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人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习知识点专练平行线与相交线（含解析）-
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这是一份人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习知识点专练平行线与相交线（含解析）-，共49页。试卷主要包含了如图，点是直线上一点，，平分，等内容，欢迎下载使用。
专题01平行线与相交线（含解析）
一．相交线（共3小题）
1．在同一平面内，三条直线的交点个数不能是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．平面内有条直线，这条直线两两相交，最多可以得到个交点，最少可以得到个交点，则 ．
3．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点．
二．对顶角、邻补角（共3小题）
4．下面四个图形中，与是对顶角的图形为
A． B．
C． D．
5．如图，直线、相交于，且，则的度数为 ．
6．如图，直线、相交于，，且的度数是的5倍．
求：（1）、的度数；
（2）的度数．
三．垂线（共2小题）
7．如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点并折出过点且与垂直的直线．这样的直线能折出
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
8．如图，点是直线上一点，，平分，．
（1）请你说明；
（2）平分吗？为什么？
四．垂线段最短（共2小题）
9．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
10．如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．
五．点到直线的距离（共2小题）
11．下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是
A． B．
C． D．
12．如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是
A．线段的长是点到直线的距离
B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离
D．线段的长是点到直线的距离
六．同位角、内错角、同旁内角（共4小题）
13．下列图形中，与是同位角的是
A． B．
C． D．
14．如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
15．如图，下列结论中错误的是
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
16．如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
七．平行线（共3小题）
17．下列说法不正确的是
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
18．下列说法正确的有
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．在同一平面内，若，，则与的位置关系是 ．
八．平行公理及推论（共4小题）
20．下列说法错误的是
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点，都能画一条直线与已知直线平行
21．下列说法正确的是
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
22．三条直线、、中，，，则直线与直线的关系是
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
23．如图，已知，，所以点、、三点共线的理由 ．
九．平行线的判定（共3小题）
24．如图，在下列给出的条件下，不能判定的是
A． B． C． D．
25．如图，下列条件不能判断直线的是
A． B． C． D．
26．将纸片沿折叠，其中．
（1）如图1，点落在边上的点处，与是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点落在四边形内部的点处，探索与之间的数量关系，并说明理由．
一十．平行线的性质（共4小题）
27．如图，已知，平分，交于点，，则为
A． B． C． D．
28．如图，，，则、、的关系为
A． B． C． D．
29．一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上，若，则等于
A． B． C． D．
30．将一副三角板（含、、、角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 度．
一十一．平行线的判定与性质（共6小题）
31．已知：如图，，则的度数是 ．
32．如图，，，平分，，，求的度数．
33．完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：
证明：
即
34．如图，已知于点，是延长线上一点，且于点，若．求证：平分．
35．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
36．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
（1）请说明：；
（2）若，，求的度数．
一十二．命题与定理（共5小题）
37．“对顶角相等”的逆命题是
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
38．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
39．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是
A．垂直 B．两条直线
C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
40．下列命题中，真命题是
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．同旁内角互补
41．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A．， B．，
C． D．，
一十三．生活中的平移现象（共2小题）
42．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的
A． B． C． D．
43．下列现象中是平移的是
A．将一张纸沿它的中线折叠 B．电梯的上下移动
C．飞碟的快速转动 D．翻开书中的每一页纸张
一十四．平移的性质（共4小题）
44．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为
A．3 B．4 C．5 D．6
45．下列语句错误的是
A．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离
B．两条直线平行，同旁内角互补
C．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角
D．平移变换中，各组对应点连成两线段平行（或在同一直线上）且相等
46．如图，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位长度得到三角形，则四边形的周长为 ．
47．如图，，直线平移后得到直线，则 ．
一十五．作图-平移变换（共4小题）
48．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△
（2）画出边上的中线；
（3）画出边上的高线；
（4）求的面积 ．
49．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点变换为点，点、的对应点分别是点、．
（1）在图中请画出平移后得到的；
（2）在图中画出的边上的高；
（3）的面积为 ．
50．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将沿着点到点的方向平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点．
（1）画出中边上的高；（提醒：别忘了标注字母）；
（2）请画出平移后的；
（3）平移后，求线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积．
51．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）
（1）画出△；
（2）画出的高；
（3）连接、，那么与的关系是，线段扫过的图形的面积为 ．
（4）在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有 个．
专题01平行线与相交线（含解析）
参考答案与试题解析
一．相交线（共3小题）
1．在同一平面内，三条直线的交点个数不能是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】三条直线相交，有三种情况，即：两条直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点；三条直线平行，没有交点，故可得答案．
【解答】解：三条直线相交时，位置关系如图所示：
第一种情况有一个交点；
第二种情况有三个交点；
第三种情况有两个交点．
第四种情况有0交点．
故选：．
【点评】本题考查的是相交线，解答此题的关键是画出三条直线相交时的三种情况，找出交点．
2．平面内有条直线，这条直线两两相交，最多可以得到个交点，最少可以得到个交点，则 ．
【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点，
3条直线相交有个交点，
4条直线相交有个交点，
