2022年河南省郑州市巩义市、荥阳市中考数学二模试卷（含解析）

2022年河南省郑州市巩义市、荥阳市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 年我国主要经济数据于年月日公布，数据显示，年，国内生产总值同比增长，经济总量突破万亿元，达到万亿元，稳居世界第二，占全球经济的比重预计超过，“十四五”实现了良好开局．其中“万亿”用科学记数法表示正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.
 

4. 如图，已知，含角的直角三角形的两个顶点分别在，上．若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，已知下列尺规作图：
   作一个角的平分线；
   作一条线段的垂直平分线；
   过直线外一点作已知直线的垂线．
   其中作法正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 南宋数学家杨辉所著田亩比类乘除算法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是平方步，它的宽和长共步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为步，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

7. 如图，点是上一点，连接弦于点若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 现有四张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面的图案恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的概率是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，菱形的顶点与原点重合，点在轴上，点的坐标为将菱形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，矩形中，点沿折线从点匀速运动到点，连接，设点运动的路程为，线段的长度为，图是点运动时随变化的关系图象，当时，点与点重合，则点的纵坐标为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 若是最简二次根式，写出一个符合条件的的值：______．
12. 一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
13. 年中考体育考试报名时，小玉同学要从实心球和一分钟跳绳满分均为分中选一项报考，小玉同学记录的五次模拟测试的成绩如下表：

根据表中数据，你认为小玉同学应选______填“实心球”或“一分钟跳绳”

14. 如图，点是半径为的半圆上的点，长度为的线段在直径上，当的周长最短时，阴影部分的面积为______．

15. 如图，矩形中，，是边上一动点，连接将沿翻折，得到，连接当的面积为时，线段的长为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：；
    化简：．
17. 年月日，教育部发布关于加强义务教育学校作业管理的通知，针对学校作业数量过多、质量不高、功能异化等突出问题，提出中小学生作业管理的“十条要求”要求初中生书面作业平均完成时间不超过分钟，每天完成作业总时长不超过小时．在此通知发布一周年之际，为了了解学校对政策的落实情况，某地教育局对本地初中生作业完成时间进行抽样调查，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
    
    根据如图所示的信息，解答下列问题：
    教育局一共抽样调查了______名学生；在扇形统计图中，完成作业时间为小时的扇形圆心角度数为______
    将条形统计图补充完整．
    若该市共有初中生人，请据此估计该市初中生完成作业时间超过小时的学生人数．
    通过本次调查，你认为该市初中学校的作业布置是否满足教育部的“作业管理”的要求？请说明理由，并给出相应的建议．
18. 某校测绘社团欲利用周末时间测量学校附近某建筑物上的广告牌的高度．受条件的限制，无法直接测量该广告牌的高度，小亮给出如下方案：如图，在建筑物正前方找一点，使得在处测得广告牌上端的仰角为，同时测得广告牌下端的仰角然后在垂直于建筑物方向上找一点，使得在处测得广告牌上端的仰角为，测量、间的距离，然后根据测得的数据即可求出广告牌的高度，经实地测量为，为米，你认为小亮的方案可行吗？如果可行，请你帮助他们计算出广告牌的高度；如果不可行，请说明理由．结果精确到，参考数据：，，，

19. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，连接，的面积为．
    求一次函数和反比例函数的解析式：
    结合图象直接写出当时，不等式的解集．
20. 如图，四边形中，，，以点为圆心，为半径的交于点，．
    求证：是的切线；
    当______时，四边形是正方形；
    当______时，以点，，，为顶点的四边形是菱形．
21. 年，在邓小平同志的提议下，我国将月日正式确定为植树节．在今年植树节来临之际，某校为进一步美化校园，在校园内的空地处栽种甲、乙两种树苗．通过市场了解，每棵甲种树苗的价钱是每棵乙种树苗价钱的倍，用元购买的乙种树苗比用元购买的甲种树苗多棵．
    每棵甲、乙树苗分别为多少元？
    若学校计划拿出元全部用于购买甲、乙两种树苗两种树苗都购买，则共有______种购买方案；
    现学校计划栽种棵树苗，为了使观赏效果更佳，甲种树苗的数量需不低于乙种树苗数量的，请你用函数的知识说明，如何购买能使总费用最低？并求出最低费用．
22. 已知抛物线经过点，与轴交于点．
    求点的坐标，并用含的式子表示；
    在的条件下，当时，抛物线的最大值为，求的值；
    若抛物线上存在一点，使是等腰直角三角形，请直接写出的值．
23. 如图，是等腰直角三角形，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接．
     

