2017-2021年高考数学全国甲卷（原全国卷3）三角函数与解三角汇编

这是一份2017-2021年高考数学全国甲卷（原全国卷3）三角函数与解三角汇编，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.在 中，已知 ，则 ( )
A. 1 B. C. D. 3
2.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A’,B’，C'满足 .由c点测得B点的仰角为15°，曲， 与 的差为100 :由B点测得A点的仰角为45°，则A,C两点到水平面 的高度差 约为（ ）

A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
3.若 , ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.在△ABC中，csC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A. B. 2 C. 4 D. 8
5.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，csC= ，AC=4，BC=3，则csB=（ ）
A. B. C. D.
7.已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanθ=（ ）
A. –2 B. –1 C. 1 D. 2
8.设函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0， ）单调递增④ω的取值范围[ ， ）其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
9. 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =( )
A. B. C. D.
10.若 ，则 =（ ）

A. B. C. - D. -
11.设函数f（x）=cs（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A. f（x）的一个周期为﹣2π B. y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C. f（x+π）的一个零点为x= D. f（x）在（ ，π）单调递减
12.已知sinα﹣csα= ，则sin2α=（ ）
A. ﹣ B. ﹣ C. D.
13.函数f（x）= sin（x+ ）+cs（x﹣ ）的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
14.若tanα= ，则cs2α+2sin2α=（ ）
A. B. C. 1 D.
15.在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则csA=（ ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
二、填空题
16.已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为________。

17.关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是________．
18.函数 在 的零点个数为________．
19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b= ，c=3，则A=________．
三、解答题（共2题；共15分）
20.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ csA=0，a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cs120°，
即19=4+BC2+2BC
即BC2+2BC-15=0
解得BC=3或BC=-5(舍去)
故BC=3
故答案为：D
2.【答案】 B
解：如图，过C作BB'的垂线交BB'于点M，过B作AA'的垂线交AA'于点N，

设B'C'=CM=m，A'B'=BN=n，
在△A'B'C'中，由正弦定理得 ，
在△BCM中，由正弦定理得 ，
则 ， 解得 ，
得A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'≈273+100=373.
故答案为：B
3.【答案】 A
解：由题意得 ，
则 ， 解得sinα= ，
又因为 , 所以
所以
故答案为：A
4.【答案】 C
【解】设
故答案为：C
5.【答案】 B
【解】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
6.【答案】 A
【解】 在 中， ， ，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故 .
故答案为：A.
7.【答案】 D
【解】 ， ，
令 ，则 ，整理得 ，解得 ，即 .
故答案为：D.
8.【答案】 D
解：由已知画出函数的大致图象，如图：
由图可知 在（ ）有且仅有3个极大值点，故①正确； 在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令 =0，可得E，F的横坐标分别为 ，则 ，解得 的取值范围是[ )，故④正确；由④可取 的最大值 ，得到函数在 单调递增，即 在（ ）单调递增，故③正确，
故答案为：D.
9.【答案】 C
【解】
故答案为：C
10.【答案】 B
【解】
故答案为：B
11.【答案】 D
解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，
B．当x= 时，cs（x+ ）=cs（ + ）=cs =cs3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，
C当x= 时，f（ +π）=cs（ +π+ ）=cs =0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确，
D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，
故选：D
12.【答案】 A
解：∵sinα﹣csα= ，
∴（sinα﹣csα）2=1﹣2sinαcsα=1﹣sin2α= ，
∴sin2α=﹣ ，
故选：A．
13.【答案】 A
解：函数f（x）= sin（x+ ）+cs（x﹣ ）= sin（x+ ）+cs（﹣x+ ）= sin（x+ ）+sin（x+ ）
= sin（x+ ） ．
故选：A．
14.【答案】 A
解：∵tanα= ， ∴cs2α+2sin2α= = = = ．
故选：A．
【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cs2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
15.【答案】 C
解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD=h= BC= a，∴BD=AD= a，CD= a，在Rt△ADC中，csθ= = = ，故sinθ= ，∴csA=cs（ +θ）=cs csθ﹣sin sinθ= × ﹣ × =﹣ ．
故选：C．
二、填空题
16.【答案】 2
解：由得T=π，ω=2
将点代入 ， 得
则 ，
所以
所以
等价于
则或
由图象得最小整数 ，
所以x=2
故答案为：2
17.【答案】 ②③
【解】对于命题①， ， ，则 ，
所以，函数 的图象不关于 轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以，函数 的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③， ，
，则 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，命题③正确；
对于命题④，当 时， ，则 ，
命题④错误.
故答案为：②③.
18.【答案】 3
【解】 ，因为
则 共三个零点，填3
19.【答案】 75°
解：根据正弦定理可得 = ，C=60°，b= ，c=3，
∴sinB= = ，
∵b＜c，
∴B=45°，
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，
故答案为：75°．
三、解答题
20.【答案】 （1）解：由题设及正弦定理得 ．
因为sinA 0，所以 ．
由 ，可得 ，故 ．
因为 ，故 ，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积 ．
由正弦定理得 ．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是 ．
21.【答案】 解：（Ⅰ）∵sinA+ csA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccsA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣ ），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
（Ⅱ）∵c2=b2+a2﹣2abcsC，
∴16=28+4﹣2×2 ×2×csC，
∴csC= ，
∴sinC= ，
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ，
∴AD= ，
∴S△ACD= AC•AD= ×2× = ，
∵S△ABC= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ =