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2021年河南省郑州市中考数学二模试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年河南省郑州市中考数学二模试卷（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了填空题，八年级学生进行分析，过程如下等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省郑州市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
2．下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2021年河南春晚舞蹈节目《唐宫夜宴》功“出圈”，让传统文化活起来、让现代科技亮起来、让时代精神燃起来，受到全国网民的追捧．该节目视频在网络上的播放量突破5000万次，5000万用科学记数法表示为（ ）
A．5×103 B．0.5×104 C．5×107 D．50×103
4．如图，直线a∥b，直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．44° C．46° D．54°
5．小明在数学课上遇到下列四个算式，你认为运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣a） 2•a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a3＝2a6
6．若点A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的关系是（ ）
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x3＞x1 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
8．小明看到关于四川大凉山留守儿童的关报道后，想为这些孩子献一份爱心．六一儿童节当天他将三、四、五三个月挣得的800零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．200（1+2x）＝800
B．200×2（1+x）＝800
C．200（1+x）2＝800
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，连接FB，交DE于点P，给出以下结论：①CN＝FN+CD；②∠ADC＝∠ABF；③四边形CBFN为矩形；④∠AFB+∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP•BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分共15分）
11．写出一个大于3且小于4的无理数 ．
12．一元一次不等式组的所有整数解的和为 ．
13．小明和小亮准备报名参加学校社团，人需要在文学社、书画社、足球社、动漫社中选择一个，则他们刚好选择同一个社团的概率是 ．
14．如图，⊙O中，若直径AB＝4，C，D为⊙O上两点，且分别位于直径AB的两侧，C为弧AB的中点，∠BCD＝15°，则图中阴影部分的周长为 .（结果保留根号或π）．
15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出该分式正确的化简过程．
17．（9分）习近平总书记强调：“红色基因就是要传承．中华民族从站起来、富起来到强起来，经历了多少坎坷，创造了多少奇迹，要让后代牢记我们要不忘初心，永远不可迷失了方向和道路．”为鼓励大家读好红色经典故事某校开展了“传承红色基因读好红色经典”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有80名学生）的阅读效果，该校举行了红色经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
10
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
请回答下列问题：
（1）在上面两个表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）估计该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对红色经典文化知识掌握的总体水平较好，并说明理由．
18．（9分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，人民路AB与桥BC垂直．某校数学小组进行研学活动时，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝628m，AB＝400m，求出点D到AB的距离．（结果保留整数参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
19．（9分）为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动，郑州市某学校计划购买一批新的体育用品．经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下：
甲商店：所有商品按标价8折出售；
乙商店：一次购买商品总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买应付y甲元，去乙商店购买应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个商店购买体育用品更合算．
20．（9分）马老师带领同学们复习《圆》的内容时，展示出如下内容：“如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为6，过点C的切线交AB的延长线于点D．”马老师要求同学们在此基础上添加一个条件编制一道题目，并解答问题．
（1）若添加条件“∠D＝30°”，则AD的长为 ；
（2）小亮说：“我添加的条件是∠A＝30°，可以得到AC＝DC”你认为小亮的说法是否正确？请说明理由．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是多少？
22．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．我们可以参照初中学习探究函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，请将下列探究过程补充完整
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
1
2
1
0
1
n
…
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1.6时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
23．（11分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．
特例探究：
（1）填空：如图3，当α＝30°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 ；如图4，当α＝45°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 ；
一般结论：
（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；
问题解决
（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．
2021年河南省郑州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
【分析】根据绝对值的性质求解．
【解答】解：根据正数的绝对值是它本身，得|5|＝5．
故选：D．
2．下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．2021年河南春晚舞蹈节目《唐宫夜宴》功“出圈”，让传统文化活起来、让现代科技亮起来、让时代精神燃起来，受到全国网民的追捧．该节目视频在网络上的播放量突破5000万次，5000万用科学记数法表示为（ ）
A．5×103 B．0.5×104 C．5×107 D．50×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5000万＝50000000＝5×107．
