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人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习知识点专练一元一次不等式知识点专练（含解析）
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这是一份人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习知识点专练一元一次不等式知识点专练（含解析），共42页。试卷主要包含了式子，下列说法错误的是，已知，下列式子不一定成立的是，若，则下列不等式正确的是，下列不等式变形中，一定正确的是等内容，欢迎下载使用。
专题05不等式与不等式组（含解析）
一．不等式的定义（共4小题）
1．铺设木地板时，每两块地板之间的缝隙不低于且不超过，缝隙的宽度可以是
A． B． C． D．
2．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是
A． B． C． D．
3．式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若是非负数，则用不等式表示正确的是
A． B． C． D．
二．不等式的性质（共5小题）
5．下列说法错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如果，，那么下列不等式中不成立的是
A． B． C． D．
7．已知，下列式子不一定成立的是
A． B． C． D．
8．若，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
9．下列不等式变形中，一定正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三．不等式的解集（共3小题）
10．已知关于的不等式的解都是不等式的解，则的范围是
A． B． C． D．
11．已知关于的不等式组有解，则的取值不可能是
A．0 B．1 C．2 D．
12．下列变形中不正确的是
A．由，得
B．若，则为有理数）
C．不等式的解一定是不等式的解
D．由得
四．在数轴上表示不等式的解集（共5小题）
13．如图，天平左盘中物体的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的取值范围在数轴上可表示为
A．
B．
C．
D．
14．若不等式组的解集为，则图中表示正确的是
A． B．
C． D．
15．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为
A． B． C． D．
16．解不等式组．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
17．利用数轴确定不等式组的解集．
五．一元一次不等式的定义（共4小题）
18．下列各式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
19．下列不等式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
20．下列不等式，是一元一次不等式的是
A． B．
C． D．
21．若是一元一次不等式，则 ．
六．解一元一次不等式（共4小题）
22．不等式的解集为
A． B． C． D．
23．如果，那么的取值范围是
A． B． C． D．
24．不等式的解集为 ．
25．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
七．一元一次不等式的整数解（共4小题）
26．不等式的正整数解的个数是
A．0个 B．4个 C．6个 D．7个
27．不等式的最大整数解是
A．0 B．1 C． D．2
28．不等式的正整数解为 ．
29．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共5小题）
30．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
31．某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55，现测得山脚下的气温为22，问该植物种在山上的哪一部分为宜如果设该植物种植在海拔高度为米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为
A． B．
C． D．
32．用不等式表示，是非负数 ．
33．的与12的差不小于6，用不等式表示为 ．
34．已知的与5的差不小于3，用不等式表示这一关系式为 ．
九．一元一次不等式的应用（共5小题）
35．某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则购买这两种票最少共需要
A．12120元 B．12140元 C．12160元 D．12200元
36．一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分，则小明至少答对的题数是
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
37．学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手，决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买30本甲种图书，50本乙种图书共需1350元；购买50本甲种图书，30本乙种图书共需1450元．
（1）求甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校要求购买甲、乙两种图书共40本，且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的，请设计最省钱的购书方案．
38．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
39．某口罩加工厂有、两组工人共150人，组工人每人每小时可加工口罩70只，组工人每人每小时可加工口罩50只，、两组工人每小时一共可加工口罩9300只．
（1）求、两组工人各多少人；
（2）由于疫情加重，、两组工人均提高了工作效率，一名组工人和一名组工人每小时共同可生产口罩200只，若、两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么组工人每人每小时至少加工多少只口罩？
一十．一元一次不等式组的定义（共1小题）
40．下面给出的不等式组中①②③④⑤，其中是一元一次不等式组的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
一十一．解一元一次不等式组（共4小题）
41．关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为
A． B． C． D．
42．解不等式组的解集为 ．
43．解不等式（组
（1）并写出不等式的负整数解：．
（2）解不等式．
（3）解不等式组．
44．解不等式组：．
一十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）
45．若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
46．解不等式组．并写出该不等式组的最小整数解．
47．解不等式组：，并写出它的非负整数解．
一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
48．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A．
B．
C．
D．
一十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）
49．2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进、两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元．
（1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，波波准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
50．某水果种植基地计划将120吨水果运往水果批发市场，现有，两种车型的箱式货车可供选择．这批水果若用5辆型货车和12辆型货车装运，则还可再装1吨；若用9辆型货车和9辆型货车装运，则其中有3吨水果无法装运．两种货车的运载（满载）能力和运费如表所示：
车型
运载量（吨辆）
运费（吨辆）
600
800
（1）求出表中，的值；
（2）现同时租用，两种货车，且所租货车均满载，将这批水果一次性运送到水果批发市场，那么怎样的租车方案使得运费最少并求出最少运费．
51．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产、两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元．
（1）按要求安排、两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
52．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂、两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，按此要求安排、两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．
专题05不等式与不等式组（含解析）
参考答案与试题解析
一．不等式的定义（共4小题）
1．铺设木地板时，每两块地板之间的缝隙不低于且不超过，缝隙的宽度可以是
A． B． C． D．
【分析】设缝隙的宽度为，列出不等式，判断即可．
【解答】解：设缝隙的宽度为，
根据题意得：，
则缝隙的宽度可以是．
故选：．
【点评】此题考查了不等式的定义，正确列出不等式是解本题的关键．
2．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是
A． B． C． D．
【分析】根据最高气温、最低气温，可得答案．
【解答】解：年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，
当天淮安气温的变化范围是，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的定义，利用了不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式．