5条直线相交有个交点，
6条直线相交有个交点，
直线相交有个交点．
，而，
故答案为：．
【点评】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点．
3．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 28 个交点．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．
【解答】解：由已知总结出在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，
条直线两两相交，交点的个数最多为．
故答案为：28．
【点评】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．
二．对顶角、邻补角（共3小题）
4．下面四个图形中，与是对顶角的图形为
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有选项中的是对顶角，其它都不是．
故选：．
【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．
5．如图，直线、相交于，且，则的度数为 ．
【分析】因和是邻补角，且，由邻补角的定义可得的度数，再根据对顶角相等得的度数．
【解答】解：，
又已知，
，
解得，
．
【点评】本题考查邻补角的定义和对顶角的性质，是需要熟记的内容．
6．如图，直线、相交于，，且的度数是的5倍．
求：（1）、的度数；
（2）的度数．
【分析】（1）根据和求出即可；
（2）求出，，代入求出即可．
【解答】解：（1）是直线（已知），
，
的度数是的5倍，
，．
（2），，
，
．
【点评】本题考查了垂直定义，邻补角，对顶角，角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力．
三．垂线（共2小题）
7．如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点并折出过点且与垂直的直线．这样的直线能折出
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【分析】根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．
【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，
故选：．
【点评】此题主要考查了垂线的基本性质，注意“有且只有一条直线”的含义．
8．如图，点是直线上一点，，平分，．
（1）请你说明；
（2）平分吗？为什么？
【分析】（1）根据角平分线的定义求得，再根据垂线的定义证明；
（2）求得的度数，根据角平分线的定义即可求得平分．
【解答】解：（1）平分，
．
，
，
．
（2）平分．
理由：，
又，，
，
，
平分．
【点评】此题主要考查了角平分线和垂线的定义．
四．垂线段最短（共2小题）
9．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【分析】此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：．
【点评】此题考查知识点垂线段最短．
10．如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 垂线段最短 ．
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
五．点到直线的距离（共2小题）
11．下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是
A． B．
C． D．
【分析】根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
【解答】解：线段的长表示点到直线距离的是图，
故选：．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段．
12．如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是
A．线段的长是点到直线的距离
B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离
D．线段的长是点到直线的距离
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【解答】解：、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
、根据垂线段最短可知此选项正确；
、线段的长是点到直线的距离，故选项错误；
、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质．
六．同位角、内错角、同旁内角（共4小题）
13．下列图形中，与是同位角的是
A． B．
C． D．
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：、、中的与不是同位角，中的与是同位角；
故选：．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．
14．如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【分析】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
【解答】解：如图所示，和两个角都在被截直线和同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故和是直线、被所截而成的同位角．
故选：．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
15．如图，下列结论中错误的是
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．
【解答】解：、与是同旁内角，正确，不合题意；
、与是内错角，正确，不合题意；
、与不是内错角，故错误，符合题意；
、与是同位角，正确，不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了同旁内角以及内错角、同位角的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
16．如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据对顶角，内错角以及同旁内角的定义作答．
【解答】解：如图所示，①和是同旁内角，故说法错误；
②和不是对顶角，故说法错误；
③和是内错角，故说法正确；
④和不是同旁内角，故说法错误．
综上所述，说法正确的结论有1个．
故选：．
【点评】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
七．平行线（共3小题）
17．下列说法不正确的是
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．
【解答】解：中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
、、正确．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．
18．下列说法正确的有
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据两点之间线段最短判断．
②对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
③根据平行公理进行判断．
④根据垂线的性质进行判断．
⑤距离是指的长度．
⑥根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系．
【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：．
【点评】本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
19．在同一平面内，若，，则与的位置关系是 ．
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可求解．
【解答】解：，，
．
故答案为．
【点评】本题考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
八．平行公理及推论（共4小题）
20．下列说法错误的是
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点，都能画一条直线与已知直线平行
【分析】根据对顶角、线段的性质、补角和平行线的概念判断即可．
【解答】解：、对顶角相等，正确；
、两点之间所有连线中，线段最短，正确；
、等角的补角相等，正确；
、过直线外一点，都能画一条直线与已知直线平行，错误；
故选：．
【点评】此题考查平行线公理，关键是根据对顶角、线段的性质、补角和平行线的概念解答．
21．下列说法正确的是
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据线段、垂线、平行线的相关概念和性质判断．
【解答】解：、两点之间的距离是指两点间的线段长度，而不是线段本身，错误；
、在同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行，错误；
、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调“直线外”，错误；
、这是垂线的性质，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查公理定义，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键．
22．三条直线、、中，，，则直线与直线的关系是
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