故选：C．
4．如图，直线a∥b，直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．44° C．46° D．54°
【分析】根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据∠2＝∠ACB﹣∠3即可得出答案．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝54°，
∴∠3＝54°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣54°＝36°．
故选：A．
5．小明在数学课上遇到下列四个算式，你认为运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣a） 2•a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a3＝2a6
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘除法、合并同类项等运算法则计算判断即可．
【解答】解：A．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，故此运算错误；
B．（﹣a） 2•a3＝a2•a3＝a2+3＝a5，故此运算正确；
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此运算错误；
D．a3+a3＝2a3，故此运算错误；
故选：B．
6．若点A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的关系是（ ）
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x3＞x1 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
【分析】把把A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）依次代入解析式中求出x1、x2、x3即可比较选出答案．
【解答】解：把A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）分别代入反比例函数y＝﹣中得，
x1＝2，x2＝，x3＝﹣1，
∵2，
∴x1＞x3＞x2，
故选：C．
8．小明看到关于四川大凉山留守儿童的关报道后，想为这些孩子献一份爱心．六一儿童节当天他将三、四、五三个月挣得的800零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．200（1+2x）＝800
B．200×2（1+x）＝800
C．200（1+x）2＝800
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
【分析】等量关系为：三月份零花钱+四月份零花钱+五月份零花钱＝800，据此列出方程即可．
【解答】解：设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝800，
故选：D．
9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】解直角三角形求出OP即可．
【解答】解：由作图可知，OP⊥AD．
在Rt△OPD中，PD＝CD＝2，∠ADP＝60°，
∴OP＝PD•sin60°＝，
故选：A．
10．如图，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，连接FB，交DE于点P，给出以下结论：①CN＝FN+CD；②∠ADC＝∠ABF；③四边形CBFN为矩形；④∠AFB+∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP•BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据正方形的性质得到∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，利用AAS定理证明△FNA≌△ACD，根据全等三角形的性质得到AC＝FN，NA＝CD，判断①；根据三角形的外角性质判断②，根据矩形的判定定理判断③；根据三角形内角和定理判断④；证明△ACD∽△FEP，根据相似三角形的性质判断⑤．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAN＝90°，
∵FN⊥CA，
∴∠FNA＝90°＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠AFN，
在△FNA和△ACD中，
，
∴△FNA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FN，NA＝CD，
∴CN＝NA+AC＝FN+CD，①结论正确；
∵FN＝AC，AC＝BC，
∴FN＝BC，
∵FN∥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CBFN为矩形，③结论正确；
∵四边形CBFN为矩形，
∴∠CBF＝90°，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∵∠ADC＞∠ABC，
∴∠ADC＞∠ABF，③结论错误；
∵∠ABF＝45°，
∴∠AFB+∠FAB＝135°，④结论正确；
∵∠FPE＝∠DPB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEP，
∴＝，
∵AD＝EF，AC＝BC，
∴EF2＝FP•BC，⑤结论正确；
故选：C．
二、填空题（每小题3分共15分）
11．写出一个大于3且小于4的无理数 π（答案不唯一） ．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
12．一元一次不等式组的所有整数解的和为 2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，则﹣1+0+1+2＝2，
故答案为2．
13．小明和小亮准备报名参加学校社团，人需要在文学社、书画社、足球社、动漫社中选择一个，则他们刚好选择同一个社团的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小亮和小明选同一个社团的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：将文学社、书画社、足球社、动漫社分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小亮和小明选同一个社团的有4种结果，
∴他们刚好选择同一个社团的概率是＝，
故答案为：．
14．如图，⊙O中，若直径AB＝4，C，D为⊙O上两点，且分别位于直径AB的两侧，C为弧AB的中点，∠BCD＝15°，则图中阴影部分的周长为 π+2+2 .（结果保留根号或π）．
【分析】作直径CE，连接DE、OD，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOC＝∠AOC＝90°，则根据等腰直角三角形的性质得到BC＝2，∠OCB＝45°，利用圆周角定理得到∠CDE＝90°，∠BOD＝30°，然后计算出CD和的长度，从而得到图中阴影部分的周长．
【解答】解：作直径CE，连接DE、OD，如图，
∵C为弧AB的中点，
∴∠BOC＝∠AOC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC＝OB＝2，∠OCB＝45°，
∵∠BCD＝15°，
∴∠DCE＝45°﹣15°＝30°，
∵CE为直径，
∴∠CDE＝90°，
∴DE＝CE＝2，
∴CD＝DE＝2，
∵∠BOD＝2∠BCD＝30°，
∴的长度＝＝π，
∴图中阴影部分的周长为π+2+2．
故答案为π+2+2．
15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．
【分析】点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2 所在的直线，当MQ⊥Q1Q2时值最小由题意可得MA＝MQ1＝1，∠Q1MA＝120°，然后由直角三角形求MQ即可．
【解答】解：由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在左侧所做的等边三角形BMQ1，