3．式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可．
【解答】解：①是用“”连接的式子，是不等式；
②是用“”连接的式子，是不等式；
③是等式，不是不等式；
④没有不等号，不是不等式；
⑤是用“”连接的式子，是不等式；
不等式有①②⑤共3个，故选．
【点评】用到的知识点为：用“，，，，”连接的式子叫做不等式．
4．若是非负数，则用不等式表示正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据非负数的定义即可解决．
【解答】解：非负数即正数或0，即或等于0的数，则．故选．
【点评】本题主要考查了非负数的定义．
二．不等式的性质（共5小题）
5．下列说法错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意；
、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
6．如果，，那么下列不等式中不成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
7．已知，下列式子不一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：、在不等式的两边同时减去1，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，不等式的两边同时加上1，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等式不一定成立，即，或，或，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．若，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：，
，，，
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．下列不等式变形中，一定正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】利用不等式的性质和对进行判断；利用不等式的性质和对进行判断；利用不等式的性质对、进行判断．
【解答】解：、若，，所以，所以选项错误；
、若，，则不成立，所以选项错误；
、若，，则，所以选项正确；
、若，则，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
三．不等式的解集（共3小题）
10．已知关于的不等式的解都是不等式的解，则的范围是
A． B． C． D．
【分析】先把看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．
【解答】解：由得，，
由得，，
关于的不等式的解都是不等式的解，
，
解得．
即的取值范围是：．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出关于的不等式是解题的关键．
11．已知关于的不等式组有解，则的取值不可能是
A．0 B．1 C．2 D．
【分析】根据关于的不等式组有解，可得：，再根据有理数大小比较的方法，判断出的取值不可能是多少即可．
【解答】解：关于的不等式组有解，
，
，，，
的取值可能是0、1或，不可能是2．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的解集问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
12．下列变形中不正确的是
A．由，得
B．若，则为有理数）
C．不等式的解一定是不等式的解
D．由得
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：、，，原变形正确，故本选项不符合题意；
、，，原变形不正确，故本选项符合题意；
、不等式的解一定是不等式的解，原说法正确，故本选项不符合题意；
、，，原变形正确，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
四．在数轴上表示不等式的解集（共5小题）
13．如图，天平左盘中物体的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的取值范围在数轴上可表示为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据天平列出不等式组，确定出解集即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故选：．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
14．若不等式组的解集为，则图中表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用“”，“ ”表示，空心圆点不包括该点用“”，“ ”表示，大于向右小于向左．
【解答】解：不等式组的解集为在数轴表示和3以及两者之间的部分：
故选：．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
本题还可根据不等式解集可知的夹在两个数之间的，由此可排除，选．
15．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为
A． B． C． D．
【分析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就是不等式．这两个式子就组成的不等式组就满足条件．
【解答】解：根据数轴可得：，
不等式组的解集为：，
故选：．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
16．解不等式组．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得，依据是：不等式的基本性质．
（2）解不等式③，得．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：，
故答案为：（1）；（2）；（4）．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．利用数轴确定不等式组的解集．
【分析】先分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来，即可得出不等式组的解集．
【解答】解：
由①得
由②得
在数轴上表示不等式①、②的解集
不等式组的解集是．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：先分别解几个不等式，然后把它们的解集的公共部分作为原不等式的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的为空集”．也考查了利用数轴表示不等式的解集．
五．一元一次不等式的定义（共4小题）
18．下列各式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义进行选择即可．
【解答】解：、不含有未知数，错误；
、不是不等式，错误；
、符合一元一次不等式的定义，正确；
、分母含有未知数，是分式，错误．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：
①不等式的两边都是整式；
②只含1个未知数；
③未知数的最高次数为1次．
19．下列不等式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以
【解答】解：、含有2个未知数，故选项错误；
、不含未知数，故选项错误；
、正确；
、是2次，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0．
20．下列不等式，是一元一次不等式的是
A． B．
C． D．
【分析】先把各不等式进行化简，再根据一元一次不等式的定义进行选择即可．
【解答】解：、可化为，符合一元一次不等式的定义，正确；
、未知数的次数为2，错误；
、不含有未知数，错误；
、含有两个未知数，错误；
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：
①不等式的两边都是整式；
②只含1个未知数；
③未知数的最高次数为1次．
21．若是一元一次不等式，则 1 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义，，求解即可．
【解答】解：根据题意，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件．
六．解一元一次不等式（共4小题）
22．不等式的解集为
A． B． C． D．
【分析】直接利用一元一次不等式的解法得出答案．
【解答】解：
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确掌握解题步骤是解题关键．
23．如果，那么的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号．若等于0，可直接去绝对值；若，去绝对值时原式要乘以．由此可得，再解此不等式即可．
【解答】解：，
，即．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值和不等式的性质．含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号．若等于0，可直接去绝对值；若，去绝对值时原式要乘以．
24．不等式的解集为 ．
【分析】直接利用不等式的解法进而得出答案．
【解答】解：
移项得：，
合并同类项：，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确掌握解题方法是解题关键．
25．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化成1，得，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的基本性质求出不等式的解集，难度适中．
七．一元一次不等式的整数解（共4小题）
26．不等式的正整数解的个数是
A．0个 B．4个 C．6个 D．7个
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解．
