2021年河南省南阳市社旗县中考数学二模试卷（word版 含答案）

这是一份2021年河南省南阳市社旗县中考数学二模试卷（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年河南省南阳市社旗县中考数学二模试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（﹣2）﹣1＝（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
2．我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8×106吨．用科学记数法表示铝、锰元素总量的和，接近值是（　　）吨
A．8×106 B．16×106 C．1.6×107 D．16×1012
3．2020年4月7日，中国邮政发行了《众志成城 抗击疫情》邮票一套两枚（图1），以此纪念在抗击新冠肺炎疫情的过程中，中国人民所展现出的“中国精神、中国力量、中国担当”．两枚邮票用一个“众”字型的背景图案巧妙相连，从几何的角度看，这个图案（图2）（　　）

A．是中心对称图形而不是轴对称图形
B．是轴对称图形而不是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
4．下列说法正确的是（　　）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．对某池塘中现有鱼的数量的调查，最适合采用全面调查
C．“任意画一个三角形，其内角和是180°”这个事件是必然事件
D．对角线相等的四边形是矩形
5．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
6．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C．x2y3÷＝2x3y3 D．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2
7．能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+n＝0一定有实根”是假命题的反例为（　　）
A．n＝﹣2 B．n＝﹣1 C．n＝0 D．n＝6
8．已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（　　）
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．m，n的大小不确定
9．如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），B（4，0），C（5，），∠AOB＝60°，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图；①分别以点O，A为圆心，以大于OA的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；②连接MN，交AO于点E，交x轴于点F，则点F的坐标为（　　）

A．（1，0） B．（2，0） C．（，0） D．（，0）
10．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请把正确答案填在题中的横线上）
11．若分式的值为0，则x的值为　 　．
12．不等式组的最小整数解是　 　．
13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是　 　．

14．如图所示的阴影部分是某种商品的商标图案．已知菱形ABCD边长是4cm，∠A＝60°，弧BD是以A为圆心，AB为半径的弧，弧CD是以B为圆心，BC为半径的弧，则该商标图案的面积是　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，共75分。）
16．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M．
（2）先求整式P，再自选一个喜欢的x值代入求出P值．

17．截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利!为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元），并对数据进行整理，描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．
a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如图1（数据分成8组：0＜x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x＜160）；
b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）：
25 28 28 30 37 37 38 39 39
（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为　 　（亿元）；
（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第　 　名；
（3）小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图（如图2）：
①比较2016年﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差s2A　 　s2B（填写“＞”或者“＜”）；
②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．

18．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）

19．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天）
1≤x≤7
8≤x≤14
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
20．请阅读以下材料，并完成相应的任务．
在《阿基米德全集》中的（引理集）中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理，其中第二个引理是：如图1．点P是上的任意一点，PC⊥AB于点C，点D在弦AB上且AC＝CD，在上取一点Q，使＝，连接BQ，则有BQ＝BD．

（1）如图2，小聪同学尝试说明BQ＝BD，于是他连接了PA，PB，PD，PQ，请根据小聪的思路完成后续证明过程；
（2）如图3，以AB为直径的半圆上有一点P，AP＝6，AB＝10，直线l与⊙O相切于点P，过点B作BE⊥l于点E，交⊙O于点Q，则BQ＝　 　．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过（1，0），（3，0），（0，6）三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上．
（1）求抛物线解析式，并直接写出当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差．
（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，
①当点C首次落在抛物线上，求h的值．
②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．

22．阅读下列材料：
某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x
（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
18
20
21
24
32
…
水箱中水的温度y
（单位：℃）
20
35
50
65
80
64
40
32
20
m
80
64
40
20
…
m的值为　 　；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式　 　；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式　 　；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源　 　min．
23．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目求的）
1．（﹣2）﹣1＝（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
解：（﹣2）﹣1＝﹣．
故选：A．
2．我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8×106吨．用科学记数法表示铝、锰元素总量的和，接近值是（　　）吨
A．8×106 B．16×106 C．1.6×107 D．16×1012
解：∵铝、锰元素总量均约为8×106吨，
∴铝、锰元素总量的和，接近值是：8×106+8×106＝1.6×107（吨）．
故选：C．
3．2020年4月7日，中国邮政发行了《众志成城 抗击疫情》邮票一套两枚（图1），以此纪念在抗击新冠肺炎疫情的过程中，中国人民所展现出的“中国精神、中国力量、中国担当”．两枚邮票用一个“众”字型的背景图案巧妙相连，从几何的角度看，这个图案（图2）（　　）

