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2021年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷
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这是一份2021年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年6月3日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002s，则0.00000002用科学记数法表示为（ ）
A．0.2×10﹣6 B．0.2×10﹣7 C．2×10﹣7 D．2×10﹣8
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a6
5．（3分）如图，a∥b，一块含有45°角的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1＝65°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
6．（3分）郑州市某区为了解参加2021年中考的8900名学生的体重情况，随机抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ）
A．8900名学生是总体
B．每名学生是总体的一个个体
C．1500名学生的体重是总体的一个样本
D．以上调查是普查
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD＝BE；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F；作射线BF交AC于点H．若HA＝2，P为BC上一动点，则HP的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
9．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣（﹣2021）0＝ ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则是：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，如果两个人的手势相同，那么小凡获胜；如果两个人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．这个游戏中小凡获胜的概率是 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，CB＝，CD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至AB'C'D'的位置，此时边BC的对应边B'C'恰好经过点D，连接AC，AC'，S扇形CAC′＝ ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点P是线段DC上的动点，将△ADP沿直线AP翻折，得到△AEP，点H是BC上一点，且BH＝3，连接AH，HE，当DP的长为 时，△AHE是直角三角形．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
17．（9分）为落实校园生活垃圾分类工作，2021年3月韩寺镇中学举办了“绿色校园你我共建”活动；紫薇路中学进行了“美丽河南我是行动者”环保专题讲座．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，我县某初中在4月份进行了“垃圾分类 人人有责”的知识测试，李明从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分）进行整理、分析，得到下面的条形统计图和表格．
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上所占百分比
七年级
7.5
a
7
c
八年级
7.5
8
b
50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共有1500名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少？
18．（9分）如图，AO是⊙O的半径，DA⊥AO且DA＝AO，B是半圆O上一点，连接AB，作▱ABCD，过点C作半圆O的切线CE，交AO的延长线于点P，切点为E，连接BE．
（1）当BE∥AP时，求证：CE＝OP；
（2）当∠BAP＝ 度时，ABCD为菱形．
19．（9分）2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；
活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．
已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．
（1）根据图象可知，洗手液的单价为 元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）请求出a的值；
（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．
20．（9分）如图①是某社区进行合村并点改造后的居民住宅，如图②是其中一部分的示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，郑州市某初中九（1）班数学活动小组，为测量房屋的高度，他们在地面上A点测得屋顶P的仰角是28°，此时地面上A点、屋檐上E点、屋顶上P点三点恰好共线；继续向房屋方向走10m到达点B，又测得屋檐E点的仰角是60°．已知房屋的顶层横梁DE＝4.8m，DE∥CA，PC交DE于点F（点C，B，A在同一水平直线上）．（参考数据：sin28°≈0.3，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5，≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离PF；
（2）求房屋的高度PC（结果精确到0.1m）．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，当m﹣≤x1≤m+，x2≥2时，总有y1≥y2，请直接写出m的取值范围．
22．（10分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长CA至点D，过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E，设AD＝x，CE＝y．
数学思考：
（1）用含x的代数式表示CD的长是 ；
与△DAB相似的三角形是 ；
y与x之间的函数关系式是 ；
数学探究：
王芳同学根据学习函数的经验，对y与x之间的函数关系的图象与性质进行了探究．下面是王芳的探究过程，请补充完整：
（2）下表列出了y与x的几组对应值，其中m＝ ，n＝ ；
x
…
1
2
3
4
…
y
…
6
m
4
n
3
…
（3）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表中各组对应值对应的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数图象解决下列问题：
①写出该函数的一条性质 ；
②当该函数图象与直线y＝﹣x+b只有一个交点时，图①中线段CE的长是 ．
23．（11分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，P为边AB上一动点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥BC于点D，连接PC，取PC的中点E，连接AE，DE．
（1）填空：AE与DE的数量关系为 ，∠AED的度数为 ；
（2）将△PDB绕点B逆时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将△PDB绕点B在平面内自由旋转，且BA＝6，BP＝2，请直接写出线段AE的最大值．
2021年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：C．
3．（3分）2020年6月3日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002s，则0.00000002用科学记数法表示为（ ）
A．0.2×10﹣6 B．0.2×10﹣7 C．2×10﹣7 D．2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是整数负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8．
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a6
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；
B、﹣8a2÷4a＝﹣2a，故此选项错误；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，正确；
D、4a3•3a2＝12a5，故此选项错误；
故选：C．
5．（3分）如图，a∥b，一块含有45°角的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1＝65°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【分析】过直角顶点作直线c∥a，则a∥b∥c，根据平行线的性质得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，结合∠3+∠4＝90°，∠1＝65°即可求出∠2．
【解答】解：过直角顶点作直线c∥a，如图：
则∠3＝∠1，
∵∠1＝65°，
∴∠3＝65°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝25°，
∵a∥b，
∴b∥c，
∴∠2＝∠4＝25°，
故选：B．
6．（3分）郑州市某区为了解参加2021年中考的8900名学生的体重情况，随机抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ）
A．8900名学生是总体
B．每名学生是总体的一个个体
C．1500名学生的体重是总体的一个样本
D．以上调查是普查
【分析】根据总体，个体、样本、普查、抽查的意义进行判断即可．
【解答】解：“8900名学生的体重情况”是考查的总体，因此选项A不符合题意；
“每一名学生的体重情况”是总体的一个个体，因此选项B不符合题意；
“1500名学生的体重情况”是总体的一个样本，因此选项C符合题意；
以上调查是抽样调查，不是普查，因此选项D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD＝BE；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F；作射线BF交AC于点H．若HA＝2，P为BC上一动点，则HP的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
【分析】根据作图过程可得BH平分∠ABC，当HP⊥BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．
【解答】解：根据作图过程可知：BH平分∠ABC，
当HP⊥BC时，HP最小，
∴HP＝HA＝2．
故选：A．
9．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
＝×4×4﹣•x•x，
＝﹣x2+8，
②4≤x≤8时，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
＝×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x），
＝﹣（8﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣（﹣2021）0＝ 2 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）不等式组的解集是 ≤x＜6 ．
【分析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜6，
∴不等式组的解集是≤x＜6，
故答案为：≤x＜6．
13．（3分）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则是：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，如果两个人的手势相同，那么小凡获胜；如果两个人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．这个游戏中小凡获胜的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小颖两人手势相同的情况，再由概率公式求出小凡获胜的概率即可．
【解答】解：列表如下：
石头
剪刀
布
石头
（石头，石头）
（剪刀，石头）
（布，石头）
剪刀
（石头，剪刀）
（剪刀，剪刀）
（布，剪刀）
布
（石头，布）
（剪刀，布）
（布，布）
所有等可能的情况有9种，其中小明、小颖两人的手势相同的情况有3种，
则P（小凡获胜）＝＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，CB＝，CD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至AB'C'D'的位置，此时边BC的对应边B'C'恰好经过点D，连接AC，AC'，S扇形CAC′＝ ．
【分析】首先证明△ADB′是等腰直角三角形，求出∠B′AD＝∠B′DA＝45°，进而求得∴∠ACA′＝∠B′AB＝45°，AC＝，利用扇形面积公式求解即可．
【解答】解：在Rt△ADB′中，∠B′＝90°，AD＝CB＝，AB′＝AB＝CD＝1，
∴BD′＝＝＝1，
∴BD′＝AB′＝1，
∴∠B′AD＝∠B′DA＝45°，
∴∠ACA′＝∠B′AB＝45°，AC＝＝＝，
∴S扇形ACA′＝＝
故答案为：．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点P是线段DC上的动点，将△ADP沿直线AP翻折，得到△AEP，点H是BC上一点，且BH＝3，连接AH，HE，当DP的长为 8或 时，△AHE是直角三角形．
【分析】分两种情况讨论：①点E在AH的右边时，可得∠AEH＝90°，点H、E、P三点共线．由折叠可证Rt△ABH≌Rt△AEH，设DP＝x，则PE＝x，PC＝8﹣x，HC＝8﹣3＝5，在Rt△PCH中，根据勾股定理建立方程（3+x）2＝（8﹣x）2+52，即可得解；
②点E在AH的左边时，点E、B重合，点P、C重合，故DP＝8．
【解答】解：①点E在AH的右边时，且∠AEH＝90°，
∵∠AEP＝∠ADP＝90°，
∴点H、E、P三点共线．由折叠性质可知，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
Rt△ABH≌Rt△AEH（HL）．
∴HE＝BH＝3，
设DP＝x，则PE＝x，PC＝8﹣x，HC＝8﹣3＝5，
在Rt△PCH中，由勾股定理得：
PH2＝HC2+PC2，
即（3+x）2＝（8﹣x）2+52，解得：x＝．
故DP＝．
②点E在AH的左边时，且∠AEH＝90°时，
点E、B重合，此时P、C重合，
故DP＝8．
故答案为：8或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝[+]
＝（）
＝
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝＝1+2．
17．（9分）为落实校园生活垃圾分类工作，2021年3月韩寺镇中学举办了“绿色校园你我共建”活动；紫薇路中学进行了“美丽河南我是行动者”环保专题讲座．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，我县某初中在4月份进行了“垃圾分类 人人有责”的知识测试，李明从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分）进行整理、分析，得到下面的条形统计图和表格．
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上所占百分比
七年级
7.5
a
7
c
八年级
7.5
8
b
50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的a＝ 7 ，b＝ 7.5 ，c＝ 45% ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共有1500名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出a、b、c的值；
（2）先判断哪个年级掌握的好，然后根据判断说明理由即可；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少．
【解答】解：（1）由条形统计图可得，
a＝7，b＝（7+8）÷2＝7.5，c＝×100%＝45%，
故答案为：7，7.5，45%；
（2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；
（3）1500×＝1350（人），
答：估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生有1350人．
18．（9分）如图，AO是⊙O的半径，DA⊥AO且DA＝AO，B是半圆O上一点，连接AB，作▱ABCD，过点C作半圆O的切线CE，交AO的延长线于点P，切点为E，连接BE．
（1）当BE∥AP时，求证：CE＝OP；
（2）当∠BAP＝ 60 度时，ABCD为菱形．
【分析】（1）证明△CBE≌△OEP（AAS），即可求解；
（2）▱ABCD为菱形，则DA＝AB＝AO＝OE，即△BAO为等边三角形，即可求解．
【解答】（1）证明：延长CB交AP于点F，连接OB、OE，
∵AD⊥AO，AD∥BC，
∴CF⊥AP，
∵BE∥AP，CF⊥AP，
∴CB⊥BE，即∠CBE＝90°，
∵CE是圆的切线，则∠OEP＝90°＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝AO＝OE，
∵BE∥AP，
∴∠P＝∠CEB，
在△CBE和△OEP中，
，
∴△CBE≌△OEP（AAS），
∴CE＝OP；
（2）解：∵▱ABCD为菱形，
∴DA＝AB＝AO＝OB，
∴△BAO为等边三角形，
∴∠BAP等于60度时，▱ABCD为菱形，
故答案为：60．
19．（9分）2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；
活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．
已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．
（1）根据图象可知，洗手液的单价为 14 元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）请求出a的值；
（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据图象可得洗手液的单价，根据题意，可以分别写出两种优惠活动y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由（2）求得的值并结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由图象可得，100瓶洗手液的价格是1400元，
∴洗手液的单价为1400÷100＝14（元/瓶），
∴活动一：y与x的函数关系式为y1＝0.9×14x＝12.6x；
活动二：当0＜x≤100时，y2＝14x（0＜x≤100），
当x＞100时，y2＝1400+（x﹣100）×14×0.8＝11.2x+280（x＞100），
∴y1＝12.6x，y2＝，
故答案为：14；
（2）由题意得：12.6x＝11.2x+280，解得x＝200，
∴a＝12.6×200＝2520；
（3）结合图象可知，当0＜x≤200时，y2＞y1，按活动一购买最省钱．
当x＝200时，y2＝y1，按活动一，活动二购买价格一样．
当x＞200时，y2＜y1，按活动二购买最省钱．
∵计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．
∴当0＜m≤100时，y2＞y1，按活动一购买最省钱．
当m＝100时，y2＝y1，按活动一，活动二购买价格一样．
当m＞100时，y2＜y1，按活动二购买最省钱．
20．（9分）如图①是某社区进行合村并点改造后的居民住宅，如图②是其中一部分的示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，郑州市某初中九（1）班数学活动小组，为测量房屋的高度，他们在地面上A点测得屋顶P的仰角是28°，此时地面上A点、屋檐上E点、屋顶上P点三点恰好共线；继续向房屋方向走10m到达点B，又测得屋檐E点的仰角是60°．已知房屋的顶层横梁DE＝4.8m，DE∥CA，PC交DE于点F（点C，B，A在同一水平直线上）．（参考数据：sin28°≈0.3，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5，≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离PF；
（2）求房屋的高度PC（结果精确到0.1m）．
【分析】（1）根据题意得到PC⊥DE，EF＝DE＝2.4，∠PEF＝∠EAH＝28°，解直角三角形即可得到结论；
（2）过E作EH⊥AB于H，设EH＝PC＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，DE∥AC，
∴PC⊥DE，EF＝DE＝2.4，∠PEF＝∠EAH＝28°，
在Rt△PEF中，∠PFE＝90°，∠PEF＝28°，
∵tan∠PEF＝tan28°＝，EF＝2.4，
∴PF≈2.4×0.5＝1.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为1.2米；
（2）过E作EH⊥AB于H，
设EH＝PC＝x，
在Rt△EBH中，∠EHB＝90°，∠EBH＝60°，
∵tan∠EBH＝，
∴BH＝，
在Rt△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝28°，
∵tan∠EAH＝，
∴AH＝，
∵AH﹣BH＝AB＝10，
∴﹣＝10，
解得：x≈3.86，
∴PC＝PF+FC＝5.06≈5.1（米），
答：房屋的高PC约为5.1米．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，当m﹣≤x1≤m+，x2≥2时，总有y1≥y2，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中即可求得b、c的值，进而得到解析式；
（2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO≌△MAN．继而得到点M坐标，求出直线BM解析式，联立BM解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标；
（3）结合抛物线图象，可直观看到当x2≥2时，y2≤3．要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，得0≤x1≤2，从而，解不等式即可．
【解答】解：（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：
，解得：．
∴该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N．
又∠ABP＝45°，
则△ABM为等腰直角三角形，AM＝AB，
∵∠BAO+∠PAO＝∠BAM＝90°，∠PAO+∠APN＝90°，
∴∠BAO＝∠APN．
在△ABO和△MAN中，
，
∴△ABO≌△MAN（AAS）．
∴AN＝BO＝1，ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2，MN＝AO＝3，
∴点M坐标为（3，2）．
设直线BM解析式为y＝kx+b，代入点B（﹣1，0）、M（3，2）得：
，解得：．
故直线BM解析式为y＝．
把BM解析式与抛物线解析式联立：
，解得，
故点P坐标为（，）．
（3）由图可知，当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
当x2≥2时，y2≤3．
要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，即﹣x2+2x+3≥3，
解得：0≤x≤2，即0≤x1≤2，
∴，
解不等式得到：．
22．（10分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长CA至点D，过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E，设AD＝x，CE＝y．
数学思考：
（1）用含x的代数式表示CD的长是 x+2 ；
与△DAB相似的三角形是 △DCE ；
y与x之间的函数关系式是 y＝+2 ；
数学探究：
王芳同学根据学习函数的经验，对y与x之间的函数关系的图象与性质进行了探究．下面是王芳的探究过程，请补充完整：
（2）下表列出了y与x的几组对应值，其中m＝ ，n＝ ；
x
…
1
2
3
4
…
y
…
6
m
4
n
3
…
（3）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表中各组对应值对应的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数图象解决下列问题：
①写出该函数的一条性质 y随x的增大而减小 ；
②当该函数图象与直线y＝﹣x+b只有一个交点时，图①中线段CE的长是 4 ．
【分析】（1）CD＝AD+AC；两条平行线截两条相交直线所得的两个三角形相似即△DAB∽△DCE．根据相似比得y与x之间的函数关系式．
（2）将x＝和3分别代入解析式可求得．
（3）根据表格描点即可；
（4）由图象可知y随x的增大而减小．y＝+2和直线y＝﹣x+b联立，得一元二次方程只有两个相等根即可求得．
【解答】解：（1）∵AD＝x，AC＝2，
∴CD＝AD+AC＝x+2，
∵AB∥CE，
∴△DAB∽△DCE（两条平行线截两条相交直线所得的两个三角形相似），
∴＝⇒＝，
∴y＝＝+2；
（2）将x＝代入解析式y＝+2得y＝m＝，
将x＝3，代入y＝+2，得y＝n＝；
（3）如图，
（4）由图象可知y随x的增大而减小，且x＞0，
由题可列方程+2＝﹣x+b，
∴x2﹣4x+4＝0，
解得b1＝6，b2＝﹣2（舍去），x＝2，
∴y＝+2＝4，即CE＝4．
23．（11分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，P为边AB上一动点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥BC于点D，连接PC，取PC的中点E，连接AE，DE．
（1）填空：AE与DE的数量关系为 AE＝DE ，∠AED的度数为 60° ；
（2）将△PDB绕点B逆时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将△PDB绕点B在平面内自由旋转，且BA＝6，BP＝2，请直接写出线段AE的最大值．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
（2）结论成立．取BC的中点R，连接AR，ER，AD．利用全等三角形的性质，证明△ADE是等边三角形即可．
（3）求出ER，AR，根据AE≤AR﹣ER，可得结论．
【解答】解：（1）如图①中，
∵PD⊥BC，
∴∠PDC＝∠CAP＝90°
∵PE＝EC，
∴AE＝PC，DE＝PC，
∴AE＝DE，
∵EA＝EC＝ED，
∴∠EAC＝∠ECA，∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝∠AEP+∠PED＝∠EAC+∠ECA+∠EDC+∠ECD＝2（∠ECA+∠ECD）＝60°，
故答案为：AE＝DE，60°．
（2）解：结论成立．
理由：如图②中，取BC的中点R，连接AR，ER，AD．
∵BR＝CR，PE＝EC，
∴ER∥PB，ER＝PB，
∵∠BAC＝90°，BR＝RC，
∴AR＝BR，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ABR＝60°，
∴△ABR是等边三角形，
∴AB＝AR，∠ARB＝∠BAR＝60°，
∵∠PDB＝90°，∠PBD＝60°，
∴∠BPD＝30°，
∴BD＝PB，
∴BD＝RE，
∵∠PBD＝∠ABR＝60°，
∴∠ABD+∠PBR＝120°，
∵RE∥PB，
∴∠PBR＝∠CRE，
∵∠ARE+∠CRE＝120°，
∴∠ABD＝∠ARE，
∴△ABD≌△ARE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠RAE，
∴∠DAE＝∠BAR＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴EA＝ED，∠AED＝60°．
（3）解：如图②中，由（2）可知，ER＝PB＝1，AB＝AR＝6，
∴AE≤AR﹣ER，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5．