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故不等式的正整数解有1、2、3、4，5，6这6个，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
27．不等式的最大整数解是
A．0 B．1 C． D．2
【分析】解不等式求得的范围，再该范围内可得其最大整数解．
【解答】解：移项、合并，得：，
系数化为1，得：，
不等式的最大整数解为2，
故选：．
【点评】本题主要考查解不等式的能力，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
28．不等式的正整数解为 1，2，3 ．
【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：不等式的解集是，因而不等式的正整数解为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
【点评】正确解不等式，求出解集是解诀本题的关键．
解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
29．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把化系数为1即可求出的取值范围，再在数轴上表示出不等式的解集，找出符合条件的的非负整数解即可．
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
则不等式的解集可表示如图：
，
其所有负整数解为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示一元一次不等式的解集，在解答此类问题时要注意实心圆点与空心圆点的区别．
八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共5小题）
30．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
【分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【解答】解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够；
故选：．
【点评】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
31．某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55，现测得山脚下的气温为22，问该植物种在山上的哪一部分为宜如果设该植物种植在海拔高度为米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为
A． B．
C． D．
【分析】每升高100米，气温下降0.55，那么每升高1米，气温下降米；海拔为米，则升高了米，气温就在22的基础上下降了，而温度适宜的范围是．
【解答】解：根据题意，得
．故选．
【点评】本题的关键在于逐步分析题意，能够正确书写连不等式．
32．用不等式表示，是非负数 ．
【分析】非负数即正数和0，据此列不等式．
【解答】解：由题意得．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解题的关键．
33．的与12的差不小于6，用不等式表示为 ．
【分析】理解：差不小于6，即是最后算的差应大于或等于6．
【解答】解：根据题意，得．
故答案为：．
【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
34．已知的与5的差不小于3，用不等式表示这一关系式为 ．
【分析】理解：不等关系，即差不小于3；不小于，即是大于或等于．
【解答】解：根据题意，得．
【点评】抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
九．一元一次不等式的应用（共5小题）
35．某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则购买这两种票最少共需要
A．12120元 B．12140元 C．12160元 D．12200元
【分析】设票价为60元的票数为张，票价为100元的票数为张，根据题意可列出，当购买的60元的票越多，花钱就越少，从而可求解．
【解答】解：设票价为60元的票数为张，票价为100元的票数为张，故
可得：
由题意可知：，为正整数，故，，
购买这两种票最少需要．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题意列出不等式关系式，本题关键是要知道当购买的60元的票越多，花钱就越少即可求解．
36．一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分，则小明至少答对的题数是
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【分析】设小明至少答对的题数是道，答错的为道，根据总分才不会低于60分，这个不等量关系可列出不等式求解．
【解答】解：设小明至少答对的题数是道，
，
，
为整数，
，
故选：．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出相应的题目数，以得分做为不等量关系列不等式求解．
37．学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手，决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买30本甲种图书，50本乙种图书共需1350元；购买50本甲种图书，30本乙种图书共需1450元．
（1）求甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校要求购买甲、乙两种图书共40本，且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的，请设计最省钱的购书方案．
【分析】（1）首先设甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元，由题意得等量关系：30本甲种图书的花费本乙种图书的花费元；50本甲种图书的花费本乙种图书的花费元，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，由题意得不等关系：甲种图书的数量乙种图书数量的，然后列出不等式，再求解即可．
【解答】解：（1）设甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元，由题意得：
，
解得：，
答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元；
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，
由题意得：，
解得：，
甲种图书价格高，
省钱的购书方案是少买甲图书，多买乙种图书，
为整数，
的最小整数解为18，
则，
答：最省钱的购书方案是购买甲种图书18本，购买乙种图书22本．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系．
38．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【分析】（1）可设甲种商品的销售单价元，乙种商品的销售单价元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种商品万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价是元，乙种商品的单价为元．
根据题意得：．
解得：．
答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元．
（2）设销售甲产品万件，则销售乙产品万件．
根据题意得：．
解得：．
答：至少销售甲产品2万件．
【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
39．某口罩加工厂有、两组工人共150人，组工人每人每小时可加工口罩70只，组工人每人每小时可加工口罩50只，、两组工人每小时一共可加工口罩9300只．
（1）求、两组工人各多少人；
（2）由于疫情加重，、两组工人均提高了工作效率，一名组工人和一名组工人每小时共同可生产口罩200只，若、两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么组工人每人每小时至少加工多少只口罩？
【分析】（1）设组工人有人、组工人有人，根据题意列方程健康得到结论；
（2）设组工人每人每小时加工只口罩，则组工人每人每小时加工只口罩；根据题意列不等式健康得到结论．
【解答】解：（1）设组工人有人、组工人有人，
根据题意得，，
解得：，，
答：组工人有90人、组工人有60人；
（2）设组工人每人每小时加工只口罩，则组工人每人每小时加工只口罩；
根据题意得，，
解得：，
答：组工人每人每小时至少加工100只口罩．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
一十．一元一次不等式组的定义（共1小题）
40．下面给出的不等式组中①②③④⑤，其中是一元一次不等式组的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案．
【解答】解：①是一元一次不等式组，故①正确；
②是一元一次不等式组，故②正确；
③是一元二次不等式组，故③错误；
④是一元一次不等式组，故④正确；
⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
一十一．解一元一次不等式组（共4小题）
41．关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】先解不等式得到，再根据，由不等式组解集的规律即可得解．
【解答】解：解不等式得到，
关于的不等式组的解集为，
．
故选：．
【点评】考查了解一元一次不等式组，关键是熟悉不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
42．解不等式组的解集为 ．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
故原不等式组的解集为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
43．解不等式（组
（1）并写出不等式的负整数解：．
（2）解不等式．
（3）解不等式组．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法，可以求得的解集，然后即可写出它的负整数解；
