第十二章 12.2三角函数和平面向量问题-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

1．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)

A．x＝－(k∈Z)   B．x＝＋(k∈Z)

C．x＝－(k∈Z)   D．x＝＋(k∈Z)

答案　B

解析　由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.

2．在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝，则A等于(　　)

A．30°   B．45°

C．60°   D．120°

答案　B

解析　由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，

∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0°<B＜90°，又cos C＝，

故sin C＝，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°，

∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即＝－2，

将tan B＝3tan A代入，得＝－2，

∴tan A＝1或tan A＝－，而0°＜A＜90°，

则A＝45°，故选B.

3．已知△ABC中，·＝·，|＋|＝2，且B∈，则·的取值范围是____________．

答案　

解析　因为·＝·，

所以·(－)＝(－)·(＋)＝0，

即2＝2，可得AB＝BC.

由|＋|＝2，可得2＋2·＋2＝4，

设AB＝BC＝a，则有2a2＋2a2cos B＝4⇒a2＝.

因为B∈，可得cos B∈，

所以·＝a2cos B＝

＝2－∈，故答案为.

4．已知函数f(x)＝sin－在[0，π]上有两个零点，则实数m的取值范围为________．

答案　[，2)

解析　如图，画出y＝sin在[0，π]上的图象，当直线y＝与其有两个交点时，∈，所以m∈[，2)．

无

题型一　三角函数的图象和性质

例1　已知函数f(x)＝sin(ωx＋)＋sin(ωx－)－2cos2，x∈R(其中ω>0)．

(1)求函数f(x)的值域；

(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离均为，求函数y＝f(x)的单调增区间．

解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＋sin ωx－cos ωx－(cos ωx＋1)

＝2(sin ωx－cos ωx)－1＝2sin(ωx－)－1.

由－1≤sin(ωx－)≤1，

得－3≤2sin(ωx－)－1≤1，

所以函数f(x)的值域为[－3,1]．

(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，

所以＝π，即ω＝2.

所以f(x)＝2sin(2x－)－1，

再由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以函数y＝f(x)的单调增区间为

[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

思维升华　三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．

　已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：

(1)函数f(x)的最小正周期；

(2)函数f(x)的单调区间；

(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．

解　(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋

＝5(sin 2x－cos 2x)＝5sin(2x－)，

所以函数的周期T＝＝π.

(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)，

所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．

(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的对称中心为(＋，0)(k∈Z)．

题型二　解三角形

例2　在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.

(1)求AB的长；

(2)求cos的值．

解　(1)由cos B＝，0<B<π，

得sin B＝＝，

又∵C＝，AC＝6，由正弦定理，得＝，

即＝⇒AB＝5.

(2)由(1)得sin B＝，cos B＝，sin C＝cos C＝，

则sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝，

cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－，则cos＝cos Acos＋sin Asin＝.

思维升华　根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍．

　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan＝2.

(1)求的值；

(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．

解　(1)由tan＝2，得tan A＝.

所以＝＝.

(2)由tan A＝，A∈(0，π)，

得sin A＝，cos A＝.

又由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.

由sin C＝sin(A＋B)＝sin得sin C＝，

设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.

题型三　三角函数和平面向量的综合应用

例3　已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．

(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；

(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．

解　(1)因为a∥b，

所以cos x＋sin x＝0，

所以tan x＝－.

cos2x－sin 2x＝＝＝.

(2)f(x)＝2(a＋b)·b

＝2(sin x＋cos x，－)·(cos x，－1)

＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋.

由正弦定理＝，得

sin A＝＝＝，

所以A＝或A＝.

因为b＞a，所以A＝.

所以f(x)＋4cos＝sin－，

因为x∈，所以2x＋∈，

所以－1≤f(x)＋4cos≤－.

所以f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范围是.

思维升华　(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．

　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知·＝2，cos B＝，b＝3，求：

(1)a和c的值；

(2)cos(B－C)的值．

解　(1)由·＝2，得c·acos B＝2.

又cos B＝，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.

解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.

因为a>c，所以a＝3，c＝2.