2021年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年6月3日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002s，则0.00000002用科学记数法表示为（ ）
A．0.2×10﹣6 B．0.2×10﹣7 C．2×10﹣7 D．2×10﹣8
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a6
5．（3分）如图，a∥b，一块含有45°角的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1＝65°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
6．（3分）郑州市某区为了解参加2021年中考的8900名学生的体重情况，随机抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ）
A．8900名学生是总体
B．每名学生是总体的一个个体
C．1500名学生的体重是总体的一个样本
D．以上调查是普查
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD＝BE；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F；作射线BF交AC于点H．若HA＝2，P为BC上一动点，则HP的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
9．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣（﹣2021）0＝ ．
12．（3分）不等式组的解集是 ．
13．（3分）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则是：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，如果两个人的手势相同，那么小凡获胜；如果两个人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．这个游戏中小凡获胜的概率是 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，CB＝，CD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至AB'C'D'的位置，此时边BC的对应边B'C'恰好经过点D，连接AC，AC'，S扇形CAC′＝ ．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点P是线段DC上的动点，将△ADP沿直线AP翻折，得到△AEP，点H是BC上一点，且BH＝3，连接AH，HE，当DP的长为 时，△AHE是直角三角形．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
17．（9分）为落实校园生活垃圾分类工作，2021年3月韩寺镇中学举办了“绿色校园你我共建”活动；紫薇路中学进行了“美丽河南我是行动者”环保专题讲座．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，我县某初中在4月份进行了“垃圾分类 人人有责”的知识测试，李明从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分）进行整理、分析，得到下面的条形统计图和表格．
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上所占百分比
七年级
7.5
a
7
c
八年级
7.5
8
b
50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共有1500名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少？
18．（9分）如图，AO是⊙O的半径，DA⊥AO且DA＝AO，B是半圆O上一点，连接AB，作▱ABCD，过点C作半圆O的切线CE，交AO的延长线于点P，切点为E，连接BE．
（1）当BE∥AP时，求证：CE＝OP；
（2）当∠BAP＝ 度时，ABCD为菱形．
19．（9分）2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；
活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．
已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．
（1）根据图象可知，洗手液的单价为 元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）请求出a的值；
（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．
20．（9分）如图①是某社区进行合村并点改造后的居民住宅，如图②是其中一部分的示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，郑州市某初中九（1）班数学活动小组，为测量房屋的高度，他们在地面上A点测得屋顶P的仰角是28°，此时地面上A点、屋檐上E点、屋顶上P点三点恰好共线；继续向房屋方向走10m到达点B，又测得屋檐E点的仰角是60°．已知房屋的顶层横梁DE＝4.8m，DE∥CA，PC交DE于点F（点C，B，A在同一水平直线上）．（参考数据：sin28°≈0.3，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5，≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离PF；
（2）求房屋的高度PC（结果精确到0.1m）．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，当m﹣≤x1≤m+，x2≥2时，总有y1≥y2，请直接写出m的取值范围．
22．（10分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长CA至点D，过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E，设AD＝x，CE＝y．
数学思考：
（1）用含x的代数式表示CD的长是 ；
与△DAB相似的三角形是 ；
y与x之间的函数关系式是 ；
数学探究：
王芳同学根据学习函数的经验，对y与x之间的函数关系的图象与性质进行了探究．下面是王芳的探究过程，请补充完整：
（2）下表列出了y与x的几组对应值，其中m＝ ，n＝ ；
x
…
1
2
3
4
…
y
…
6
m
4
n
3
…
（3）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表中各组对应值对应的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数图象解决下列问题：
①写出该函数的一条性质 ；
②当该函数图象与直线y＝﹣x+b只有一个交点时，图①中线段CE的长是 ．
23．（11分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，P为边AB上一动点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥BC于点D，连接PC，取PC的中点E，连接AE，DE．
（1）填空：AE与DE的数量关系为 ，∠AED的度数为 ；