（2）根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集；
（3）先求出各个不等式的解集，然后取它们的共公部分，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
移项及合并同类项，得
，
系数化为1，得
，
该不等式的负整数解是，；
（2），
去分母，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
；
（3），
解不等式①，得
，
解不等式②，得
，
故原不等式组的解集为．
【点评】本题考查解一元一次不等式（组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组的方法．
44．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
一十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）
45．若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式组恰有两个整数解，可以求得的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：不等式组，
该不等式组的解集为，
不等式组恰恰有两个整数解，
，
．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．
46．解不等式组．并写出该不等式组的最小整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出最小整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的最小整数解是．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
47．解不等式组：，并写出它的非负整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出非负整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的非负整数解是0，1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
48．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A．
B．
C．
D．
【分析】不到8棵意思是植树棵树在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵树位同学植树的棵树，植树的总棵树位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．
【解答】解：位同学植树棵树为，
有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为棵，
可列不等式组为：，
即．
故选：．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵树和预计植树棵树之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数不到8棵”是解决本题的突破点．
一十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）
49．2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进、两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元．
（1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，波波准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，根据“2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，根据“购进型风扇不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，
依题意，得：，
解得：．
答：型风扇进货的单价是10元，型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
可以取72、73、74、75，
波波共有4种进货方案，
方案1：购进型风扇72台，型风扇28台；
方案2：购进型风扇73台，型风扇27台；
方案3：购进型风扇74台，型风扇26台；
方案4：购进型风扇75台，型风扇25台．
型风扇进货的单价大于型风扇进货的单价，
方案4：购进型风扇75台，型风扇25台的费用最低，
最低费用为元．
答：波波共有4种进货方案，方案4：购进型风扇75台，型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组二以及元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
50．某水果种植基地计划将120吨水果运往水果批发市场，现有，两种车型的箱式货车可供选择．这批水果若用5辆型货车和12辆型货车装运，则还可再装1吨；若用9辆型货车和9辆型货车装运，则其中有3吨水果无法装运．两种货车的运载（满载）能力和运费如表所示：
车型
运载量（吨辆）
运费（吨辆）
600
800
（1）求出表中，的值；
（2）现同时租用，两种货车，且所租货车均满载，将这批水果一次性运送到水果批发市场，那么怎样的租车方案使得运费最少并求出最少运费．
【分析】（1）由题意列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设租用货车辆，租用货车辆列出，的关系式，根据，都是正整数进行讨论即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：，的值分别是5和8．
（2）设租用货车辆，租用货车辆，则，且、都是正整数，
根据题意得：，
，且、都是正整数，
，或，，
当，时，运费为：（元，
当，时，运费为：（元，
运费最少为12800元，
租用货车8辆，租用货车10辆，运费最少为12800元．
答：租用货车8辆，租用货车10辆，运费最少为12800元．
【点评】本题考查二元一次方程组和二元一次不等式的应用，关键是根据题意找出等量关系．
51．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产、两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元．
（1）按要求安排、两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，根据生产50套童装所需甲种布料不超过38米、乙种布料不超过26米，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各生产方案；
（2）利用总利润每套的利润生产数量，即可得出各生产方案获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取18，19，20，
共有3种生产方案，
方案1：生产18套型号的童装，32套型号的童装；
方案2：生产19套型号的童装，31套型号的童装；
方案3：生产20套型号的童装，30套型号的童装．
（2）方案1获得的总利润为（元；
方案2获得的总利润为（元；
方案3获得的总利润为（元．
，
方案3获得的总利润最大，最大利润是1900元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）利用总利润每套的利润生产数量，分别求出各生产方案可获得的总利润．
52．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂、两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，按此要求安排、两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．
【分析】设用型货厢节，则用型货厢节，则可得：解不等式组即可．
【解答】解：设用型货厢节，则用型货厢节，由题意，得：
解得．
因为为整数，所以只能取28，29，30．
相应地的值为22，21，20．
所以共有三种调运方案：
第一种调运方案：用型货厢28节，型货厢22节；
第二种调运方案：用型货厢29节，型货厢21节；
第三种调运方案：用型货厢30节，用型货厢20节．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
4．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
5．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
6．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
7．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
8．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
9．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
10．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
11．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
12．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
13．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
14．一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
18．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
专题05不等式与不等式组（含解析）
一．不等式的定义（共4小题）
1．铺设木地板时，每两块地板之间的缝隙不低于且不超过，缝隙的宽度可以是
A． B． C． D．
2．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是
A． B． C． D．