求证：．
如图，连接，交于点．
求证：；
当是等腰三角形时，请直接写出的长．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的定义，求解即可．
本题考查了相反数的定义，属于基础题．
 

2.【答案】

【解析】解：万亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】

【解析】解：从上面看所得到的图形是一个长方形，矩形内部中间有一个没有圆心的圆．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

4.【答案】

【解析】解：由题意得，
，，
，
是的外角，
．
故选：．
由题意可得，由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

5.【答案】

【解析】解：利用基本作图得作一个角的平分线，所以正确；
过直线外一点作已知直线的垂线，所以正确．
故选：．
利用种基本作图对题中的三个作图进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直线、射线、线段．
 

6.【答案】

【解析】解：设长为步，则宽为步，
依题意，得：，
故选：．
设长为步，则宽为步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为平方步，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，连接，
，，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
故选：．
求出圆的半径，再利用垂径定理和勾股定理即可求出答案．
本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的前提．
 

8.【答案】

【解析】解：把张卡片分别记为：、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面的图案恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的结果有种，
则这两张卡片正面的图案恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的概率为．
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中这两张卡片正面的图案恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，作轴于．
点的坐标为，
，，
在中，，
点的坐标为，
，
第次旋转结束时，与菱形逆时针旋转的位置一样，
由中心图形的对称性可知，第次旋转结束时，点的坐标为．
故选：．
如图，作轴于利用勾股定理求出，可得点的坐标，再由旋转的角度，可知旋转次是一个循环，则第次旋转结束时与菱形逆时针旋转的位置一样，求出菱形逆时针旋转时点坐标即可．
本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】

【解析】解：由图象可知，，
当时，点与点重合，，

由勾股定理可得，
由矩形的性质可知，，，
点的横坐标为，则此时点在上，
，即，
过点作于点，

，
∽，
：：：：：：，
，，
，
由勾股定理可得；
故选：．
根据点的运动可知，则，当时，点与点重合，，由此可得出，由矩形的性质可知，，点的横坐标为，则，过点作于点，由∽，可得出和的长，进而可得出和的长，即可得出点的纵坐标．
本题考查了动点问题的函数问题，设计相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，本题中由图象得出矩形的各边的长是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一

【解析】解：，
，
故答案为：答案不唯一．
根据二次根式的被开方数是非负数得到的取值范围，写一个符合题意的的值即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：设另一个根为，
一元二次方程的一个根是，
，
解得，
另一个根为，
故答案为：．
设另一个根为，根据根与系数的关系列方程即可求解．
本题考查了一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 

13.【答案】实心球

【解析】解：实心球的平均成绩是：分，
一分钟跳绳的平均成绩是：分，
实心球的方差是：，
一分钟跳绳的方差是：，
，
小玉同学应选实心球；
故答案为：实心球．
根据平均数的定义分别求出实心球和一分钟跳绳的平均成绩，再求出各自的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

14.【答案】

【解析】解：把半圆补全，在另一侧半圆上找一点，使作于，于，连接、，


，，
，
半径为，
，，
，
，
，
≌，
，
当、、三点共线时，的周长最短，此时，点与圆心重合，点与重合，
阴影部分的面积．
故答案为：．
把半圆补全，在另一侧半圆上找一点，使作于，于，连接、，证明≌，得出，当、、三点共线时，的周长最短时，此时，点与圆心重合，再利用扇形面积公式和等边三角形面积公式求解即可．
本题考查了最短路径、扇形面积公式、圆的相关知识，解题的关键是恰当作辅助线，找到三角形周长最小时，的位置，熟练运用面积公式进行计算．
 

15.【答案】或

【解析】解：当点在下方时，过点作的垂线，交于点，交于点，

由折叠性质可得：
，，
的面积为，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
即，
解得：；
当点在上方时，设交于点，过点作于点，

由折叠性质可得：
，，，，
四边形为矩形，
，
，
，
的面积为，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，，
，
∽，
，
即，
，，
，
，
，
；
故答案为：或．
分为点在上方和下方两种情况，当点在下方时，过点作的垂线，交于点，交于点，先求出的长，再根据勾股定理列出方程即可求解，当点在上方时，设交于点，过点作于点，由折叠性质可得，，，，由矩形性质可得，从而可得，可得，由的面积可得，由勾股定理可得，由，可得，从而可得∽，可得，，，即，可得，即，即可求解．
本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是分两种情况，根据面积求出线段长，利用勾股定理求解．
 

16.【答案】解：

；



．

【解析】根据立方根、负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；
先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可．
本题考查实数的运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：教育局一共抽样调查学生名，
在扇形统计图中，完成作业时间为小时的扇形圆心角度数为，
故答案为：，；

