专题4.2 三角函数与解三角形（解答题）（全国卷理科数学专用）-高考数学满分突破之5年全国卷高考真题（2016-2021）与优质模拟题（理科）

专题4.2 三角函数与解三角形（解答题）

A组 5年高考真题

1．（2021全国Ⅱ理17）中，．

（1）求；

（2）若，求周长的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果．

【解析】（1）由正弦定理可得：，，

，．

（2）由余弦定理得：，

即．

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为．

2．（2019•新课标Ⅰ，理17）的内角，，的对边分别为，，．设．

（1）求；

（2）若，求．

【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，．

设．

则，

由正弦定理得：，

，

，．

（2），，

由正弦定理得，

解得，，，

．

3．（2019•新课标Ⅲ，理（文）18）的内角、、的对边分别为，，．已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

【解析】（1），即为，

可得，

，

，

若，可得，不成立，

，

由，可得；

（2）若为锐角三角形，且，

由余弦定理可得，

由三角形为锐角三角形，可得且，

解得，

可得面积，．

4．（2017新课标卷1，理17）的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为．
（1）求；
（2）若，，求的周长．

【解析】（1）面积．且


由正弦定理得，

由得．
（2）由（1）得，


又
，，
由余弦定理得   ①
由正弦定理得，
   ②
由①②得
，即周长为

5．（2017新课标卷2，理17）的内角所对的边分别为，已知，

（1）求；

（2）若，的面积为，求．

【解析】（1）由题设及，故

上式两边平方，整理得

解得

（2）由，故

又

由余弦定理及得

所以b=2

6．（2017新课标卷3，理17）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．

（1）求c；

（2）设为边上一点，且，求的面积．

【解析】（1）由得，

即，又，

∴，得．

由余弦定理．又∵代入并整理得，故．

（2）∵，

由余弦定理．

∵，即为直角三角形，

则，得．

由勾股定理．

又，则，

．

7．（2016新课标卷1，理17）的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若的面积为，求的周长．

【解析】（I）由正弦定理及得，，即，即，因为，所以，所以，所以．

（II）由余弦定理得：

∴

∴

∴周长为

8．（2013新课标Ⅱ，理17）△ABC内角A，B，C的对边分别为，，，已知=．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若=2，求△ABC面积的最大值．

【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得，①

又，

∴=，

即，

∵∴，

∴，

∵，∴．

（Ⅱ）△ABC的面积S==，

由已知及余弦定理得．，

∵，

故，当且仅当时，取等号，

∴△ABC面积的最大值为．

9．（2012新课标，理17）已知，，分别为三个内角，，的对边，．

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若=2，的面积为，求，．

【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得

     ，

因为，所以

由于，所以，

又，故．

(Ⅱ) 的面积==，故=4，

而 故=8，解得=2．

10．（2018•新课标Ⅰ，理17）在平面四边形中，，，，．

（1）求；

（2）若，求．

【解析】（1），，，．

由正弦定理得：，即，

，

，，

．

（2），，

，

．

11．（2015•新课标Ⅱ，理17）中，是上的点，平分，面积是面积的2

倍．

（1）求；

（2）若，，求和的长．

【解析】（1）如图，过作于，

，

平分

在中，，

在中，，；

．分

（2）由（1）知，．

过作于，作于，

平分，

，

，

，

令，则，

，

，

由余弦定理可得：，

，

，

的长为，的长为1．

12．（2013新课标Ⅰ，理17）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°

(1)若PB=，求PA；

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA

【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，

∴∠PBA=30o，

在△PBA中，由余弦定理得==，

∴PA=；

（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，

PB=，

在△PBA中，由正弦定理得，，

化简得，，

∴=，

∴=．

B组 能力提升

13．（2021·福建省厦门市高三质检（理）已知函数.

（1）求的单调递减区间；

（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1），

由得

所以的单调递减区间为；

（2）由正弦定理得，

∵∴，

即，

，

得，或，

解得，或（舍），

∵为锐角三角形，

∴解得

∴

∴的取值范围为。

14．（2021·河南省安阳市高三一模（理）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.

（1）求的面积的最大值，

（2）在的面积取得最大值的条件下，若，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)在中，由余弦定理可得，

所以，

所以，当且仅当时，等号成立.

所以，

故的面积的最大值为.

（2）在中，由题意可得，.

由正弦定理可得，

所以.

又，所以为锐角，所以，所以，

所以.所以因为，所以（负值舍去）。

15．（2021·黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理））在中，内角，，的对边分别为，，，已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，为的中点，且，求.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得，

又由，得，

因为，所以，所以.

因为，所以.

（Ⅱ）因为为的中点，所以，

所以，即，

因为，解方程，得.

16．（2021·吉林省高三二模（理））已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且．

（1）求角A的值；

（2）若，设角，周长为y，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由已知可得，结合正弦定理可得，∴，又，∴．

（2）由，及正弦定理得，

∴，，

故，即，

由，得，∴当，即时，．

17．（2021·陕西省高三教学质量检测一（理））如图，在中，，，，，D在边上，连接.

（1）求角B的大小；

（2）求的面积.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）在中，，

所以，所以

∵，，

∴，

∴

.

因为，所以，∴.

（2）在中，由余弦定理得

，

∴，解得，

∴.

18．（2021·江西省名高三第二次大联考（理））在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）因为，所以，

整理得，即.

由余弦定理可得，则，

因为，所以的取值范围为.

（2）由（1）可得，即，则，

整理得，即，则或.

因为，所以，则的值为或。

19．（2021·江西省名高三第二次大联考（理））已知函数，且，.

（1）求的解析式；

（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为，，所以，

解得，.

.

（2）因为，所以，所以，则.

的图象的对称轴是.

①当时，，，

则，解得，符合题意；

②当时，，，

则，解得，符合题意；

③当时，，，

则，不等式组无解，综上，的取值范围是。