A．是中心对称图形而不是轴对称图形
B．是轴对称图形而不是中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
解：此图案：是轴对称图形而不是中心对称图形．
故选：B．
4．下列说法正确的是（　　）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．对某池塘中现有鱼的数量的调查，最适合采用全面调查
C．“任意画一个三角形，其内角和是180°”这个事件是必然事件
D．对角线相等的四边形是矩形
解：A、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，故此选项错误；
B、对某池塘中现有鱼的数量的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
C、“任意画一个三角形，其内角和是180°”这个事件是必然事件，故此选项正确；
D、对角线相等且平分的的四边形是矩形，故此选项错误；
故选：C．
5．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°
解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
故选：B．

6．下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C．x2y3÷＝2x3y3 D．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2
解：A.＝2，故此选项错误；
B.+＝+
＝，故此选项错误；
C．x2y3÷＝2x2y3，故此选项错误；
D．（a+b）（b﹣a）＝b2﹣a2，故此选项正确．
故选：D．
7．能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+n＝0一定有实根”是假命题的反例为（　　）
A．n＝﹣2 B．n＝﹣1 C．n＝0 D．n＝6
解：∵关于x的方程x2﹣4x+n＝0一定有实数根，
∴b2﹣4ac＝16﹣4n≥0，
解得：n≤4，
∵命题“关于x的方程x2﹣4x+n＝0一定有实数根”是假命题，
∴n的值可以是：n＝6（答案不唯一）．
故选：D．
8．已知点A（a，m），B（a﹣1，n），C（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上．若a＞1，则m，n的大小关系是（　　）
A．m＜n B．m＞n
C．m＝n D．m，n的大小不确定
解：将点C（﹣2，3）代入反比例函数y＝中得：k＝﹣6，
∵k＜0，
∴在该反比例函数图象的每个象限内，y随x的增大而增大，
又∵a＞1，
∴a＞a﹣1＞0，
∴m＞n；
故选：B．
9．如图，已知平行四边形AOBC的顶点O（0，0），B（4，0），C（5，），∠AOB＝60°，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图；①分别以点O，A为圆心，以大于OA的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；②连接MN，交AO于点E，交x轴于点F，则点F的坐标为（　　）

A．（1，0） B．（2，0） C．（，0） D．（，0）
解：∵B（4，0），C（5，），
∴BC＝＝2，
∵四边形AOBC为平行四边形，
∴OA＝BC＝2，
由作法得EF垂直平分OA，
∴OE＝1，∠OEF＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴OF＝2OE＝2，
∴F点坐标为（2，0）．
故选：B．
10．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请把正确答案填在题中的横线上）
11．若分式的值为0，则x的值为　0　．
解：由题意可得x＝0且3x+2≠0，
解得x＝0．
故答案为0．
12．不等式组的最小整数解是　﹣2　．
解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
∴不等式组的最小整数解是﹣2，
故答案为：﹣2．
13．二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，指针落在惊蛰、春分、清明区域的概率是　　．

解：∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中惊蛰、春分、清明有3份，
∴指针落在惊蛰、春分、清明的概率是：．
故答案为：
14．如图所示的阴影部分是某种商品的商标图案．已知菱形ABCD边长是4cm，∠A＝60°，弧BD是以A为圆心，AB为半径的弧，弧CD是以B为圆心，BC为半径的弧，则该商标图案的面积是　4cm2　．

解：作DE⊥AB于E．
∵菱形ABCD边长是4cm，∠A＝60°，
∴DE＝2，
∴S菱形ABCD＝AB×DE＝8cm2，
∴S阴影＝4cm2．
故答案为：4cm2．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E、F分别为AB、CD边上的点，且EF∥BC，G为EF上一点，且GF＝2，M、N分别为GD、EC的中点，则MN＝　3　．