当BP等于BA时所做的等边三角形BPA，此时Q和A重合，
当P运动到点N时，以BP为边所做的等边三角形BNQ2，
∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2 所在的直线，
当MQ⊥Q1Q2时值最小，如图所示：
∵ABCD是矩形，AB＝2，AD＝2，M是AB边的中点，
∴AM＝BM＝1，
∵BMQ1是等边三角形，
∴MQ1＝AM＝BM＝1，∠BMQ1＝60°，
∴∠Q1MA＝120°，
∴∠MQ1Q＝30°，
又∵MQ⊥Q1Q2，
MQ＝．
故答案为：
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 三 步是进行分式的通分，通分的依据是 分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变） ；
②第 五 步开始出现错误，这一步错误的原因是 括号前面是“﹣”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 ；
任务二：请写出该分式正确的化简过程．
【分析】①根据分式的基本性质解答即可；
②根据去括号法则解答即可；
根据分式的加减运算法则计算即可得到答案．
【解答】解：任务一：
①第三步，分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变），
故答案为：三，分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；
②第五步，括号前面是“﹣”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
故答案为：五，括号前面是“﹣”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．
任务二：
＝
＝
＝
＝
＝．
17．（9分）习近平总书记强调：“红色基因就是要传承．中华民族从站起来、富起来到强起来，经历了多少坎坷，创造了多少奇迹，要让后代牢记我们要不忘初心，永远不可迷失了方向和道路．”为鼓励大家读好红色经典故事某校开展了“传承红色基因读好红色经典”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有80名学生）的阅读效果，该校举行了红色经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
10
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
请回答下列问题：
（1）在上面两个表格中：a＝ 11 ，b＝ 77.5 ，c＝ 81 ．
（2）估计该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对红色经典文化知识掌握的总体水平较好，并说明理由．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）求出90分以上的所占得百分比即可；
（3）根据中位数、众数的比较得出结论．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣7﹣1＝11，
将七年级学生成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝77.5，因此中位数是77.5，即b＝77.5，
八年级学生成绩出现次数最多的是81分，共出现3次，因此众数是81，即c＝81，
故答案为：11，77.5，81；
（2）（80+80）×＝12（人），
答：该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有12人；
（3）八年级学生的总体水平较好，
因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级学生的总体水平较好．
18．（9分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，人民路AB与桥BC垂直．某校数学小组进行研学活动时，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝628m，AB＝400m，求出点D到AB的距离．（结果保留整数参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，根据BE＝DF＝CF，列方程可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，
设DE＝x，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠DAE＝，
∴AE＝≈，
∴BE＝AB﹣AE＝400﹣，
又BF＝DE＝x，
∴CF＝BC﹣BF＝628﹣x，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，
∴∠CDF＝45°，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF＝628﹣x，
又BE＝DF，
即：400﹣＝628﹣x，
解得：x≈428，
故：点D到AB的距离约428m．
19．（9分）为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动，郑州市某学校计划购买一批新的体育用品．经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下：
甲商店：所有商品按标价8折出售；
乙商店：一次购买商品总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买应付y甲元，去乙商店购买应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个商店购买体育用品更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，y甲＝0.8x；
乙商店：当0≤x≤200时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x；
当x＞200时，y乙＝200+（x﹣200）×0.6＝0.6x+80，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2）由，解得，
点A的实际意义是当买的体育商品标价为400元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是320元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，当x＜400时，选择甲商店更合算；当x＝400时，两家商店所需费用相同；当x＞400时，选择乙商店更合算．
20．（9分）马老师带领同学们复习《圆》的内容时，展示出如下内容：“如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为6，过点C的切线交AB的延长线于点D．”马老师要求同学们在此基础上添加一个条件编制一道题目，并解答问题．
（1）若添加条件“∠D＝30°”，则AD的长为 9 ；
（2）小亮说：“我添加的条件是∠A＝30°，可以得到AC＝DC”你认为小亮的说法是否正确？请说明理由．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据含30°的直角三角形的性质计算；
（2）小亮的说法正确；根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，证明△OBC为等边三角形，利用ASA定理证明△ABC≌△DOC，则其对应边相等．
【解答】解：（1）连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
又∵∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝6，
∴AD＝OA+OD＝3+6＝9，
故答案为：9；
（2）小亮的说法正确，理由如下：
∵AB是⊙O是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴CO＝CB，∠CBA＝∠COD＝60°，
在△ABC和△DOC中，
，
∴△ABC≌△DOC（ASA）．
∴AC＝DC．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 x＝1 ，抛物线与y轴的交点坐标为 （0，﹣1） ；