【分析】根据平行公理的判断推论即可．
【解答】解：三条直线、、中，，，
，
故选：．
【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
23．如图，已知，，所以点、、三点共线的理由 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ．
【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．
【解答】解：已知，，所以点、、三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．
九．平行线的判定（共3小题）
24．如图，在下列给出的条件下，不能判定的是
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：、，，故本选项错误；
、，，故本选项错误；
、，，故本选项错误；
、，，故本选项正确．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
25．如图，下列条件不能判断直线的是
A． B． C． D．
【分析】要判断直线，则要找出它们的同位角、内错角相等，同旁内角互补．
【解答】解：、能判断，，，满足内错角相等，两直线平行．
、能判断，，，满足同位角相等，两直线平行．
、能判断，，，满足同旁内角互补，两直线平行．
、不能．
故选：．
【点评】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
26．将纸片沿折叠，其中．
（1）如图1，点落在边上的点处，与是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点落在四边形内部的点处，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）与平行．根据翻折可得出，结合即可得出，从而证出；
（2）连接，由翻折可得出，再根据三角形外角的性质得出，，通过角的运算即可得出．
【解答】解：（1）与平行．理由如下：
由翻折，得．
又，
，
．
（2）连接，如图所示．
由翻折，得．
，，
．
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键．
一十．平行线的性质（共4小题）
27．如图，已知，平分，交于点，，则为
A． B． C． D．
【分析】根据平角的性质可得出的度数，再根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得出等于，由平分，可得出的度数，再由平行线的性质两直线平行同旁内角互补，即可得出答案．
【解答】解：，
，
又，
，
平分，
，
又，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及角平分线，合理利用平行线的性质进行计算是解决本题的关键．
28．如图，，，则、、的关系为
A． B． C． D．
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长交与，延长交于．
直角中，；
中，，
，
，
，
即．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．
29．一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上，若，则等于
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和，平行线的性质，根据平行线的性质得出的度数是解题关键．
30．将一副三角板（含、、、角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 75 度．
【分析】由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
【解答】解：，
．
直尺的上下两边平行，
．
故答案为：75．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
一十一．平行线的判定与性质（共6小题）
31．已知：如图，，则的度数是 ．
【分析】根据平行线的判定得出，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定得出解答．
32．如图，，，平分，，，求的度数．
【分析】推出，根据平行线性质求出，求出，根据角平分线求出，根据平行线的性质推出，代入即可．
【解答】解：，，
，
，
，
，
又，
，
平分，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
33．完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：
证明：
即
【分析】根据平行线的性质得到，根据余角的性质得到根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：
（两直线平行，内错角相等）
（垂直的定义）
即
（内错角相等，两直线平行）
（平行于同一直线的两直线互相平行），
故答案为：，两直线平行，内错角相等，，，内错角相等，两直线平行，，平行于同一直线的两直线互相平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
34．如图，已知于点，是延长线上一点，且于点，若．求证：平分．
【分析】根据平行线的性质和判定解答即可．
【解答】证明：于点，于点，
，
，，
，
，
即平分．
【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定得出解答．
35．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
【分析】（1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据，得出，再根据平分，得出，最后在中利用三角形内角和等于即可求解．
【解答】解：（1）证明：，
，
又，
，
；
（2），
，
平分，
，
在中，
，
．
答：的度数为．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
36．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
（1）请说明：；
（2）若，，求的度数．
【分析】（1）依据同位角相等，得，由得，再由，得到从而得到两直线平行；
（2）依据已知条件求得的度数，进而利用平行线的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数．
【解答】（1）证明：，
，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
又，
，
，
又，
，
．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
一十二．命题与定理（共5小题）
37．“对顶角相等”的逆命题是
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
【分析】把命题的题设和结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
38．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据正方形、菱形、等边三角形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断；
【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故正确；
④等边三角形既是轴对称图形不是中心对称图形，故错误，
故选：．
【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的判定，正方形、菱形、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
39．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是
A．垂直 B．两条直线
C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
【分析】找出已知条件的部分即可．
【解答】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
40．下列命题中，真命题是
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．同旁内角互补
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；
、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；
、正确，必须强调在同一平面内；
、错误，两直线平行同旁内角才互补．
故选：．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
41．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A．， B．，
C． D．，
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：、满足条件，也满足结论，故选项错误；
、不满足条件，故选项错误；
、满足条件，不满足结论，故选项正确；
、不满足条件，也不满足结论，故选项错误．
故选：．
【点评】理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
一十三．生活中的平移现象（共2小题）
42．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的
A． B． C． D．
【分析】根据平移的性质，图形只是位置变化，其形状与方向不发生变化，进而得出即可．
【解答】解：如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的．