解：如图，取DF的中点H，CF的中点Q，连接MH，NQ，过点M作MK⊥NQ于K，

∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝AD＝8，
∵M、N分别为GD、EC的中点，H是DF的中点，Q是CF的中点，
∴NQ＝EF＝4，MH＝GF＝1，MH∥EF，NQ∥EF，HQ＝CD＝3，
∴MH∥NQ，
∵KM⊥NQ，∠NQD＝90°，
∴MK∥HQ，
∴四边形MHQK是平行四边形，
∴MK＝3，KQ＝MH＝1，
∴NK＝3，
∴MN＝MK＝3，
方法二，连接BF，连接FM并延长交AD于H，连接BH，

∵EF∥BC，AB∥CD，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵∠BCD＝90°，
∴四边形BCFE是矩形，
∴BN＝FN，
∵AD∥EF，
∴∠ADM＝∠DGF，∠DHM＝∠GFM，
又∵DM＝MG，
∴△DHM≌△GFM（AAS），
∴DH＝GF＝2，HM＝FM，
∴BH＝2MN，
∵AB＝6，AH＝AD﹣HD＝6，
∴BH＝6，
∴NM＝3，
故答案为3．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。）
16．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M．
（2）先求整式P，再自选一个喜欢的x值代入求出P值．

解：（1）由题意得：
M＝（2x﹣5）﹣（﹣x2+3x﹣1）
＝2x﹣5+x2﹣3x+1
＝x2﹣x﹣4；

（2）N＝（3x2+2x+1）+（﹣4x2+2x﹣5）
＝3x2+2x+1﹣4x2+2x﹣5
＝﹣x2+4x﹣4，
P＝2x﹣5+（﹣x2+4x﹣4）
＝﹣x2+6x﹣9，
当x＝1时，原式＝﹣1+6﹣9＝﹣4．
17．截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利!为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元），并对数据进行整理，描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．
a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如图1（数据分成8组：0＜x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x＜160）；
b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）：
25 28 28 30 37 37 38 39 39
（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为　37.5　（亿元）；
（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第　六　名；
（3）小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图（如图2）：
①比较2016年﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差s2A　＞　s2B（填写“＞”或者“＜”）；
②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．

解：（1）将这28个省、直辖市、自治区分配扶贫资金额度从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝37.5（亿元），因此中位数是37.5亿元，
故答案为：37.5；
（2）由条形统计图可知，100≤x＜120的有2个省，120≤x＜140的有2个省，140≤x＜160的有1个省，而95亿元在80≤x＜100且只有1个省，因此它位于第六名；
故答案为：六；
（3）①由两个自治区2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金变化情况的折线统计图可直观得到，A自治区的比B自治区的变化、波动要大，所以＞，
故答案为：①＞；
②由折线统计图可知：对A自治区2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金逐年增加，且增加的幅度较大，说明中央对A自治区扶贫情况加大力度和资金支持，
B自治区由于扶贫资金的投入，脱贫效果比较明显．
18．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）

解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝即＝，
解得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．

19．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天）
1≤x≤7
8≤x≤14
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
80﹣3x
120﹣x
储存和损耗费用（元）
40+3x
3x2﹣64x+400
解：（1）设该种水果每次降价的百分率是x，
10（1﹣x）2＝8.1，
x＝10%或x＝190%（舍去），
答：该种水果每次降价的百分率是10%；
（2）当1≤x≤7时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）＝9，
∴y＝（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）
＝﹣17.7x+352，
∵﹣17.7＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝1时，y有最大值，y大＝﹣17.7×1+352＝334.3（元），
当8≤x≤14时，第2次降价后的价格：8.1元，
∴y＝（8.1﹣4.1）（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400）
＝﹣3x2+60x+80
＝﹣3（x﹣10）2+380，
∴当x＝10时，y有最大值，y大＝380（元），
综上所述，y与x（1≤x≤14）之间的函数关系式为：y＝．
20．请阅读以下材料，并完成相应的任务．
在《阿基米德全集》中的（引理集）中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的六个有关圆的引理，其中第二个引理是：如图1．点P是上的任意一点，PC⊥AB于点C，点D在弦AB上且AC＝CD，在上取一点Q，使＝，连接BQ，则有BQ＝BD．