（2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是多少？
【分析】（1）由对称轴方程x＝﹣，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x＝0，求得y，答案可得；
（2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，说明△＞0即可；
（3）利用当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可求得当x＝﹣2时，可以确定y的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1的对称轴为＝﹣＝1．
令x＝0，则y＝﹣1．
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）．
故答案为：x＝1；（0，﹣1）．
（2））令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，
整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0．
∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0，
∴直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点．
（3）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）的对称轴为x＝1，
∴顶点在﹣2≤x≤2范围内．
∵y的最大值是1，
∴顶点坐标为（1，1）．
∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1的开口向下．
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．
∵﹣2离对称轴x＝1更远些，
∴当x＝﹣2时，y有最小值．
将顶点（1，1）代入抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1中，
∴a﹣2a﹣1＝1．
∴a＝﹣2．
∴y＝﹣2x2+4x﹣1．
∴当x＝﹣2时，y＝﹣2×4+4×（﹣2）﹣1＝﹣17．
即y的最小值为﹣17．
22．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．我们可以参照初中学习探究函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，请将下列探究过程补充完整
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
1
2
1
0
1
n
…
其中，m＝ ，n＝ 2 ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 ＞ y2，x1 ＜ x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1.6时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝﹣中即可求得m的值；把x＝3代入y＝|x﹣1|中，即可求得n的值；
（2）描点连线即可；
（3）①A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＞y2；C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；
②当y＝1.6时，1.6＝|x﹣1|，则有x＝﹣0.6或x＝2.6；1.6＝﹣，则有x＝﹣1.25；
（4）由图象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．
【解答】解：（1）x＝﹣3代入y＝﹣得，y＝，
∴m＝，
把x＝3代入y＝|x﹣1|中得，y＝2，
∴n＝2，
故答案为，2；
（2）如图所示：
（3）①由图象可知A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＞y2；
C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＜x2；
故答案为＞，＜；
②当y＝1.6时，x＞﹣1时，有1.6＝|x﹣1|，
∴x＝﹣0.6或x＝2.6，
当y＝1.6时，x≤﹣1时，有1.6＝﹣，
∴x＝﹣1.25，
故x＝﹣0.6或x＝2.6或x＝﹣1.25；
（4）由图象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．
23．（11分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．
特例探究：
（1）填空：如图3，当α＝30°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 30° ；如图4，当α＝45°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 45° ；
一般结论：
（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；
问题解决
（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．
【分析】（1）如图3中，连接PB，延长BP交CQ的延长线于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．利用相似三角形的性质解决问题即可．图4同法可得．
（2）如图2中，连接PB，延长BP交CQ于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．利用相似三角形的性质解决问题即可．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，过点Q作QD⊥AC于D，连接PB．如图3﹣2中，过点Q作QD⊥AC于D，连接PB．分别利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图3中，连接PB，延长BP交CQ的延长线于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵＝＝cos30°＝，
∴△QAC∽△PAB，
∴＝＝，∠ABP＝∠ACQ，
∵∠AKB＝∠CKJ，
∴∠CJK＝∠BAK＝30°，
∵OP＝OM，∠POB＝∠MOC，OB＝OC，
∴△POB≌△MOC（SAS），
∴PB＝CM，∠BPO＝∠M，
∴＝，BJ∥CM，
∴∠RCM＝∠J＝30°．
如图4中，同法可证＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为45°．
故答案为：，30°，，45°．
（2）如图2中，连接PB，延长BP交CQ于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵＝＝cosα，
∴△QAC∽△PAB，
∴＝＝cosα，∠ABP＝∠ACQ，
∵∠AKB＝∠CKJ，
∴∠CJK＝∠BAK＝α，
∵OP＝OM，∠POB＝∠MOC，OB＝OC，
∴△POB≌△MOC（SAS），
∴PB＝CM，∠BPO＝∠M，
∴＝cosα，BJ∥CM，
∴∠RCM＝∠J＝α．
（3）如图3﹣1中，过点Q作QD⊥AC于D，连接PB．
∵△AQP，△ABC都是等腰直角三角形，AP＝3，AB＝4，
∴AQ＝QP＝，AC＝BC＝2，
∵QD＝2，
∴AD＝＝＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
∴CQ＝＝＝，
∵＝，
∴PB＝QC＝，
∴CM＝BP＝
如图3﹣2中，过点Q作QD⊥AC于D，连接PB．
同法可得AD＝，CD＝，
∴CQ＝＝＝，
∴CM＝PB＝CQ＝，
综上所述，满足条件的CM的值为或．
2021年河南省郑州市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
2．下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2021年河南春晚舞蹈节目《唐宫夜宴》功“出圈”，让传统文化活起来、让现代科技亮起来、让时代精神燃起来，受到全国网民的追捧．该节目视频在网络上的播放量突破5000万次，5000万用科学记数法表示为（ ）