3．式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若是非负数，则用不等式表示正确的是
A． B． C． D．
二．不等式的性质（共5小题）
5．下列说法错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如果，，那么下列不等式中不成立的是
A． B． C． D．
7．已知，下列式子不一定成立的是
A． B． C． D．
8．若，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
9．下列不等式变形中，一定正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三．不等式的解集（共3小题）
10．已知关于的不等式的解都是不等式的解，则的范围是
A． B． C． D．
11．已知关于的不等式组有解，则的取值不可能是
A．0 B．1 C．2 D．
12．下列变形中不正确的是
A．由，得
B．若，则为有理数）
C．不等式的解一定是不等式的解
D．由得
四．在数轴上表示不等式的解集（共5小题）
13．如图，天平左盘中物体的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的取值范围在数轴上可表示为
A．
B．
C．
D．
14．若不等式组的解集为，则图中表示正确的是
A． B．
C． D．
15．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为
A． B． C． D．
16．解不等式组．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
17．利用数轴确定不等式组的解集．
五．一元一次不等式的定义（共4小题）
18．下列各式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
19．下列不等式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
20．下列不等式，是一元一次不等式的是
A． B．
C． D．
21．若是一元一次不等式，则 ．
六．解一元一次不等式（共4小题）
22．不等式的解集为
A． B． C． D．
23．如果，那么的取值范围是
A． B． C． D．
24．不等式的解集为 ．
25．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
七．一元一次不等式的整数解（共4小题）
26．不等式的正整数解的个数是
A．0个 B．4个 C．6个 D．7个
27．不等式的最大整数解是
A．0 B．1 C． D．2
28．不等式的正整数解为 ．
29．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共5小题）
30．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
31．某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55，现测得山脚下的气温为22，问该植物种在山上的哪一部分为宜如果设该植物种植在海拔高度为米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为
A． B．
C． D．
32．用不等式表示，是非负数 ．
33．的与12的差不小于6，用不等式表示为 ．
34．已知的与5的差不小于3，用不等式表示这一关系式为 ．
九．一元一次不等式的应用（共5小题）
35．某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则购买这两种票最少共需要
A．12120元 B．12140元 C．12160元 D．12200元
36．一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分，则小明至少答对的题数是
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
37．学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手，决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买30本甲种图书，50本乙种图书共需1350元；购买50本甲种图书，30本乙种图书共需1450元．
（1）求甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校要求购买甲、乙两种图书共40本，且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的，请设计最省钱的购书方案．
38．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
39．某口罩加工厂有、两组工人共150人，组工人每人每小时可加工口罩70只，组工人每人每小时可加工口罩50只，、两组工人每小时一共可加工口罩9300只．
（1）求、两组工人各多少人；
（2）由于疫情加重，、两组工人均提高了工作效率，一名组工人和一名组工人每小时共同可生产口罩200只，若、两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么组工人每人每小时至少加工多少只口罩？
一十．一元一次不等式组的定义（共1小题）
40．下面给出的不等式组中①②③④⑤，其中是一元一次不等式组的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
一十一．解一元一次不等式组（共4小题）
41．关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为
A． B． C． D．
42．解不等式组的解集为 ．
43．解不等式（组
（1）并写出不等式的负整数解：．
（2）解不等式．
（3）解不等式组．
44．解不等式组：．
一十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）
45．若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
46．解不等式组．并写出该不等式组的最小整数解．
47．解不等式组：，并写出它的非负整数解．
一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
48．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A．
B．
C．
D．
一十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）
49．2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进、两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元．
（1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，波波准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
50．某水果种植基地计划将120吨水果运往水果批发市场，现有，两种车型的箱式货车可供选择．这批水果若用5辆型货车和12辆型货车装运，则还可再装1吨；若用9辆型货车和9辆型货车装运，则其中有3吨水果无法装运．两种货车的运载（满载）能力和运费如表所示：
车型
运载量（吨辆）
运费（吨辆）
600
800
（1）求出表中，的值；
（2）现同时租用，两种货车，且所租货车均满载，将这批水果一次性运送到水果批发市场，那么怎样的租车方案使得运费最少并求出最少运费．
51．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产、两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元．
（1）按要求安排、两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
52．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂、两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，按此要求安排、两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．
专题05不等式与不等式组（含解析）
参考答案与试题解析
一．不等式的定义（共4小题）
1．铺设木地板时，每两块地板之间的缝隙不低于且不超过，缝隙的宽度可以是
A． B． C． D．
【分析】设缝隙的宽度为，列出不等式，判断即可．
【解答】解：设缝隙的宽度为，
根据题意得：，
则缝隙的宽度可以是．
故选：．
【点评】此题考查了不等式的定义，正确列出不等式是解本题的关键．
2．据淮安日报报道，2013年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，则当天淮安气温的变化范围是
A． B． C． D．
【分析】根据最高气温、最低气温，可得答案．
【解答】解：年5月28日淮安最高气温是，最低气温是，
当天淮安气温的变化范围是，
故选：．
【点评】本题考查了不等式的定义，利用了不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式．
3．式子：①；②；③；④；⑤．其中不等式有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】找到用不等号连接的式子的个数即可．
【解答】解：①是用“”连接的式子，是不等式；
②是用“”连接的式子，是不等式；
③是等式，不是不等式；
④没有不等号，不是不等式；
⑤是用“”连接的式子，是不等式；
不等式有①②⑤共3个，故选．
【点评】用到的知识点为：用“，，，，”连接的式子叫做不等式．
4．若是非负数，则用不等式表示正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据非负数的定义即可解决．
【解答】解：非负数即正数或0，即或等于0的数，则．故选．
【点评】本题主要考查了非负数的定义．
二．不等式的性质（共5小题）
5．下列说法错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意；
、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