故选：．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，正确根据平移的性质得出是解题关键．
43．下列现象中是平移的是
A．将一张纸沿它的中线折叠 B．电梯的上下移动
C．飞碟的快速转动 D．翻开书中的每一页纸张
【分析】根据题意，对选项进行一一分析，排除错误选项即可得到答案．
【解答】解：、将一张纸沿它的中线折叠，不符合平移定义，故本选项错误；
、电梯的上下移动，符合平移的定义，故本选项正确；
、飞蝶的快速转动，不符合平移定义，故本选项错误；
、翻开书中的每一页纸张，不符合平移的定义，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
一十四．平移的性质（共4小题）
44．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：由平移的性质可知，，
，，
，
，
平移的距离为3，
故选：．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
45．下列语句错误的是
A．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离
B．两条直线平行，同旁内角互补
C．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角
D．平移变换中，各组对应点连成两线段平行（或在同一直线上）且相等
【分析】根据相关的概念和性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，是定义，正确；
、两条直线平行，同旁内角互补，是平行线的性质，正确；
、如图，、有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，
而这两个角不是邻补角，故本选项错误；
、平移变换中，各组对应点连成两线段平行（或在同一直线上）且相等，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查概念和性质的理解，熟练掌握性质和概念是解题的关键．
46．如图，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位长度得到三角形，则四边形的周长为 16 ．
【分析】利用平移的性质得到，，然后利用等线段代换得到四边形的周长的周长．
【解答】解：周长为12的三角形沿方向平移2个单位长度得到三角形，
，，
四边形的周长的周长．
故答案为16．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
47．如图，，直线平移后得到直线，则 110 ．
【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：延长直线，如图：，
直线平移后得到直线，
，
，
，
，
，
故答案为：110．
【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．
一十五．作图-平移变换（共4小题）
48．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△
（2）画出边上的中线；
（3）画出边上的高线；
（4）求的面积 4 ．
【分析】（1）由点的对应点知，三角形需向左平移5个单位、向下平移2个单位，据此可得；
（2）连接的中点与点即可得；
（3）过点作延长线的垂线段即可得；
（4）割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求作三角形．
（2）如图所示，为边上的中线；
（3）如图所示，为边上的高线；
（4），
故答案为：4．
【点评】本题主要考查作图平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
49．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点变换为点，点、的对应点分别是点、．
（1）在图中请画出平移后得到的；
（2）在图中画出的边上的高；
（3）的面积为 ．
【分析】（1）将点、分别向右平移4个单位、再向下平移3个单位，继而与点首尾顺次连接即可得；
（2）根据三角形的高的概念求解可得；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求．
（3）的面积为．
【点评】本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点．
50．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将沿着点到点的方向平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点．
（1）画出中边上的高；（提醒：别忘了标注字母）；
（2）请画出平移后的；
（3）平移后，求线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积．
【分析】（1）利用网格特点和三角形高的定义画图；
（2）利用点、的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出、的对应点、即可；
（3）线段扫过的部分所组成的封闭图形为矩形，利用矩形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，为苏偶作；
（2）如图，为所作；
（3）线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积．
【点评】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
51．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）
（1）画出△；
（2）画出的高；
（3）连接、，那么与的关系是，线段扫过的图形的面积为 10 ．
（4）在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有 个．
【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）构造菱形，利用等高模型解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求作．
（2）如图，相等即为所求作．
（3）线段扫过的图形的面积为．
故答案为：10．
（4）满足条件的点有8个，
故答案为：8．
【点评】本题考查作图平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点卡片
1．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
2．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
3．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
4．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
5．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
6．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
7．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
8．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
9．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
10．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
11．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
12．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
13．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
14．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
15．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
16．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
17．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
18．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
19．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
20．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
专题01平行线与相交线（含解析）
一．相交线（共3小题）
1．在同一平面内，三条直线的交点个数不能是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．平面内有条直线，这条直线两两相交，最多可以得到个交点，最少可以得到个交点，则 ．
3．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点．
二．对顶角、邻补角（共3小题）
4．下面四个图形中，与是对顶角的图形为
A． B．
C． D．
5．如图，直线、相交于，且，则的度数为 ．
6．如图，直线、相交于，，且的度数是的5倍．
求：（1）、的度数；
（2）的度数．
三．垂线（共2小题）
7．如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点并折出过点且与垂直的直线．这样的直线能折出