（2）将△PDB绕点B逆时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将△PDB绕点B在平面内自由旋转，且BA＝6，BP＝2，请直接写出线段AE的最大值．
2021年河南省郑州市中牟县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：C．
2．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：C．
3．（3分）2020年6月3日9时43分，“北斗三号”最后一颗全球组网卫星发射成功，它的授时精度小于0.00000002s，则0.00000002用科学记数法表示为（ ）
A．0.2×10﹣6 B．0.2×10﹣7 C．2×10﹣7 D．2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是整数负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8．
故选：D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．4a3•3a2＝12a6
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3a+2a＝5a，故此选项错误；
B、﹣8a2÷4a＝﹣2a，故此选项错误；
C、（﹣2a2）3＝﹣8a6，正确；
D、4a3•3a2＝12a5，故此选项错误；
故选：C．
5．（3分）如图，a∥b，一块含有45°角的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若∠1＝65°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【分析】过直角顶点作直线c∥a，则a∥b∥c，根据平行线的性质得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，结合∠3+∠4＝90°，∠1＝65°即可求出∠2．
【解答】解：过直角顶点作直线c∥a，如图：
则∠3＝∠1，
∵∠1＝65°，
∴∠3＝65°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝25°，
∵a∥b，
∴b∥c，
∴∠2＝∠4＝25°，
故选：B．
6．（3分）郑州市某区为了解参加2021年中考的8900名学生的体重情况，随机抽查了其中1500名学生的体重进行统计分析，下列叙述正确的是（ ）
A．8900名学生是总体
B．每名学生是总体的一个个体
C．1500名学生的体重是总体的一个样本
D．以上调查是普查
【分析】根据总体，个体、样本、普查、抽查的意义进行判断即可．
【解答】解：“8900名学生的体重情况”是考查的总体，因此选项A不符合题意；
“每一名学生的体重情况”是总体的一个个体，因此选项B不符合题意；
“1500名学生的体重情况”是总体的一个样本，因此选项C符合题意；
以上调查是抽样调查，不是普查，因此选项D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BD，BE，使BD＝BE；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点F；作射线BF交AC于点H．若HA＝2，P为BC上一动点，则HP的最小值是（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
【分析】根据作图过程可得BH平分∠ABC，当HP⊥BC时，HP最小，根据角平分线的性质即可得HP的最小值．
【解答】解：根据作图过程可知：BH平分∠ABC，
当HP⊥BC时，HP最小，
∴HP＝HA＝2．
故选：A．
9．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ的面积＝△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；
②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ的面积＝△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【解答】解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
＝×4×4﹣•x•x，
＝﹣x2+8，
②4≤x≤8时，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
＝×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x），
＝﹣（8﹣x）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：﹣（﹣2021）0＝ 2 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及算术平方根分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣1
＝2．
故答案为：2．
12．（3分）不等式组的解集是 ≤x＜6 ．
【分析】先求每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜6，
∴不等式组的解集是≤x＜6，
故答案为：≤x＜6．
13．（3分）小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏．游戏规则是：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，如果两个人的手势相同，那么小凡获胜；如果两个人的手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者．这个游戏中小凡获胜的概率是 ．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小颖两人手势相同的情况，再由概率公式求出小凡获胜的概率即可．
【解答】解：列表如下：
石头
剪刀
布
石头
（石头，石头）
（剪刀，石头）
（布，石头）
剪刀
（石头，剪刀）
（剪刀，剪刀）
（布，剪刀）
布
（石头，布）
（剪刀，布）
（布，布）
所有等可能的情况有9种，其中小明、小颖两人的手势相同的情况有3种，
则P（小凡获胜）＝＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，CB＝，CD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至AB'C'D'的位置，此时边BC的对应边B'C'恰好经过点D，连接AC，AC'，S扇形CAC′＝ ．
【分析】首先证明△ADB′是等腰直角三角形，求出∠B′AD＝∠B′DA＝45°，进而求得∴∠ACA′＝∠B′AB＝45°，AC＝，利用扇形面积公式求解即可．
【解答】解：在Rt△ADB′中，∠B′＝90°，AD＝CB＝，AB′＝AB＝CD＝1，
∴BD′＝＝＝1，
∴BD′＝AB′＝1，
∴∠B′AD＝∠B′DA＝45°，
∴∠ACA′＝∠B′AB＝45°，AC＝＝＝，
∴S扇形ACA′＝＝
故答案为：．
15．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点P是线段DC上的动点，将△ADP沿直线AP翻折，得到△AEP，点H是BC上一点，且BH＝3，连接AH，HE，当DP的长为 8或 时，△AHE是直角三角形．