6．如果，，那么下列不等式中不成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【解答】解：、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形正确，故此选项不符合题意；
、由，得到：，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
7．已知，下列式子不一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的基本性质进行判断．
【解答】解：、在不等式的两边同时减去1，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，不等式的两边同时加上1，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项不符合题意；
、在不等式的两边同时乘以，不等式不一定成立，即，或，或，原变形不正确，故此选项符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
8．若，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：，
，，，
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．下列不等式变形中，一定正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【分析】利用不等式的性质和对进行判断；利用不等式的性质和对进行判断；利用不等式的性质对、进行判断．
【解答】解：、若，，所以，所以选项错误；
、若，，则不成立，所以选项错误；
、若，，则，所以选项正确；
、若，则，所以选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
三．不等式的解集（共3小题）
10．已知关于的不等式的解都是不等式的解，则的范围是
A． B． C． D．
【分析】先把看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．
【解答】解：由得，，
由得，，
关于的不等式的解都是不等式的解，
，
解得．
即的取值范围是：．
故选：．
【点评】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出关于的不等式是解题的关键．
11．已知关于的不等式组有解，则的取值不可能是
A．0 B．1 C．2 D．
【分析】根据关于的不等式组有解，可得：，再根据有理数大小比较的方法，判断出的取值不可能是多少即可．
【解答】解：关于的不等式组有解，
，
，，，
的取值可能是0、1或，不可能是2．
故选：．
【点评】此题主要考查了不等式的解集问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
12．下列变形中不正确的是
A．由，得
B．若，则为有理数）
C．不等式的解一定是不等式的解
D．由得
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：、，，原变形正确，故本选项不符合题意；
、，，原变形不正确，故本选项符合题意；
、不等式的解一定是不等式的解，原说法正确，故本选项不符合题意；
、，，原变形正确，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
四．在数轴上表示不等式的解集（共5小题）
13．如图，天平左盘中物体的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是，则的取值范围在数轴上可表示为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据天平列出不等式组，确定出解集即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故选：．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
14．若不等式组的解集为，则图中表示正确的是
A． B．
C． D．
【分析】本题可根据数轴的性质画出数轴：实心圆点包括该点用“”，“ ”表示，空心圆点不包括该点用“”，“ ”表示，大于向右小于向左．
【解答】解：不等式组的解集为在数轴表示和3以及两者之间的部分：
故选：．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
本题还可根据不等式解集可知的夹在两个数之间的，由此可排除，选．
15．一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集为
A． B． C． D．
【分析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就是不等式．这两个式子就组成的不等式组就满足条件．
【解答】解：根据数轴可得：，
不等式组的解集为：，
故选：．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
16．解不等式组．
请结合题意，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式③，得 ．
（3）把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）解不等式①，得，依据是：不等式的基本性质．
（2）解不等式③，得．
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来．
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：，
故答案为：（1）；（2）；（4）．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．利用数轴确定不等式组的解集．
【分析】先分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来，即可得出不等式组的解集．
【解答】解：
由①得
由②得
在数轴上表示不等式①、②的解集
不等式组的解集是．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：先分别解几个不等式，然后把它们的解集的公共部分作为原不等式的解集；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的为空集”．也考查了利用数轴表示不等式的解集．
五．一元一次不等式的定义（共4小题）
18．下列各式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义进行选择即可．
【解答】解：、不含有未知数，错误；
、不是不等式，错误；
、符合一元一次不等式的定义，正确；
、分母含有未知数，是分式，错误．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：
①不等式的两边都是整式；
②只含1个未知数；
③未知数的最高次数为1次．
19．下列不等式中，是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以
【解答】解：、含有2个未知数，故选项错误；
、不含未知数，故选项错误；
、正确；
、是2次，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，本题还要注意未知数的系数不能是0．
20．下列不等式，是一元一次不等式的是
A． B．
C． D．
【分析】先把各不等式进行化简，再根据一元一次不等式的定义进行选择即可．
【解答】解：、可化为，符合一元一次不等式的定义，正确；
、未知数的次数为2，错误；
、不含有未知数，错误；
、含有两个未知数，错误；
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式的识别，注意理解一元一次不等式的三个特点：
①不等式的两边都是整式；
②只含1个未知数；
③未知数的最高次数为1次．
21．若是一元一次不等式，则 1 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义，，求解即可．
【解答】解：根据题意，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件．
六．解一元一次不等式（共4小题）
22．不等式的解集为
A． B． C． D．
【分析】直接利用一元一次不等式的解法得出答案．
【解答】解：
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确掌握解题步骤是解题关键．
23．如果，那么的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号．若等于0，可直接去绝对值；若，去绝对值时原式要乘以．由此可得，再解此不等式即可．
【解答】解：，
，即．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值和不等式的性质．含绝对值的式子，在去绝对值时要考虑式子的符号．若等于0，可直接去绝对值；若，去绝对值时原式要乘以．
24．不等式的解集为 ．
【分析】直接利用不等式的解法进而得出答案．
【解答】解：
移项得：，
合并同类项：，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确掌握解题方法是解题关键．
25．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化成1，得，
在数轴上表示不等式的解集为：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的基本性质求出不等式的解集，难度适中．
七．一元一次不等式的整数解（共4小题）
26．不等式的正整数解的个数是
A．0个 B．4个 C．6个 D．7个
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，即可得其正整数解．
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故不等式的正整数解有1、2、3、4，5，6这6个，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
27．不等式的最大整数解是
A．0 B．1 C． D．2
【分析】解不等式求得的范围，再该范围内可得其最大整数解．
【解答】解：移项、合并，得：，
系数化为1，得：，
不等式的最大整数解为2，
故选：．
