（3分）（2020•徐州）若x-3在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．（3分）（2020•徐州）原子很小，1个氧原子的直径大约为0.000000000148m，将0.000000000148用科学记数法表示为 1.48×10﹣10 ．
【解答】解：0.000000000148＝1.48×10﹣10．
故答案为：1.48×10﹣10．
13．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝ 5 ．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，
∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE=12AC＝5．
故答案是：5．
14．（3分）（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 15π ．
【解答】解：由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3，
∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π．
故答案为：15π．
15．（3分）（2020•徐州）方程9x=8x-1的解为 x＝9 ．
【解答】解：去分母得：
9（x﹣1）＝8x
9x﹣9＝8x
x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，
所以x＝9是原方程的解．
故答案为：x＝9．
16．（3分）（2020•徐州）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为 10 ．
【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数=360°36°=10，
故答案为：10．
17．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于 219 ．
【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，
∴OA1＝A1A2，
∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，
∴B1A1∥B2A2，
∴B1A1=12A2B2，
∴A2B2＝2A1B1，
同法可得A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，…，
由此规律可得A20B20＝219•A1B1，
∵A1B1＝OA1•tan30°=3×33=1，
∴A20B20＝219，
故答案为219．
18．（3分）（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为 92+9 ．
【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM＝BM（垂径定理），
∴AC＝BC，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，
∴OM＝AM=12AB=12×6=3，
∴OA=OM2+AM2=32，
∴CM＝OC+OM＝32+3，
∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（32+3）＝92+9．
故答案为：92+9．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（2020•徐州）计算：
（1）（﹣1）2020+|2-2|﹣（12）﹣1；
（2）（1-1a）÷a2-2a+12a-2．
【解答】解：（1）原式＝1+2-2-2＝1-2；
（2）原式=a-1a÷(a-1)22(a-1)
=a-1a•2a-1
=2a．
20．（10分）（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；
（2）解不等式组：3x-4＜52x-13＞x-22．
【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1=32，x2＝1；
（2）3x-4＜5①2x-13＞x-22②
解不等式①，得x＜3．
解不等式②，得x＞﹣4．
则原不等式的解集为：﹣4＜x＜3．
21．（7分）（2020•徐州）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组（体温检测）、B组（便民代购）、C组（环境消杀）．
（1）小红的爸爸被分到B组的概率是 13 ；
（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）
【解答】解：（1）共有3种等可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，因此被分到“B组”的概率为13；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有9种等可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种，
∴P（他与小红爸爸在同一组）=39=13．
22．（7分）（2020•徐州）某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查．根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
市民每天的阅读时间统计表
类别
A
B
C
D
阅读时间x（min）
0≤x＜30
30≤x＜60
60≤x＜90
x≥90
频数
450
400
m
50
根据以上信息解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为 1000 ，m＝ 100 ；
（2）在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于 144 °；
（3）将每天阅读时间不低于60min的市民称为“阅读爱好者”．若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人．
【解答】解：（1）450÷45%＝1000，
m＝1000﹣（450+400+50）＝100．
故答案为：1000，100；
（2）360°×4001000=144°．
即在扇形统计图中，“B”对应扇形的圆心角等于144°．
故答案为：144；
（3）600×100+501000=90（万人）．
答：估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有90万人．
23．（8分）（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求∠AFD的度数．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ANC＝90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠A＝∠B，
∵∠ANC＝∠BNF，
∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，
∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．
24．（8分）（2020•徐州）本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费：寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地
起步价（元）
超过1千克的部分（元/千克）
上海
a
b
北京
a+3
b+4
实际收费
目的地
质量
费用（元）
上海
2
9
北京
3
22
求a，b的值．
【解答】解：依题意，得：a+(2-1)b=9a+3+(3-1)(b+4)=22，
解得：a=7b=2．
答：a的值为7，b的值为2．
25．（8分）（2020•徐州）小红和爸爸绕着小区广场锻炼．如图，在矩形广场ABCD边AB的中点M处有一座雕塑．在某一时刻，小红到达点P处，爸爸到达点Q处，此时雕塑在小红的南偏东45°方向，爸爸在小红的北偏东60°方向，若小红到雕塑的距离PM＝30m，求小红与爸爸的距离PQ．（结果精确到1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
【解答】解：作PN⊥BC于N，如图：
则四边形ABNP是矩形，
∴PN＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵∠APM＝45°，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AM=22PM=22×30＝152（m），
∵M是AB的中点，
∴PN＝AB＝2AM＝302m，
在Rt△PNQ中，∠NPQ＝90°﹣∠DPQ＝90°﹣60°＝30°，
∴NQ=33PN＝106m，PQ＝2NQ＝206≈49（m）；
答：小红与爸爸的距离PQ约为49m．
26．（8分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
27．（10分）（2020•徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果BCAB=ABAC，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为5-12．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （105-10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【解答】解：（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB=5-12×20＝（105-10）cm．
故答案为：（105-10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC=DE2+DC2=102+202=105，
∴EM＝105，
∴DM＝105+10，
∴tan∠DMC=DCDH=20105+10=25+1=5-12．
∴tan∠BCG=5-12，
即BGBC=5-12，
∴BGAB=5-12，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴AEBP=AFBF，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴AFBF=BFAB，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴AFBF=BFAB=AEBC，
∴AEBP=AEBC，
∴BP＝BC．
28．（10分）（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： （1，0） ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
【解答】解：（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x=-2a-2a=1，
∴E（1，0），
故答案为（1，0）．
（2）如图，连接EC．
对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a，
令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a），
∵C，D关于对称轴对称，
∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE，
当∠HEF＝90°时，
∵ED＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DCF＝90°，
∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF＝DE，
∵EA∥DH，
∴FA＝AH，∴AE=12DH，∵AE＝2，∴DH＝4，∵HE⊥DFEF＝ED，∴FH＝DH＝4，
在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2，
解得a=33或-33（不符合题意舍弃），
∴a=33．
当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE，∴FA＝FE，
∴OF＝OA＝OE＝1，∴3a＝1，
∴a=13，
综上所述，满足条件的a的值为33或13．
（3）结论：EH∥GK．
理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0），
∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a，
由y=-3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=-1y=0或x=6y=-21a，
∴K（6，﹣21a），
由y=3ax-3ay=-ax2+2ax+3a，解得x=2y=3a或x=-3y=-12a，
∴G（﹣3，﹣12a），
∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a，直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a，
∵k相同，∴HE∥GK．
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