A．5×103 B．0.5×104 C．5×107 D．50×103
4．如图，直线a∥b，直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．44° C．46° D．54°
5．小明在数学课上遇到下列四个算式，你认为运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣a） 2•a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a3＝2a6
6．若点A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的关系是（ ）
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x3＞x1 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
8．小明看到关于四川大凉山留守儿童的关报道后，想为这些孩子献一份爱心．六一儿童节当天他将三、四、五三个月挣得的800零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．200（1+2x）＝800
B．200×2（1+x）＝800
C．200（1+x）2＝800
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，连接FB，交DE于点P，给出以下结论：①CN＝FN+CD；②∠ADC＝∠ABF；③四边形CBFN为矩形；④∠AFB+∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP•BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分共15分）
11．写出一个大于3且小于4的无理数 ．
12．一元一次不等式组的所有整数解的和为 ．
13．小明和小亮准备报名参加学校社团，人需要在文学社、书画社、足球社、动漫社中选择一个，则他们刚好选择同一个社团的概率是 ．
14．如图，⊙O中，若直径AB＝4，C，D为⊙O上两点，且分别位于直径AB的两侧，C为弧AB的中点，∠BCD＝15°，则图中阴影部分的周长为 .（结果保留根号或π）．
15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出该分式正确的化简过程．
17．（9分）习近平总书记强调：“红色基因就是要传承．中华民族从站起来、富起来到强起来，经历了多少坎坷，创造了多少奇迹，要让后代牢记我们要不忘初心，永远不可迷失了方向和道路．”为鼓励大家读好红色经典故事某校开展了“传承红色基因读好红色经典”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有80名学生）的阅读效果，该校举行了红色经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
10
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
请回答下列问题：
（1）在上面两个表格中：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）估计该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对红色经典文化知识掌握的总体水平较好，并说明理由．
18．（9分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，人民路AB与桥BC垂直．某校数学小组进行研学活动时，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝628m，AB＝400m，求出点D到AB的距离．（结果保留整数参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
19．（9分）为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动，郑州市某学校计划购买一批新的体育用品．经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下：
甲商店：所有商品按标价8折出售；
乙商店：一次购买商品总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买应付y甲元，去乙商店购买应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个商店购买体育用品更合算．
20．（9分）马老师带领同学们复习《圆》的内容时，展示出如下内容：“如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为6，过点C的切线交AB的延长线于点D．”马老师要求同学们在此基础上添加一个条件编制一道题目，并解答问题．
（1）若添加条件“∠D＝30°”，则AD的长为 ；
（2）小亮说：“我添加的条件是∠A＝30°，可以得到AC＝DC”你认为小亮的说法是否正确？请说明理由．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是多少？
22．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．我们可以参照初中学习探究函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，请将下列探究过程补充完整
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
1
2
1
0
1
n
…
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1.6时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
23．（11分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．
特例探究：
（1）填空：如图3，当α＝30°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 ；如图4，当α＝45°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 ；
一般结论：
（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；
问题解决
（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．
2021年河南省郑州市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的
1．5的绝对值是（ ）
A．﹣5 B． C．﹣ D．5
【分析】根据绝对值的性质求解．
【解答】解：根据正数的绝对值是它本身，得|5|＝5．
故选：D．
2．下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3．2021年河南春晚舞蹈节目《唐宫夜宴》功“出圈”，让传统文化活起来、让现代科技亮起来、让时代精神燃起来，受到全国网民的追捧．该节目视频在网络上的播放量突破5000万次，5000万用科学记数法表示为（ ）
A．5×103 B．0.5×104 C．5×107 D．50×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：5000万＝50000000＝5×107．
故选：C．
4．如图，直线a∥b，直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．36° B．44° C．46° D．54°
【分析】根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据∠2＝∠ACB﹣∠3即可得出答案．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝54°，
∴∠3＝54°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣54°＝36°．
故选：A．
5．小明在数学课上遇到下列四个算式，你认为运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣a） 2•a3＝a5