（1）如图2，小聪同学尝试说明BQ＝BD，于是他连接了PA，PB，PD，PQ，请根据小聪的思路完成后续证明过程；
（2）如图3，以AB为直径的半圆上有一点P，AP＝6，AB＝10，直线l与⊙O相切于点P，过点B作BE⊥l于点E，交⊙O于点Q，则BQ＝　　．
解：（1）如图1所示，连接CE、BC，

∵PC⊥AD，AC＝CD，
∴PC垂直平分线段AD，
∴PA＝PD，
∴∠PAC＝∠PDC，
又∵，
∴PQ＝PA，∠QBP＝∠DBP，
∴PQ＝PD，
又∵∠A+∠Q＝180°，∠PDC+∠PDB＝180°，
∴∠Q＝∠PDB，
∴△PQB≌△PDB（AAS），
∴BQ＝BD；
（2）解：连接PQ，

∵AB＝10，AP＝6，
∴BP＝＝＝8，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°，
∵BE⊥l于点E，
∴∠BEP＝90°，
∴∠APB＝∠PEB，
∵＝，
∴∠APB＝∠PEB，
∴△APB∽△PBE，
∴，
∴，
∴BE＝，
∵四边形PABQ内接于半圆，
∴∠PQE＝∠PAB，
又∵∠PEQ＝∠APB，
∴△PQE∽△BAP，
∴，
∴，
∴EQ＝，
∴BQ＝BE﹣EQ＝＝．
故答案为．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过（1，0），（3，0），（0，6）三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上．
（1）求抛物线解析式，并直接写出当﹣1≤x≤4时，y的最大值与最小值的差．
（2）将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，
①当点C首次落在抛物线上，求h的值．
②当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围．

解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝2x2﹣8x+6，
由抛物线的表达式知，其顶点坐标为（2，﹣2），
当x＝﹣1时，y＝2x2﹣8x+6＝16，
故当﹣1≤x≤4时，x＝﹣1时，y取得最大值16，而在顶点处取得最小值﹣2，
∴y的最大值与最小值的差为16﹣（﹣2）＝18；

（2）①当点C首次落在抛物线上，则yC＝4＝2x2﹣8x+6，解得x＝2（舍去负值），
则h＝x＝2﹣；
②当点C首次落在抛物线上，h＝2﹣，当h＞2﹣时，抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，
当h＝3时，即正方形运动到点（3，0）处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，
当h＞3时，对称轴右侧的抛物线进入正方形内，即满足y随x的增大而减小，故h≤3；
故2﹣＜h≤3．
22．阅读下列材料：
某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环．
小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况
接通电源后的时间x
（单位：min）
0
1
2
3
4
5
8
10
16
18
20
21
24
32
…
水箱中水的温度y
（单位：℃）
20
35
50
65
80
64
40
32
20
m
80
64
40
20
…
m的值为　50　；
（2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式　y＝15x+20　；
当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式　　；
②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象：
（3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源　56　min．
解：（1）由题意可知2分钟温度上升30℃，所以m＝50，
故答案为50．

（2）①当0≤x≤4时，函数解析式是一次函数，y＝15x+20．
②当4＜x≤16时，函数解析式是反比例函数y＝．
故答案为y＝15x+20，y＝．

（3）函数图象如图所示，


（4）观察图象可知预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源56min．
故答案为56．
23．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE＝∠FBC＝15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF•DF＝AB•DE，
∵AF•DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴EF＝3，
∴DF＝＝＝，
∴AF＝＝2，
∴BC＝AD＝AF+DF＝2＝3．
（3）过点N作NG⊥BF于点G，

∵NF＝AN+FD，
∴NF＝AD＝BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y＝x．
∴BF＝BG+GF＝2x+x＝x．
∴＝．