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
8．如图，点是直线上一点，，平分，．
（1）请你说明；
（2）平分吗？为什么？
四．垂线段最短（共2小题）
9．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
10．如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 ．
五．点到直线的距离（共2小题）
11．下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是
A． B．
C． D．
12．如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是
A．线段的长是点到直线的距离
B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离
D．线段的长是点到直线的距离
六．同位角、内错角、同旁内角（共4小题）
13．下列图形中，与是同位角的是
A． B．
C． D．
14．如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
15．如图，下列结论中错误的是
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
16．如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
七．平行线（共3小题）
17．下列说法不正确的是
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
18．下列说法正确的有
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．在同一平面内，若，，则与的位置关系是 ．
八．平行公理及推论（共4小题）
20．下列说法错误的是
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点，都能画一条直线与已知直线平行
21．下列说法正确的是
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
22．三条直线、、中，，，则直线与直线的关系是
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
23．如图，已知，，所以点、、三点共线的理由 ．
九．平行线的判定（共3小题）
24．如图，在下列给出的条件下，不能判定的是
A． B． C． D．
25．如图，下列条件不能判断直线的是
A． B． C． D．
26．将纸片沿折叠，其中．
（1）如图1，点落在边上的点处，与是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点落在四边形内部的点处，探索与之间的数量关系，并说明理由．
一十．平行线的性质（共4小题）
27．如图，已知，平分，交于点，，则为
A． B． C． D．
28．如图，，，则、、的关系为
A． B． C． D．
29．一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上，若，则等于
A． B． C． D．
30．将一副三角板（含、、、角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 度．
一十一．平行线的判定与性质（共6小题）
31．已知：如图，，则的度数是 ．
32．如图，，，平分，，，求的度数．
33．完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：
证明：
即
34．如图，已知于点，是延长线上一点，且于点，若．求证：平分．
35．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
36．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
（1）请说明：；
（2）若，，求的度数．
一十二．命题与定理（共5小题）
37．“对顶角相等”的逆命题是
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
38．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
39．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是
A．垂直 B．两条直线
C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
40．下列命题中，真命题是
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．同旁内角互补
41．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A．， B．，
C． D．，
一十三．生活中的平移现象（共2小题）
42．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的
A． B． C． D．
43．下列现象中是平移的是
A．将一张纸沿它的中线折叠 B．电梯的上下移动
C．飞碟的快速转动 D．翻开书中的每一页纸张
一十四．平移的性质（共4小题）
44．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为
A．3 B．4 C．5 D．6
45．下列语句错误的是
A．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离
B．两条直线平行，同旁内角互补
C．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角
D．平移变换中，各组对应点连成两线段平行（或在同一直线上）且相等
46．如图，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位长度得到三角形，则四边形的周长为 ．
47．如图，，直线平移后得到直线，则 ．
一十五．作图-平移变换（共4小题）
48．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△
（2）画出边上的中线；
（3）画出边上的高线；
（4）求的面积 ．
49．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点变换为点，点、的对应点分别是点、．
（1）在图中请画出平移后得到的；
（2）在图中画出的边上的高；
（3）的面积为 ．
50．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将沿着点到点的方向平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点．
（1）画出中边上的高；（提醒：别忘了标注字母）；
（2）请画出平移后的；
（3）平移后，求线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积．
51．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）
（1）画出△；
（2）画出的高；
（3）连接、，那么与的关系是，线段扫过的图形的面积为 ．
（4）在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有 个．
专题01平行线与相交线（含解析）
参考答案与试题解析
一．相交线（共3小题）
1．在同一平面内，三条直线的交点个数不能是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】三条直线相交，有三种情况，即：两条直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点；三条直线平行，没有交点，故可得答案．
【解答】解：三条直线相交时，位置关系如图所示：
第一种情况有一个交点；
第二种情况有三个交点；
第三种情况有两个交点．
第四种情况有0交点．
故选：．
【点评】本题考查的是相交线，解答此题的关键是画出三条直线相交时的三种情况，找出交点．
2．平面内有条直线，这条直线两两相交，最多可以得到个交点，最少可以得到个交点，则 ．
【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点，
3条直线相交有个交点，
4条直线相交有个交点，
5条直线相交有个交点，
6条直线相交有个交点，
直线相交有个交点．
，而，
故答案为：．
【点评】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点．
3．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 28 个交点．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．
【解答】解：由已知总结出在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，
条直线两两相交，交点的个数最多为．
故答案为：28．
【点评】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．
二．对顶角、邻补角（共3小题）
4．下面四个图形中，与是对顶角的图形为
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有选项中的是对顶角，其它都不是．
故选：．
【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．
5．如图，直线、相交于，且，则的度数为 ．
【分析】因和是邻补角，且，由邻补角的定义可得的度数，再根据对顶角相等得的度数．
【解答】解：，
又已知，
，
解得，
．
【点评】本题考查邻补角的定义和对顶角的性质，是需要熟记的内容．
6．如图，直线、相交于，，且的度数是的5倍．
求：（1）、的度数；