【点评】本题主要考查解不等式的能力，解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
28．不等式的正整数解为 1，2，3 ．
【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：不等式的解集是，因而不等式的正整数解为1，2，3．
故答案为：1，2，3．
【点评】正确解不等式，求出解集是解诀本题的关键．
解不等式要用到不等式的性质：
（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
29．解不等式，把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的负整数解．
【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把化系数为1即可求出的取值范围，再在数轴上表示出不等式的解集，找出符合条件的的非负整数解即可．
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
则不等式的解集可表示如图：
，
其所有负整数解为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示一元一次不等式的解集，在解答此类问题时要注意实心圆点与空心圆点的区别．
八．由实际问题抽象出一元一次不等式（共5小题）
30．把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有名同学，可列不等式，则横线上的信息可以是
A．每人分7本，则可多分9个人
B．每人分7本，则剩余9本
C．每人分9本，则剩余7本
D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
【分析】根据不等式表示的意义解答即可．
【解答】解：由不等式，可得：把一些书分给几名同学，若每人分9本，则剩余7本；若每人分11本，则不够；
故选：．
【点评】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
31．某种植物适宜生长温度为的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0.55，现测得山脚下的气温为22，问该植物种在山上的哪一部分为宜如果设该植物种植在海拔高度为米的山区较适宜，则由题意可列出的不等式组为
A． B．
C． D．
【分析】每升高100米，气温下降0.55，那么每升高1米，气温下降米；海拔为米，则升高了米，气温就在22的基础上下降了，而温度适宜的范围是．
【解答】解：根据题意，得
．故选．
【点评】本题的关键在于逐步分析题意，能够正确书写连不等式．
32．用不等式表示，是非负数 ．
【分析】非负数即正数和0，据此列不等式．
【解答】解：由题意得．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是解题的关键．
33．的与12的差不小于6，用不等式表示为 ．
【分析】理解：差不小于6，即是最后算的差应大于或等于6．
【解答】解：根据题意，得．
故答案为：．
【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
34．已知的与5的差不小于3，用不等式表示这一关系式为 ．
【分析】理解：不等关系，即差不小于3；不小于，即是大于或等于．
【解答】解：根据题意，得．
【点评】抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
九．一元一次不等式的应用（共5小题）
35．某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则购买这两种票最少共需要
A．12120元 B．12140元 C．12160元 D．12200元
【分析】设票价为60元的票数为张，票价为100元的票数为张，根据题意可列出，当购买的60元的票越多，花钱就越少，从而可求解．
【解答】解：设票价为60元的票数为张，票价为100元的票数为张，故
可得：
由题意可知：，为正整数，故，，
购买这两种票最少需要．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题意列出不等式关系式，本题关键是要知道当购买的60元的票越多，花钱就越少即可求解．
36．一次智力测验，有20道选择题．评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有两道题未答，至少答对几道题，总分才不会低于60分，则小明至少答对的题数是
A．14道 B．13道 C．12道 D．11道
【分析】设小明至少答对的题数是道，答错的为道，根据总分才不会低于60分，这个不等量关系可列出不等式求解．
【解答】解：设小明至少答对的题数是道，
，
，
为整数，
，
故选：．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出相应的题目数，以得分做为不等量关系列不等式求解．
37．学校为表彰在“了不起我的国”演讲比赛中获奖的选手，决定购买甲、乙两种图书作为奖品．已知购买30本甲种图书，50本乙种图书共需1350元；购买50本甲种图书，30本乙种图书共需1450元．
（1）求甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校要求购买甲、乙两种图书共40本，且甲种图书的数量不少于乙种图书数量的，请设计最省钱的购书方案．
【分析】（1）首先设甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元，由题意得等量关系：30本甲种图书的花费本乙种图书的花费元；50本甲种图书的花费本乙种图书的花费元，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，由题意得不等关系：甲种图书的数量乙种图书数量的，然后列出不等式，再求解即可．
【解答】解：（1）设甲种图书的单价为元，乙种图书的单价为元，由题意得：
，
解得：，
答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元；
（2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，
由题意得：，
解得：，
甲种图书价格高，
省钱的购书方案是少买甲图书，多买乙种图书，
为整数，
的最小整数解为18，
则，
答：最省钱的购书方案是购买甲种图书18本，购买乙种图书22本．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系．
38．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【分析】（1）可设甲种商品的销售单价元，乙种商品的销售单价元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；
（2）可设销售甲种商品万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种商品的销售单价是元，乙种商品的单价为元．
根据题意得：．
解得：．
答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元．
（2）设销售甲产品万件，则销售乙产品万件．
根据题意得：．
解得：．
答：至少销售甲产品2万件．
【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．
39．某口罩加工厂有、两组工人共150人，组工人每人每小时可加工口罩70只，组工人每人每小时可加工口罩50只，、两组工人每小时一共可加工口罩9300只．
（1）求、两组工人各多少人；
（2）由于疫情加重，、两组工人均提高了工作效率，一名组工人和一名组工人每小时共同可生产口罩200只，若、两组工人每小时至少加工15000只口罩，那么组工人每人每小时至少加工多少只口罩？
【分析】（1）设组工人有人、组工人有人，根据题意列方程健康得到结论；
（2）设组工人每人每小时加工只口罩，则组工人每人每小时加工只口罩；根据题意列不等式健康得到结论．
【解答】解：（1）设组工人有人、组工人有人，
根据题意得，，
解得：，，
答：组工人有90人、组工人有60人；
（2）设组工人每人每小时加工只口罩，则组工人每人每小时加工只口罩；
根据题意得，，
解得：，
答：组工人每人每小时至少加工100只口罩．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
一十．一元一次不等式组的定义（共1小题）
40．下面给出的不等式组中①②③④⑤，其中是一元一次不等式组的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据两个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1次的，可得答案．
【解答】解：①是一元一次不等式组，故①正确；
②是一元一次不等式组，故②正确；
③是一元二次不等式组，故③错误；
④是一元一次不等式组，故④正确；
⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；
故选：．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
一十一．解一元一次不等式组（共4小题）
41．关于的不等式组的解集为，那么的取值范围为
A． B． C． D．
【分析】先解不等式得到，再根据，由不等式组解集的规律即可得解．
【解答】解：解不等式得到，
关于的不等式组的解集为，
．
故选：．
【点评】考查了解一元一次不等式组，关键是熟悉不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
42．解不等式组的解集为 ．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：，
由①得，，
由②得，，
故原不等式组的解集为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
43．解不等式（组
（1）并写出不等式的负整数解：．
（2）解不等式．
（3）解不等式组．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法，可以求得的解集，然后即可写出它的负整数解；
（2）根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集；
（3）先求出各个不等式的解集，然后取它们的共公部分，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1），