【分析】分两种情况讨论：①点E在AH的右边时，可得∠AEH＝90°，点H、E、P三点共线．由折叠可证Rt△ABH≌Rt△AEH，设DP＝x，则PE＝x，PC＝8﹣x，HC＝8﹣3＝5，在Rt△PCH中，根据勾股定理建立方程（3+x）2＝（8﹣x）2+52，即可得解；
②点E在AH的左边时，点E、B重合，点P、C重合，故DP＝8．
【解答】解：①点E在AH的右边时，且∠AEH＝90°，
∵∠AEP＝∠ADP＝90°，
∴点H、E、P三点共线．由折叠性质可知，
在Rt△ABH和Rt△AEH中，
，
Rt△ABH≌Rt△AEH（HL）．
∴HE＝BH＝3，
设DP＝x，则PE＝x，PC＝8﹣x，HC＝8﹣3＝5，
在Rt△PCH中，由勾股定理得：
PH2＝HC2+PC2，
即（3+x）2＝（8﹣x）2+52，解得：x＝．
故DP＝．
②点E在AH的左边时，且∠AEH＝90°时，
点E、B重合，此时P、C重合，
故DP＝8．
故答案为：8或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝[+]
＝（）
＝
＝
＝
＝，
当x＝时，原式＝＝＝1+2．
17．（9分）为落实校园生活垃圾分类工作，2021年3月韩寺镇中学举办了“绿色校园你我共建”活动；紫薇路中学进行了“美丽河南我是行动者”环保专题讲座．为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，我县某初中在4月份进行了“垃圾分类 人人有责”的知识测试，李明从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分）进行整理、分析，得到下面的条形统计图和表格．
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上所占百分比
七年级
7.5
a
7
c
八年级
7.5
8
b
50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述表中的a＝ 7 ，b＝ 7.5 ，c＝ 45% ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校七、八年级共有1500名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据条形统计图中的数据，可以计算出a、b、c的值；
（2）先判断哪个年级掌握的好，然后根据判断说明理由即可；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生人数是多少．
【解答】解：（1）由条形统计图可得，
a＝7，b＝（7+8）÷2＝7.5，c＝×100%＝45%，
故答案为：7，7.5，45%；
（2）八年级掌握垃圾分类知识比较好，
理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好；
（3）1500×＝1350（人），
答：估计参加此次测试活动成绩合格（6分及6分以上）的学生有1350人．
18．（9分）如图，AO是⊙O的半径，DA⊥AO且DA＝AO，B是半圆O上一点，连接AB，作▱ABCD，过点C作半圆O的切线CE，交AO的延长线于点P，切点为E，连接BE．
（1）当BE∥AP时，求证：CE＝OP；
（2）当∠BAP＝ 60 度时，ABCD为菱形．
【分析】（1）证明△CBE≌△OEP（AAS），即可求解；
（2）▱ABCD为菱形，则DA＝AB＝AO＝OE，即△BAO为等边三角形，即可求解．
【解答】（1）证明：延长CB交AP于点F，连接OB、OE，
∵AD⊥AO，AD∥BC，
∴CF⊥AP，
∵BE∥AP，CF⊥AP，
∴CB⊥BE，即∠CBE＝90°，
∵CE是圆的切线，则∠OEP＝90°＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝AO＝OE，
∵BE∥AP，
∴∠P＝∠CEB，
在△CBE和△OEP中，
，
∴△CBE≌△OEP（AAS），
∴CE＝OP；
（2）解：∵▱ABCD为菱形，
∴DA＝AB＝AO＝OB，
∴△BAO为等边三角形，
∴∠BAP等于60度时，▱ABCD为菱形，
故答案为：60．
19．（9分）2021年春，河南某高校为做好新型冠状病毒感染的防治工作，计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．学校派王老师去商场购买，他在商场了解到，某个牌子的洗手液有两种优惠活动：活动一：一律打9折；
活动二：当购买量不超过100瓶时，按原价销售；当购买量超过100瓶时，超过的部分打8折．
已知所需费用y（元）与购买洗手液的数量x（瓶）之间的函数图象如图所示．
（1）根据图象可知，洗手液的单价为 14 元/瓶，请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）请求出a的值；
（3）如果该高校共有m名教职工，请你帮王老师设计最省钱的购买方案．
【分析】（1）根据图象可得洗手液的单价，根据题意，可以分别写出两种优惠活动y与x的函数关系式；
（2）根据（1）的结论列方程组解答即可；
（3）由（2）求得的值并结合图象解答即可．
【解答】解：（1）由图象可得，100瓶洗手液的价格是1400元，
∴洗手液的单价为1400÷100＝14（元/瓶），
∴活动一：y与x的函数关系式为y1＝0.9×14x＝12.6x；
活动二：当0＜x≤100时，y2＝14x（0＜x≤100），
当x＞100时，y2＝1400+（x﹣100）×14×0.8＝11.2x+280（x＞100），
∴y1＝12.6x，y2＝，
故答案为：14；
（2）由题意得：12.6x＝11.2x+280，解得x＝200，
∴a＝12.6×200＝2520；
（3）结合图象可知，当0＜x≤200时，y2＞y1，按活动一购买最省钱．
当x＝200时，y2＝y1，按活动一，活动二购买价格一样．
当x＞200时，y2＜y1，按活动二购买最省钱．
∵计划为教职工购买一批洗手液（每人2瓶）．
∴当0＜m≤100时，y2＞y1，按活动一购买最省钱．
当m＝100时，y2＝y1，按活动一，活动二购买价格一样．
当m＞100时，y2＜y1，按活动二购买最省钱．
20．（9分）如图①是某社区进行合村并点改造后的居民住宅，如图②是其中一部分的示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，郑州市某初中九（1）班数学活动小组，为测量房屋的高度，他们在地面上A点测得屋顶P的仰角是28°，此时地面上A点、屋檐上E点、屋顶上P点三点恰好共线；继续向房屋方向走10m到达点B，又测得屋檐E点的仰角是60°．已知房屋的顶层横梁DE＝4.8m，DE∥CA，PC交DE于点F（点C，B，A在同一水平直线上）．（参考数据：sin28°≈0.3，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5，≈1.7）
（1）求屋顶到横梁的距离PF；
（2）求房屋的高度PC（结果精确到0.1m）．
【分析】（1）根据题意得到PC⊥DE，EF＝DE＝2.4，∠PEF＝∠EAH＝28°，解直角三角形即可得到结论；
（2）过E作EH⊥AB于H，设EH＝PC＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高PC所在的直线，DE∥AC，
∴PC⊥DE，EF＝DE＝2.4，∠PEF＝∠EAH＝28°，
在Rt△PEF中，∠PFE＝90°，∠PEF＝28°，
∵tan∠PEF＝tan28°＝，EF＝2.4，
∴PF≈2.4×0.5＝1.2（米）；
答：屋顶到横梁的距离AG约为1.2米；
（2）过E作EH⊥AB于H，
设EH＝PC＝x，