(2)在△ABC中，sin B＝

＝ ＝，

由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.

因为a＝b>c，所以C为锐角，

因此cos C＝＝ ＝.

于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C

＝×＋×＝.

1．已知函数f(x)＝Asin(x＋)，x∈R，且f()＝.

(1)求A的值；

(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．

解　(1)∵f()＝Asin(＋)＝Asin

＝A＝，∴A＝.

(2)由(1)知f(x)＝sin(x＋)，

故f(θ)＋f(－θ)

＝sin(θ＋)＋sin(－θ＋)＝，

∴[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)]＝，

∴cos θ＝，∴cos θ＝.

又θ∈(0，)，∴sin θ＝＝，

∴f(－θ)＝sin(π－θ)＝sin θ＝.

2．设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．

解　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2

＝2sin2x－(1－2sin xcos x)

＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1

＝sin 2x－cos 2x＋－1

＝2sin＋－1.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．

得到y＝2sin＋－1的图象．

再把得到的图象向左平移个单位，

得到y＝2sin x＋－1的图象，

即g(x)＝2sin x＋－1.

所以g＝2sin ＋－1＝.

3．已知△ABC的面积为2，且满足0<·≤4，设和的夹角为θ.

(1)求θ的取值范围；

(2)求函数f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos 2θ的值域．

解　(1)设在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

则由已知bcsin θ＝2,0<bccos θ≤4，

可得tan θ≥1，

又∵θ∈[0，π]，∴θ∈[，)．

(2)f(θ)＝2sin2(＋θ)－cos 2θ

＝1－cos(＋2θ)－cos 2θ

＝(1＋sin 2θ)－cos 2θ＝2sin(2θ－)＋1，

∵θ∈[，)，∴2θ－∈[，)．

∴2≤2sin(2θ－)＋1≤3.

∴函数f(θ)的值域是[2,3]．

4．函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求φ及图中x0的值；

(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．

解　(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，

因为0＜φ＜，故φ＝.

由于f(x)的最小正周期等于2，

所以由题图可知1＜x0＜2，

故＜πx0＋＜，

由f(x0)＝得cos＝，

所以πx0＋＝，x0＝.

(2)因为f＝cos

＝cos＝－sin πx，

所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx＝cos πxcos －sin πxsin －sin πx

＝cos πx－sin πx－sin πx＝cos πx－sin πx

＝sin.

当x∈时，－≤－πx≤.

所以－≤sin≤1，

故当－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；

当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.

5．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos B－bcos A＝c.

(1)求的值；

(2)求tan(A－B)的最大值．

解　(1)在△ABC中，

由正弦定理及acos B－bcos A＝c，

可得sin Acos B－cos Asin B＝sin C

＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，

即sin Acos B＝4cos Asin B，所以＝4.

(2)由(1)得tan A＝4tan B>0，

所以tan(A－B)＝

＝＝≤，

当且仅当＝4tan  B，即tan B＝时，等号成立，

故当tan A＝2，tan B＝时，tan(A－B)取最大值.

6．已知向量a＝(ksin ，cos2)，b＝(cos ，－k)，实数k为大于零的常数，函数f(x)＝a·b，x∈R，且函数f(x)的最大值为.

(1)求k的值；

(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若<A<π，f(A)＝0，且a＝2，求·的最小值．

解　(1)由题意，知f(x)＝a·b

＝(ksin ，cos2)·(cos ，－k)

＝ksin cos －kcos2

＝ksin －k·

＝(sin －cos )－

＝(sin －cos )－

＝sin(－)－.

因为x∈R，

所以f(x)的最大值为＝，则k＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝sin(－)－，

所以f(A)＝sin(－)－＝0，

化简得sin(－)＝，

因为<A<π，所以<－<，

则－＝，解得A＝.

因为cos A＝－＝＝，

所以b2＋c2＋bc＝40，

则b2＋c2＋bc＝40≥2bc＋bc，

所以bc≤＝20(2－)．

则·＝||||cos ＝－bc≥20(1－)，

所以·的最小值为20(1－)．