（2）的度数．
【分析】（1）根据和求出即可；
（2）求出，，代入求出即可．
【解答】解：（1）是直线（已知），
，
的度数是的5倍，
，．
（2），，
，
．
【点评】本题考查了垂直定义，邻补角，对顶角，角的有关计算的应用，主要考查学生的计算能力．
三．垂线（共2小题）
7．如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点并折出过点且与垂直的直线．这样的直线能折出
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【分析】根据垂线的基本性质：过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直，容易判断．
【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，
故选：．
【点评】此题主要考查了垂线的基本性质，注意“有且只有一条直线”的含义．
8．如图，点是直线上一点，，平分，．
（1）请你说明；
（2）平分吗？为什么？
【分析】（1）根据角平分线的定义求得，再根据垂线的定义证明；
（2）求得的度数，根据角平分线的定义即可求得平分．
【解答】解：（1）平分，
．
，
，
．
（2）平分．
理由：，
又，，
，
，
平分．
【点评】此题主要考查了角平分线和垂线的定义．
四．垂线段最短（共2小题）
9．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是
A．平行线间的距离相等 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【分析】此题为数学知识的应用，由实际出发，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．
故选：．
【点评】此题考查知识点垂线段最短．
10．如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 垂线段最短 ．
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
五．点到直线的距离（共2小题）
11．下列图形中，线段的长表示点到直线距离的是
A． B．
C． D．
【分析】根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
【解答】解：线段的长表示点到直线距离的是图，
故选：．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，注意是垂线段的长度，不是垂线段．
12．如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是
A．线段的长是点到直线的距离
B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离
D．线段的长是点到直线的距离
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【解答】解：、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
、根据垂线段最短可知此选项正确；
、线段的长是点到直线的距离，故选项错误；
、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质．
六．同位角、内错角、同旁内角（共4小题）
13．下列图形中，与是同位角的是
A． B．
C． D．
【分析】同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【解答】解：、、中的与不是同位角，中的与是同位角；
故选：．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．
14．如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【分析】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
【解答】解：如图所示，和两个角都在被截直线和同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故和是直线、被所截而成的同位角．
故选：．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
15．如图，下列结论中错误的是
A．与是同旁内角 B．与是内错角
C．与是内错角 D．与是同位角
【分析】直接利用同旁内角以及内错角、同位角的定义分别判断得出答案．
【解答】解：、与是同旁内角，正确，不合题意；
、与是内错角，正确，不合题意；
、与不是内错角，故错误，符合题意；
、与是同位角，正确，不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了同旁内角以及内错角、同位角的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
16．如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据对顶角，内错角以及同旁内角的定义作答．
【解答】解：如图所示，①和是同旁内角，故说法错误；
②和不是对顶角，故说法错误；
③和是内错角，故说法正确；
④和不是同旁内角，故说法错误．
综上所述，说法正确的结论有1个．
故选：．
【点评】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
七．平行线（共3小题）
17．下列说法不正确的是
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B．同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D．平行于同一直线的两直线平行
【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．
【解答】解：中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．
、、正确．
故选：．
【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．
18．下列说法正确的有
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据两点之间线段最短判断．
②对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
③根据平行公理进行判断．
④根据垂线的性质进行判断．
⑤距离是指的长度．
⑥根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系．
【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：．
【点评】本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
19．在同一平面内，若，，则与的位置关系是 ．
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可求解．
【解答】解：，，
．
故答案为．
【点评】本题考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
八．平行公理及推论（共4小题）
20．下列说法错误的是
A．对顶角相等
B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等
D．过任意一点，都能画一条直线与已知直线平行
【分析】根据对顶角、线段的性质、补角和平行线的概念判断即可．
【解答】解：、对顶角相等，正确；
、两点之间所有连线中，线段最短，正确；
、等角的补角相等，正确；
、过直线外一点，都能画一条直线与已知直线平行，错误；
故选：．
【点评】此题考查平行线公理，关键是根据对顶角、线段的性质、补角和平行线的概念解答．
21．下列说法正确的是
A．两点之间的距离是两点间的线段
B．与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据线段、垂线、平行线的相关概念和性质判断．
【解答】解：、两点之间的距离是指两点间的线段长度，而不是线段本身，错误；
、在同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行，错误；
、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调“直线外”，错误；
、这是垂线的性质，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查公理定义，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键．
22．三条直线、、中，，，则直线与直线的关系是
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不确定
【分析】根据平行公理的判断推论即可．
【解答】解：三条直线、、中，，，
，
故选：．
【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
23．如图，已知，，所以点、、三点共线的理由 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 ．
【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．
【解答】解：已知，，所以点、、三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．
九．平行线的判定（共3小题）
24．如图，在下列给出的条件下，不能判定的是
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：、，，故本选项错误；
、，，故本选项错误；
、，，故本选项错误；
、，，故本选项正确．