C．（a+b）2＝a2+b2 D．a3+a3＝2a6
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘除法、合并同类项等运算法则计算判断即可．
【解答】解：A．a6÷a3＝a6﹣3＝a3，故此运算错误；
B．（﹣a） 2•a3＝a2•a3＝a2+3＝a5，故此运算正确；
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此运算错误；
D．a3+a3＝2a3，故此运算错误；
故选：B．
6．若点A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的关系是（ ）
A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x3＞x1 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1
【分析】把把A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）依次代入解析式中求出x1、x2、x3即可比较选出答案．
【解答】解：把A（x1，﹣2），B（x2，3），C（x3，4）分别代入反比例函数y＝﹣中得，
x1＝2，x2＝，x3＝﹣1，
∵2，
∴x1＞x3＞x2，
故选：C．
8．小明看到关于四川大凉山留守儿童的关报道后，想为这些孩子献一份爱心．六一儿童节当天他将三、四、五三个月挣得的800零花钱成功捐出．已知三月份小明做家务挣得零花钱200元，设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，则根据题意列出方程为（ ）
A．200（1+2x）＝800
B．200×2（1+x）＝800
C．200（1+x）2＝800
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝800
【分析】等量关系为：三月份零花钱+四月份零花钱+五月份零花钱＝800，据此列出方程即可．
【解答】解：设从三月份到五月份挣得零花钱的月平均增长率为x，
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝800，
故选：D．
9．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为CD的中点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，PD长为半径作弧，交AD于点E；②再分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ，交AD于点O，则线段OP的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】解直角三角形求出OP即可．
【解答】解：由作图可知，OP⊥AD．
在Rt△OPD中，PD＝CD＝2，∠ADP＝60°，
∴OP＝PD•sin60°＝，
故选：A．
10．如图，△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，连接FB，交DE于点P，给出以下结论：①CN＝FN+CD；②∠ADC＝∠ABF；③四边形CBFN为矩形；④∠AFB+∠FAB＝135°；⑤EF2＝FP•BC，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据正方形的性质得到∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，利用AAS定理证明△FNA≌△ACD，根据全等三角形的性质得到AC＝FN，NA＝CD，判断①；根据三角形的外角性质判断②，根据矩形的判定定理判断③；根据三角形内角和定理判断④；证明△ACD∽△FEP，根据相似三角形的性质判断⑤．
【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD+∠FAN＝90°，
∵FN⊥CA，
∴∠FNA＝90°＝∠ACB，
∴∠CAD＝∠AFN，
在△FNA和△ACD中，
，
∴△FNA≌△ACD（AAS），
∴AC＝FN，NA＝CD，
∴CN＝NA+AC＝FN+CD，①结论正确；
∵FN＝AC，AC＝BC，
∴FN＝BC，
∵FN∥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CBFN为矩形，③结论正确；
∵四边形CBFN为矩形，
∴∠CBF＝90°，
∵CB＝CA，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝45°，
∵∠ADC＞∠ABC，
∴∠ADC＞∠ABF，③结论错误；
∵∠ABF＝45°，
∴∠AFB+∠FAB＝135°，④结论正确；
∵∠FPE＝∠DPB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEP，
∴＝，
∵AD＝EF，AC＝BC，
∴EF2＝FP•BC，⑤结论正确；
故选：C．
二、填空题（每小题3分共15分）
11．写出一个大于3且小于4的无理数 π（答案不唯一） ．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
12．一元一次不等式组的所有整数解的和为 2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，2，则﹣1+0+1+2＝2，
故答案为2．
13．小明和小亮准备报名参加学校社团，人需要在文学社、书画社、足球社、动漫社中选择一个，则他们刚好选择同一个社团的概率是 ．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小亮和小明选同一个社团的有4种结果，再由概率公式求解即可．
【解答】解：将文学社、书画社、足球社、动漫社分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小亮和小明选同一个社团的有4种结果，
∴他们刚好选择同一个社团的概率是＝，
故答案为：．
14．如图，⊙O中，若直径AB＝4，C，D为⊙O上两点，且分别位于直径AB的两侧，C为弧AB的中点，∠BCD＝15°，则图中阴影部分的周长为 π+2+2 .（结果保留根号或π）．
【分析】作直径CE，连接DE、OD，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOC＝∠AOC＝90°，则根据等腰直角三角形的性质得到BC＝2，∠OCB＝45°，利用圆周角定理得到∠CDE＝90°，∠BOD＝30°，然后计算出CD和的长度，从而得到图中阴影部分的周长．
【解答】解：作直径CE，连接DE、OD，如图，
∵C为弧AB的中点，
∴∠BOC＝∠AOC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC＝OB＝2，∠OCB＝45°，
∵∠BCD＝15°，
∴∠DCE＝45°﹣15°＝30°，
∵CE为直径，
∴∠CDE＝90°，
∴DE＝CE＝2，
∴CD＝DE＝2，
∵∠BOD＝2∠BCD＝30°，
∴的长度＝＝π，
∴图中阴影部分的周长为π+2+2．
故答案为π+2+2．
15．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，点P为线段MN上一动点，以线段BP为边，在BP左侧作等边三角形BPQ，连接QM，则QM的最小值为 ．
【分析】点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2 所在的直线，当MQ⊥Q1Q2时值最小由题意可得MA＝MQ1＝1，∠Q1MA＝120°，然后由直角三角形求MQ即可．
【解答】解：由题意可知，当点P与点M重合时，以BP为边在左侧所做的等边三角形BMQ1，
当BP等于BA时所做的等边三角形BPA，此时Q和A重合，
当P运动到点N时，以BP为边所做的等边三角形BNQ2，
∴点P在线段MN上运动时，以BP为边的等边三角形BPQ的顶点Q的轨迹是线段Q1Q2 所在的直线，
当MQ⊥Q1Q2时值最小，如图所示：
∵ABCD是矩形，AB＝2，AD＝2，M是AB边的中点，
∴AM＝BM＝1，
∵BMQ1是等边三角形，
∴MQ1＝AM＝BM＝1，∠BMQ1＝60°，
∴∠Q1MA＝120°，
∴∠MQ1Q＝30°，
又∵MQ⊥Q1Q2，
MQ＝．
故答案为：
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
＝……第一步