移项及合并同类项，得
，
系数化为1，得
，
该不等式的负整数解是，；
（2），
去分母，得
，
去括号，得
，
移项及合并同类项，得
；
（3），
解不等式①，得
，
解不等式②，得
，
故原不等式组的解集为．
【点评】本题考查解一元一次不等式（组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组的方法．
44．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
一十二．一元一次不等式组的整数解（共3小题）
45．若不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】根据不等式组恰有两个整数解，可以求得的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：不等式组，
该不等式组的解集为，
不等式组恰恰有两个整数解，
，
．
故选：．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．
46．解不等式组．并写出该不等式组的最小整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出最小整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的最小整数解是．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
47．解不等式组：，并写出它的非负整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出非负整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的非负整数解是0，1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
一十三．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
48．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A．
B．
C．
D．
【分析】不到8棵意思是植树棵树在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵树位同学植树的棵树，植树的总棵树位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．
【解答】解：位同学植树棵树为，
有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为棵，
可列不等式组为：，
即．
故选：．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵树和预计植树棵树之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数不到8棵”是解决本题的突破点．
一十四．一元一次不等式组的应用（共4小题）
49．2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进、两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元．
（1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，波波准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，根据“2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，根据“购进型风扇不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，
依题意，得：，
解得：．
答：型风扇进货的单价是10元，型风扇进货的单价是16元；
（2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
可以取72、73、74、75，
波波共有4种进货方案，
方案1：购进型风扇72台，型风扇28台；
方案2：购进型风扇73台，型风扇27台；
方案3：购进型风扇74台，型风扇26台；
方案4：购进型风扇75台，型风扇25台．
型风扇进货的单价大于型风扇进货的单价，
方案4：购进型风扇75台，型风扇25台的费用最低，
最低费用为元．
答：波波共有4种进货方案，方案4：购进型风扇75台，型风扇25台的费用最低，最低费用为1150元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组二以及元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
50．某水果种植基地计划将120吨水果运往水果批发市场，现有，两种车型的箱式货车可供选择．这批水果若用5辆型货车和12辆型货车装运，则还可再装1吨；若用9辆型货车和9辆型货车装运，则其中有3吨水果无法装运．两种货车的运载（满载）能力和运费如表所示：
车型
运载量（吨辆）
运费（吨辆）
600
800
（1）求出表中，的值；
（2）现同时租用，两种货车，且所租货车均满载，将这批水果一次性运送到水果批发市场，那么怎样的租车方案使得运费最少并求出最少运费．
【分析】（1）由题意列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设租用货车辆，租用货车辆列出，的关系式，根据，都是正整数进行讨论即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：，的值分别是5和8．
（2）设租用货车辆，租用货车辆，则，且、都是正整数，
根据题意得：，
，且、都是正整数，
，或，，
当，时，运费为：（元，
当，时，运费为：（元，
运费最少为12800元，
租用货车8辆，租用货车10辆，运费最少为12800元．
答：租用货车8辆，租用货车10辆，运费最少为12800元．
【点评】本题考查二元一次方程组和二元一次不等式的应用，关键是根据题意找出等量关系．
51．“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产、两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米，可获利50元；做一套型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米，可获利30元．
（1）按要求安排、两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，根据生产50套童装所需甲种布料不超过38米、乙种布料不超过26米，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各生产方案；
（2）利用总利润每套的利润生产数量，即可得出各生产方案获得的总利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设生产型号的童装件，则生产型号的童装件，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取18，19，20，
共有3种生产方案，
方案1：生产18套型号的童装，32套型号的童装；
方案2：生产19套型号的童装，31套型号的童装；
方案3：生产20套型号的童装，30套型号的童装．
（2）方案1获得的总利润为（元；
方案2获得的总利润为（元；
方案3获得的总利润为（元．
，
方案3获得的总利润最大，最大利润是1900元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）利用总利润每套的利润生产数量，分别求出各生产方案可获得的总利润．
52．某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂、两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，按此要求安排、两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．
【分析】设用型货厢节，则用型货厢节，则可得：解不等式组即可．
【解答】解：设用型货厢节，则用型货厢节，由题意，得：
解得．
因为为整数，所以只能取28，29，30．
相应地的值为22，21，20．
所以共有三种调运方案：
第一种调运方案：用型货厢28节，型货厢22节；
第二种调运方案：用型货厢29节，型货厢21节；
第三种调运方案：用型货厢30节，用型货厢20节．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
4．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
5．不等式的定义
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数．
6．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
7．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
8．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
9．一元一次不等式的定义
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．
10．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
11．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
12．由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
13．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
14．一元一次不等式组的定义
（1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
17．由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目．
18．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
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