2017-2021高考全国甲卷（原全国卷三）数学之数列汇编

这是一份2017-2021高考全国甲卷（原全国卷三）数学之数列汇编，共6页。

A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2（2019年全国甲卷5） 已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 2
3（2017年全国甲卷9）等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A． B． C．3 D．8
填空题
4（2019年全国甲卷14） 记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.
5（2017年全国甲卷14）设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.
解答题
6（2021年全国甲卷18） 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
7（2020年全国甲卷17） 设数列{an}满足a1=3，．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
8（2018年全国甲卷17）. 等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
1 B
【解】由题，当数列时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
2C
【解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
3【答案】A
【解】：设等差数列的公差为，由a2，a3，a6成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为，则，故前6项的和为.故选A.
4【解】因，所以，即，
所以．
5【答案】
6（2021年全国甲卷18）
【解】选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以.
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
7（2020年全国甲卷17）【解】（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即.
8【答案】（1）或 .
（2）.
解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．