第十二章 12.3数列问题-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3，且a1，a2，ak成等比数列，则k等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)

A.   B.

C.   D.

3．已知等比数列{an}的公比q>0，前n项和为Sn.若2a3，a5,3a4成等差数列，a2a4a6＝64，则q＝________，Sn＝________.

4．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.

无

题型一　等差数列、等比数列的综合问题

例1　已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n 项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.

(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.

　已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．

题型二　数列的通项与求和

例2　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{bn}的通项公式．

　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.

(1)证明：数列{}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.

题型三　数列与其他知识的交汇

命题点1　数列与函数的交汇

例3　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足＝f′，且a1＝4.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

命题点2　数列与不等式的交汇

例4　对任意正整数n，设an是方程x2＋＝1的正根．

求证：(1)an＋1>an；

(2)＋＋…＋<1＋＋＋…＋.

　已知f(x)＝ln x－x＋1，x为正实数，g(x)＝mx－1(m>0)．

(1)判断函数y＝f(x)的单调性，给出你的结论；

(2)若数列{an}的各项均为正数，a1＝1，在m＝2时，an＋1＝f(an)＋g(an)＋2 (n∈N*)，求证：an≤2n－1.

1．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

2．等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

3．已知数列{an}的各项都大于1，且a1＝2，a－an＋1－a＋1＝0(n∈N*)．

(1)求证：≤an<an＋1<n＋2；

(2)求证：＋＋＋…＋<1.

4．已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn.

5．已知fn(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且fn(－1)＝(－1)n·n，n＝1,2,3，….

(1)求a1，a2，a3；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)当k>7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有＋＋＋…＋>成立．