故选：．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
25．如图，下列条件不能判断直线的是
A． B． C． D．
【分析】要判断直线，则要找出它们的同位角、内错角相等，同旁内角互补．
【解答】解：、能判断，，，满足内错角相等，两直线平行．
、能判断，，，满足同位角相等，两直线平行．
、能判断，，，满足同旁内角互补，两直线平行．
、不能．
故选：．
【点评】解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
26．将纸片沿折叠，其中．
（1）如图1，点落在边上的点处，与是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点落在四边形内部的点处，探索与之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）与平行．根据翻折可得出，结合即可得出，从而证出；
（2）连接，由翻折可得出，再根据三角形外角的性质得出，，通过角的运算即可得出．
【解答】解：（1）与平行．理由如下：
由翻折，得．
又，
，
．
（2）连接，如图所示．
由翻折，得．
，，
．
，
．
【点评】本题考查了平行线的判定以及翻折得性质，解题的关键是：（1）找出；（2）根据三角形外角的性质利用角的计算求出．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角是关键．
一十．平行线的性质（共4小题）
27．如图，已知，平分，交于点，，则为
A． B． C． D．
【分析】根据平角的性质可得出的度数，再根据平行线的性质两直线平行内错角相等，可得出等于，由平分，可得出的度数，再由平行线的性质两直线平行同旁内角互补，即可得出答案．
【解答】解：，
，
又，
，
平分，
，
又，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质及角平分线，合理利用平行线的性质进行计算是解决本题的关键．
28．如图，，，则、、的关系为
A． B． C． D．
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长交与，延长交于．
直角中，；
中，，
，
，
，
即．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．
29．一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上，若，则等于
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：，，
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和，平行线的性质，根据平行线的性质得出的度数是解题关键．
30．将一副三角板（含、、、角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 75 度．
【分析】由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
【解答】解：，
．
直尺的上下两边平行，
．
故答案为：75．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
一十一．平行线的判定与性质（共6小题）
31．已知：如图，，则的度数是 ．
【分析】根据平行线的判定得出，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定得出解答．
32．如图，，，平分，，，求的度数．
【分析】推出，根据平行线性质求出，求出，根据角平分线求出，根据平行线的性质推出，代入即可．
【解答】解：，，
，
，
，
，
又，
，
平分，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
33．完成下面推理过程．在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：
证明：
即
【分析】根据平行线的性质得到，根据余角的性质得到根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：
（两直线平行，内错角相等）
（垂直的定义）
即
（内错角相等，两直线平行）
（平行于同一直线的两直线互相平行），
故答案为：，两直线平行，内错角相等，，，内错角相等，两直线平行，，平行于同一直线的两直线互相平行．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
34．如图，已知于点，是延长线上一点，且于点，若．求证：平分．
【分析】根据平行线的性质和判定解答即可．
【解答】证明：于点，于点，
，
，，
，
，
即平分．
【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定得出解答．
35．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．
（1）求证：．
（2）若，平分，求的度数．
【分析】（1）根据，得出，又因为，等量代换得，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据，得出，再根据平分，得出，最后在中利用三角形内角和等于即可求解．
【解答】解：（1）证明：，
，
又，
，
；
（2），
，
平分，
，
在中，
，
．
答：的度数为．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握题中各角之间的位置关系和数量关系．
36．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．
（1）请说明：；
（2）若，，求的度数．
【分析】（1）依据同位角相等，得，由得，再由，得到从而得到两直线平行；
（2）依据已知条件求得的度数，进而利用平行线的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数．
【解答】（1）证明：，
，
，
又，
，
；
（2）解：，，
，
又，
，
，
又，
，
．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
一十二．命题与定理（共5小题）
37．“对顶角相等”的逆命题是
A．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等
D．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
【分析】把命题的题设和结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是对顶角”
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
38．下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据正方形、菱形、等边三角形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断；
【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误；
③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故正确；
④等边三角形既是轴对称图形不是中心对称图形，故错误，
故选：．
【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的判定，正方形、菱形、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
39．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是
A．垂直 B．两条直线
C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
【分析】找出已知条件的部分即可．
【解答】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线．
故选：．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
40．下列命题中，真命题是
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．同旁内角互补
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；
、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；
、正确，必须强调在同一平面内；
、错误，两直线平行同旁内角才互补．
故选：．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
41．对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A．， B．，
C． D．，
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：、满足条件，也满足结论，故选项错误；
、不满足条件，故选项错误；
、满足条件，不满足结论，故选项正确；
、不满足条件，也不满足结论，故选项错误．
故选：．
【点评】理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
一十三．生活中的平移现象（共2小题）
42．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的
A． B． C． D．
【分析】根据平移的性质，图形只是位置变化，其形状与方向不发生变化，进而得出即可．
【解答】解：如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的．
故选：．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，正确根据平移的性质得出是解题关键．