每天完成作业所需时间为小时的人数有人，
补全统计图如下：


根据题意，得人；
答：估计该市初中生完成作业时间超过小时的学生有人；

不满足，建议减少作业量，根据学生的能力分层布置作业合理即可．
由小时人数及其所占百分比可得总人数，用乘以小时人数所占比例即可；
用总人数乘以小时人数所占百分比求出其人数即可补全图形；
用总人数乘以样本中完成作业时间超过小时的学生人数所占比例即可；
答案不唯一，合理即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：我认为小亮的方案可行，
，，
，
米，
在中，米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
广告牌的高度为米．

【解析】根据三角形的外角可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：将点，点代入，
得，解得，
一次函数的解析式为．
，，
，
把代入，得．
点的坐标为．
将点代入，
得，
解得，
反比例函数的解析式为．
，
根据图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
不等式的解集为．

【解析】将点，点代入，可求出一次函数的解析式，根据，可求出，再将代入一次函数解析式，即可求出点的坐标，将点代入反比例函数解析式，即可求出，从而可得反比例函数解析式．
结合反比例函数与一次函数的图象即可得出答案．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】证明：如图，延长交于点，连接，
则．
，
．
，
．
是直径，
，
即，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；

解：如图，

由知，，
要四边形是正方形，则，
，
，
故答案为：；

如图，

要以点，，，为顶点的四边形是菱形，则，
，
，
为等边三角形，
由知，，
，
，
，
故答案为：．
先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；
先判断出，进而用勾股定理求出，即可求出答案；
先判断出，进而求出，进而出，即可求出答案．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，等边三角形的判定，菱形，正方形的判定，掌握正方形和菱形的判定方法是解本题的关键．
 

21.【答案】

【解析】解：设乙种树苗每棵元，则甲种树苗每棵元，
由题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：每棵甲种树苗元，每棵乙种树苗元．
设购买甲种树苗棵，乙种树苗棵，
依题意得：，
整理得：，
又、为正整数，
或或或或或，
共有种购买方案，
故答案为：．
设学校购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗的总费用为元．
由题意，得：．
，
随的增大而增大．
甲种树苗的数量需不低于乙种树苗数量的，
，
解得：，
当时，最小，最小值为，
此时．
答：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵，总费用最低，最低费用为元．
设乙种树苗每棵元，则甲种树苗每棵元，由题意：用元购买的乙种树苗比用元购买的甲种树苗多棵．列出分式方程，解方程即可；
设购买甲种树苗棵，乙种树苗棵，由题意：学校计划拿出元全部用于购买甲、乙两种树苗两种树苗都购买，列出二元一次方程，求出正整数解即可；
设学校购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，购买两种树苗的总费用为元．由题意得：再由题意：甲种树苗的数量需不低于乙种树苗数量的，得，解得，然后由一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准数量关系，正确列出二元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：令，则，
点；
抛物线经过点，
，
整理得：；
，
抛物线有最小值．
当时，抛物线的最大值为，
当时，或当时，，
或，
解得或．
又，
；
的值为或理由：
当时，如图，

过点作轴于点，则，，
点，
．
，
，
．
若使是等腰直角三角形，
点的坐标可能为或或或，
由图象可知：只有点在抛物线上，符合题意，
．
解得：；
当时，如图，

若使是等腰直角三角形，
点的坐标可能为或或或，
由图象可知：只有点在抛物线上，符合题意，
．
解得：．
综上，若抛物线上存在一点，使是等腰直角三角形，的值为或．

【解析】令，求得对应的值即可得到点的坐标，利用待定系数法将点坐标代入整理即可得出结论；
利用二次函数的性质结合图象即可得到当时，或当时，，利用待定系数法解答即可；
利用分类讨论的思想方法分或两种情况解答：过点作轴于点，利用等腰直角三角形的性质可得，分为腰或为斜边求得对应的第三顶点的坐标，结合图象确定出点的坐标，利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了抛物线上点的坐标的特征，二次函数的性质，待定系数法，函数的极值，等腰直角三角形的性质，点的坐标的特征，利用线段的长度表示出相应点的坐标是解题的关键．
 

23.【答案】解：证明：将绕点逆时针旋转到，
，．
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
；
证明：，，，，
．
，且，
，
∽，
，即
，
，，
；
或．
设，则，
当时，，
，
，
解得：，舍去；
当时，，
，
则，
解得，舍去；
由题意可知，，
综上，当是等腰三角形时，的长为或．

【解析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质求出，进而证明结论；
证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可证明；
分、两种情况，根据中结论计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键．