在Rt△EBH中，∠EHB＝90°，∠EBH＝60°，
∵tan∠EBH＝，
∴BH＝，
在Rt△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝28°，
∵tan∠EAH＝，
∴AH＝，
∵AH﹣BH＝AB＝10，
∴﹣＝10，
解得：x≈3.86，
∴PC＝PF+FC＝5.06≈5.1（米），
答：房屋的高PC约为5.1米．
21．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于B（﹣1，0），C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点P为抛物线上一点，且∠ABP＝45°，求点P的坐标；
（3）M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，当m﹣≤x1≤m+，x2≥2时，总有y1≥y2，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中即可求得b、c的值，进而得到解析式；
（2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO≌△MAN．继而得到点M坐标，求出直线BM解析式，联立BM解析式与抛物线解析式即可得交点P的坐标；
（3）结合抛物线图象，可直观看到当x2≥2时，y2≤3．要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，得0≤x1≤2，从而，解不等式即可．
【解答】解：（1）将点A（0，3）、B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：
，解得：．
∴该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）过点A作AM⊥BP于点M，过点M作MN⊥y轴于点N．
又∠ABP＝45°，
则△ABM为等腰直角三角形，AM＝AB，
∵∠BAO+∠PAO＝∠BAM＝90°，∠PAO+∠APN＝90°，
∴∠BAO＝∠APN．
在△ABO和△MAN中，
，
∴△ABO≌△MAN（AAS）．
∴AN＝BO＝1，ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2，MN＝AO＝3，
∴点M坐标为（3，2）．
设直线BM解析式为y＝kx+b，代入点B（﹣1，0）、M（3，2）得：
，解得：．
故直线BM解析式为y＝．
把BM解析式与抛物线解析式联立：
，解得，
故点P坐标为（，）．
（3）由图可知，当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3，
当x2≥2时，y2≤3．
要使y1≥y2恒成立，则y1≥3，即﹣x2+2x+3≥3，
解得：0≤x≤2，即0≤x1≤2，
∴，
解不等式得到：．
22．（10分）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝2，延长CA至点D，过点C作CE∥AB交DB的延长线于点E，设AD＝x，CE＝y．
数学思考：
（1）用含x的代数式表示CD的长是 x+2 ；
与△DAB相似的三角形是 △DCE ；
y与x之间的函数关系式是 y＝+2 ；
数学探究：
王芳同学根据学习函数的经验，对y与x之间的函数关系的图象与性质进行了探究．下面是王芳的探究过程，请补充完整：
（2）下表列出了y与x的几组对应值，其中m＝ ，n＝ ；
x
…
1
2
3
4
…
y
…
6
m
4
n
3
…
（3）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表中各组对应值对应的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数图象解决下列问题：
①写出该函数的一条性质 y随x的增大而减小 ；
②当该函数图象与直线y＝﹣x+b只有一个交点时，图①中线段CE的长是 4 ．
【分析】（1）CD＝AD+AC；两条平行线截两条相交直线所得的两个三角形相似即△DAB∽△DCE．根据相似比得y与x之间的函数关系式．
（2）将x＝和3分别代入解析式可求得．
（3）根据表格描点即可；
（4）由图象可知y随x的增大而减小．y＝+2和直线y＝﹣x+b联立，得一元二次方程只有两个相等根即可求得．
【解答】解：（1）∵AD＝x，AC＝2，
∴CD＝AD+AC＝x+2，
∵AB∥CE，
∴△DAB∽△DCE（两条平行线截两条相交直线所得的两个三角形相似），
∴＝⇒＝，
∴y＝＝+2；
（2）将x＝代入解析式y＝+2得y＝m＝，
将x＝3，代入y＝+2，得y＝n＝；
（3）如图，
（4）由图象可知y随x的增大而减小，且x＞0，
由题可列方程+2＝﹣x+b，
∴x2﹣4x+4＝0，
解得b1＝6，b2＝﹣2（舍去），x＝2，
∴y＝+2＝4，即CE＝4．
23．（11分）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，P为边AB上一动点（不与点A，B重合），过点P作PD⊥BC于点D，连接PC，取PC的中点E，连接AE，DE．
（1）填空：AE与DE的数量关系为 AE＝DE ，∠AED的度数为 60° ；
（2）将△PDB绕点B逆时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请结合图②给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）将△PDB绕点B在平面内自由旋转，且BA＝6，BP＝2，请直接写出线段AE的最大值．
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
（2）结论成立．取BC的中点R，连接AR，ER，AD．利用全等三角形的性质，证明△ADE是等边三角形即可．
（3）求出ER，AR，根据AE≤AR﹣ER，可得结论．
【解答】解：（1）如图①中，
∵PD⊥BC，
∴∠PDC＝∠CAP＝90°
∵PE＝EC，
∴AE＝PC，DE＝PC，
∴AE＝DE，
∵EA＝EC＝ED，
∴∠EAC＝∠ECA，∠EDC＝∠ECD，
∴∠AED＝∠AEP+∠PED＝∠EAC+∠ECA+∠EDC+∠ECD＝2（∠ECA+∠ECD）＝60°，
故答案为：AE＝DE，60°．
（2）解：结论成立．
理由：如图②中，取BC的中点R，连接AR，ER，AD．
∵BR＝CR，PE＝EC，
∴ER∥PB，ER＝PB，
∵∠BAC＝90°，BR＝RC，
∴AR＝BR，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ABR＝60°，
∴△ABR是等边三角形，
∴AB＝AR，∠ARB＝∠BAR＝60°，
∵∠PDB＝90°，∠PBD＝60°，
∴∠BPD＝30°，
∴BD＝PB，
∴BD＝RE，
∵∠PBD＝∠ABR＝60°，
∴∠ABD+∠PBR＝120°，
∵RE∥PB，
∴∠PBR＝∠CRE，
∵∠ARE+∠CRE＝120°，
∴∠ABD＝∠ARE，
∴△ABD≌△ARE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠RAE，
∴∠DAE＝∠BAR＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴EA＝ED，∠AED＝60°．
（3）解：如图②中，由（2）可知，ER＝PB＝1，AB＝AR＝6，
∴AE≤AR﹣ER，
∴AE≤5，
∴AE的最大值为5．
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