43．下列现象中是平移的是
A．将一张纸沿它的中线折叠 B．电梯的上下移动
C．飞碟的快速转动 D．翻开书中的每一页纸张
【分析】根据题意，对选项进行一一分析，排除错误选项即可得到答案．
【解答】解：、将一张纸沿它的中线折叠，不符合平移定义，故本选项错误；
、电梯的上下移动，符合平移的定义，故本选项正确；
、飞蝶的快速转动，不符合平移定义，故本选项错误；
、翻开书中的每一页纸张，不符合平移的定义，故本选项错误．
故选：．
【点评】本题考查平移的概念，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
一十四．平移的性质（共4小题）
44．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用平移的性质解决问题即可．
【解答】解：由平移的性质可知，，
，，
，
，
平移的距离为3，
故选：．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
45．下列语句错误的是
A．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离
B．两条直线平行，同旁内角互补
C．若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，则这两个角为邻补角
D．平移变换中，各组对应点连成两线段平行（或在同一直线上）且相等
【分析】根据相关的概念和性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，是定义，正确；
、两条直线平行，同旁内角互补，是平行线的性质，正确；
、如图，、有公共顶点且有一条公共边，和等于平角，
而这两个角不是邻补角，故本选项错误；
、平移变换中，各组对应点连成两线段平行（或在同一直线上）且相等，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查概念和性质的理解，熟练掌握性质和概念是解题的关键．
46．如图，将周长为12的三角形沿方向平移2个单位长度得到三角形，则四边形的周长为 16 ．
【分析】利用平移的性质得到，，然后利用等线段代换得到四边形的周长的周长．
【解答】解：周长为12的三角形沿方向平移2个单位长度得到三角形，
，，
四边形的周长的周长．
故答案为16．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
47．如图，，直线平移后得到直线，则 110 ．
【分析】延长直线后根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．
【解答】解：延长直线，如图：，
直线平移后得到直线，
，
，
，
，
，
故答案为：110．
【点评】此题考查平移问题，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．
一十五．作图-平移变换（共4小题）
48．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△
（2）画出边上的中线；
（3）画出边上的高线；
（4）求的面积 4 ．
【分析】（1）由点的对应点知，三角形需向左平移5个单位、向下平移2个单位，据此可得；
（2）连接的中点与点即可得；
（3）过点作延长线的垂线段即可得；
（4）割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求作三角形．
（2）如图所示，为边上的中线；
（3）如图所示，为边上的高线；
（4），
故答案为：4．
【点评】本题主要考查作图平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
49．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点变换为点，点、的对应点分别是点、．
（1）在图中请画出平移后得到的；
（2）在图中画出的边上的高；
（3）的面积为 ．
【分析】（1）将点、分别向右平移4个单位、再向下平移3个单位，继而与点首尾顺次连接即可得；
（2）根据三角形的高的概念求解可得；
（3）利用割补法求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求．
（3）的面积为．
【点评】本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得到变换后的对应点．
50．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将沿着点到点的方向平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点．
（1）画出中边上的高；（提醒：别忘了标注字母）；
（2）请画出平移后的；
（3）平移后，求线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积．
【分析】（1）利用网格特点和三角形高的定义画图；
（2）利用点、的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出、的对应点、即可；
（3）线段扫过的部分所组成的封闭图形为矩形，利用矩形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，为苏偶作；
（2）如图，为所作；
（3）线段扫过的部分所组成的封闭图形的面积．
【点评】本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
51．如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到△，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）
（1）画出△；
（2）画出的高；
（3）连接、，那么与的关系是，线段扫过的图形的面积为 10 ．
（4）在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，这样的点有 个．
【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）构造菱形，利用等高模型解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△即为所求作．
（2）如图，相等即为所求作．
（3）线段扫过的图形的面积为．
故答案为：10．
（4）满足条件的点有8个，
故答案为：8．
【点评】本题考查作图平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点卡片
1．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
2．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
3．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
4．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
5．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
6．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
7．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
8．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
9．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
10．点到直线的距离
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
11．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
12．平行线
在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．
记作：a∥b；
读作：直线a平行于直线b．
（2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意：
①前提是在同一平面内；
②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线．
13．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
14．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
15．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
16．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
17．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
18．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
19．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
20．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
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人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习实数知识点专练（含解析）： 这是一份人教版2020-2021学年七年级数学下册期末复习实数知识点专练（含解析），共31页。试卷主要包含了16的平方根是，若，则是，下列各数中，没有平方根的是，的平方根是 ，实数9的算术平方根是，下列式子中，正确的是，9的算术平方根等于 ，如果，则 等内容，欢迎下载使用。