＝……第二步
＝……第三步
＝……第四步
＝……第五步
＝……第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 三 步是进行分式的通分，通分的依据是 分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变） ；
②第 五 步开始出现错误，这一步错误的原因是 括号前面是“﹣”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 ；
任务二：请写出该分式正确的化简过程．
【分析】①根据分式的基本性质解答即可；
②根据去括号法则解答即可；
根据分式的加减运算法则计算即可得到答案．
【解答】解：任务一：
①第三步，分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变），
故答案为：三，分式的基本性质（或填为：分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；
②第五步，括号前面是“﹣”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；
故答案为：五，括号前面是“﹣”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号．
任务二：
＝
＝
＝
＝
＝．
17．（9分）习近平总书记强调：“红色基因就是要传承．中华民族从站起来、富起来到强起来，经历了多少坎坷，创造了多少奇迹，要让后代牢记我们要不忘初心，永远不可迷失了方向和道路．”为鼓励大家读好红色经典故事某校开展了“传承红色基因读好红色经典”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有80名学生）的阅读效果，该校举行了红色经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：
收集数据：
七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，78，81，71，75，80，86，59，83，77．
八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．
整理数据：
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
七年级
0
1
0
a
7
1
八年级
1
0
0
7
10
2
分析数据：
平均数
众数
中位数
七年级
78
75
b
八年级
78
c
80.5
请回答下列问题：
（1）在上面两个表格中：a＝ 11 ，b＝ 77.5 ，c＝ 81 ．
（2）估计该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？
（3）你认为哪个年级的学生对红色经典文化知识掌握的总体水平较好，并说明理由．
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）求出90分以上的所占得百分比即可；
（3）根据中位数、众数的比较得出结论．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣7﹣1＝11，
将七年级学生成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝77.5，因此中位数是77.5，即b＝77.5，
八年级学生成绩出现次数最多的是81分，共出现3次，因此众数是81，即c＝81，
故答案为：11，77.5，81；
（2）（80+80）×＝12（人），
答：该校七、八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有12人；
（3）八年级学生的总体水平较好，
因为七、八年级的平均数相等，而八年级的众数和中位数大于七年级的众数和中位数，
所以八年级得分高的人数较多，即八年级学生的总体水平较好．
18．（9分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，人民路AB与桥BC垂直．某校数学小组进行研学活动时，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝628m，AB＝400m，求出点D到AB的距离．（结果保留整数参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，根据BE＝DF＝CF，列方程可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，
设DE＝x，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠DAE＝，
∴AE＝≈，
∴BE＝AB﹣AE＝400﹣，
又BF＝DE＝x，
∴CF＝BC﹣BF＝628﹣x，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，
∴∠CDF＝45°，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF＝628﹣x，
又BE＝DF，
即：400﹣＝628﹣x，
解得：x≈428，
故：点D到AB的距离约428m．
19．（9分）为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动，郑州市某学校计划购买一批新的体育用品．经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下：
甲商店：所有商品按标价8折出售；
乙商店：一次购买商品总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买应付y甲元，去乙商店购买应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两图象交于点A，请求出A点坐标，并说明点A的实际意义；
（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个商店购买体育用品更合算．
【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由点A的意义并结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意可得，y甲＝0.8x；
乙商店：当0≤x≤200时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x；
当x＞200时，y乙＝200+（x﹣200）×0.6＝0.6x+80，
由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙＝；
（2）由，解得，
点A的实际意义是当买的体育商品标价为400元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是320元；
（3）由点A的意义，结合图象可知，当x＜400时，选择甲商店更合算；当x＝400时，两家商店所需费用相同；当x＞400时，选择乙商店更合算．
20．（9分）马老师带领同学们复习《圆》的内容时，展示出如下内容：“如图，△ABC内接于⊙O，直径AB的长为6，过点C的切线交AB的延长线于点D．”马老师要求同学们在此基础上添加一个条件编制一道题目，并解答问题．
（1）若添加条件“∠D＝30°”，则AD的长为 9 ；
（2）小亮说：“我添加的条件是∠A＝30°，可以得到AC＝DC”你认为小亮的说法是否正确？请说明理由．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据含30°的直角三角形的性质计算；
（2）小亮的说法正确；根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，证明△OBC为等边三角形，利用ASA定理证明△ABC≌△DOC，则其对应边相等．
【解答】解：（1）连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
又∵∠D＝30°，
∴OD＝2OC＝6，
∴AD＝OA+OD＝3+6＝9，
故答案为：9；
（2）小亮的说法正确，理由如下：
∵AB是⊙O是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，又OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴CO＝CB，∠CBA＝∠COD＝60°，
在△ABC和△DOC中，
，
∴△ABC≌△DOC（ASA）．
∴AC＝DC．
21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 x＝1 ，抛物线与y轴的交点坐标为 （0，﹣1） ；
（2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是多少？
【分析】（1）由对称轴方程x＝﹣，将对应系数代入可得，令抛物线解析式中的x＝0，求得y，答案可得；
（2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，说明△＞0即可；
（3）利用当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，可求得a的值，再利用二次函数图象的特点可求得当x＝﹣2时，可以确定y的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1的对称轴为＝﹣＝1．
令x＝0，则y＝﹣1．
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）．
故答案为：x＝1；（0，﹣1）．
（2））令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，
整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0．
∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0，
∴直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点．
（3）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）的对称轴为x＝1，
∴顶点在﹣2≤x≤2范围内．
∵y的最大值是1，
∴顶点坐标为（1，1）．
∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1的开口向下．
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．
∵﹣2离对称轴x＝1更远些，
∴当x＝﹣2时，y有最小值．
将顶点（1，1）代入抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1中，
∴a﹣2a﹣1＝1．
∴a＝﹣2．
∴y＝﹣2x2+4x﹣1．
∴当x＝﹣2时，y＝﹣2×4+4×（﹣2）﹣1＝﹣17．
即y的最小值为﹣17．
22．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．我们可以参照初中学习探究函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，请将下列探究过程补充完整
（1）列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
m
1
2
1
0
1
n
…
其中，m＝ ，n＝ 2 ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣1，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 ＞ y2，x1 ＜ x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1.6时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝﹣中即可求得m的值；把x＝3代入y＝|x﹣1|中，即可求得n的值；
（2）描点连线即可；
（3）①A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＞y2；C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；
②当y＝1.6时，1.6＝|x﹣1|，则有x＝﹣0.6或x＝2.6；1.6＝﹣，则有x＝﹣1.25；
（4）由图象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．
【解答】解：（1）x＝﹣3代入y＝﹣得，y＝，
∴m＝，
把x＝3代入y＝|x﹣1|中得，y＝2，
∴n＝2，
故答案为，2；
（2）如图所示：
（3）①由图象可知A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，所以y1＞y2；
C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＜x2；
故答案为＞，＜；
②当y＝1.6时，x＞﹣1时，有1.6＝|x﹣1|，
∴x＝﹣0.6或x＝2.6，
当y＝1.6时，x≤﹣1时，有1.6＝﹣，
∴x＝﹣1.25，
故x＝﹣0.6或x＝2.6或x＝﹣1.25；
（4）由图象可知，﹣1＜b＜2或b＞3．
23．（11分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．
特例探究：
（1）填空：如图3，当α＝30°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 30° ；如图4，当α＝45°时，＝ ，直线CQ与CM所夹锐角的度数为 45° ；
一般结论：
（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；
问题解决
（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．
【分析】（1）如图3中，连接PB，延长BP交CQ的延长线于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．利用相似三角形的性质解决问题即可．图4同法可得．
（2）如图2中，连接PB，延长BP交CQ于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．利用相似三角形的性质解决问题即可．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，过点Q作QD⊥AC于D，连接PB．如图3﹣2中，过点Q作QD⊥AC于D，连接PB．分别利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图3中，连接PB，延长BP交CQ的延长线于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵＝＝cos30°＝，
∴△QAC∽△PAB，
∴＝＝，∠ABP＝∠ACQ，
∵∠AKB＝∠CKJ，
∴∠CJK＝∠BAK＝30°，
∵OP＝OM，∠POB＝∠MOC，OB＝OC，
∴△POB≌△MOC（SAS），
∴PB＝CM，∠BPO＝∠M，
∴＝，BJ∥CM，
∴∠RCM＝∠J＝30°．
如图4中，同法可证＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为45°．
故答案为：，30°，，45°．
（2）如图2中，连接PB，延长BP交CQ于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．
∵∠PAQ＝∠BAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵＝＝cosα，
∴△QAC∽△PAB，
∴＝＝cosα，∠ABP＝∠ACQ，
∵∠AKB＝∠CKJ，
∴∠CJK＝∠BAK＝α，
∵OP＝OM，∠POB＝∠MOC，OB＝OC，
∴△POB≌△MOC（SAS），
∴PB＝CM，∠BPO＝∠M，
∴＝cosα，BJ∥CM，
∴∠RCM＝∠J＝α．
（3）如图3﹣1中，过点Q作QD⊥AC于D，连接PB．
∵△AQP，△ABC都是等腰直角三角形，AP＝3，AB＝4，
∴AQ＝QP＝，AC＝BC＝2，
∵QD＝2，
∴AD＝＝＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
∴CQ＝＝＝，
∵＝，
∴PB＝QC＝，
∴CM＝BP＝
如图3﹣2中，过点Q作QD⊥AC于D，连接PB．
同法可得AD＝，CD＝，
∴CQ＝＝＝，
∴CM＝PB＝CQ＝，
综上所述，满足条件的CM的值为或．
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