2023年河南省郑州市中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南省郑州市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日郑州市人民公园第二十六届郁金香花展盛大开幕，据了解，本次花展共展出郁金香个品种万余株，采取全园分布，让游人闻着浓郁的花香，漫步于花田小径间，体验“人在花中走，如在画中游”的美妙感受数据“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  郑州是华夏文明的重要发祥地，是三皇五帝活动的腹地，是中华文明的轴心区，市政府开展了“游郑州知华夏”活动将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“郑”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 知 B. 华 C. 夏 D. 游

4.  某校开展了丰富多彩的学雷锋志愿服务活动，为了了解同学们所做志愿者服务活动的情况，数学兴趣小组的同学在全校范围内随机抽查了部分同学，将收集的数据绘制成了如图所示的扇形统计图，若该校有名学生，则参加爱心捐助活动的学生人数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，一副三角尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  一元二次方程的根的情况为(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根

7.  凸透镜成像的原理如图所示，若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线的距离之比为焦点和关于点对称(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的图象上，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，边长为的等边三角形在第二象限，与轴重合，将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，以此类推，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知抛物线为常数与轴交于点，，点，为抛物线上的两点，则下列说法不正确的是(    )

A. 有最小值为 B. 线段的长为
C. 当时，随的增大而减小 D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  写出一个比大且比小的无理数：______ ．

12.  方程的解为______ ．

13.  对一批运动鞋进行抽检，统计合格的运动鞋的数量，得到合格运动鞋的频数表如下：

估计出厂的双运动鞋中，次品大约有______ 双

14.  某校无人机社团的同学用无人机测量学校旗杆的高度，组员操作无人机飞至离地面高度为米的处时，测得旗杆的顶端的俯角为，然后操控无人机水平方向飞行米至旗杆另一侧处时，测得旗杆的顶端的俯角为，已知，，，在同一平面内，则旗杆的高度为______ 米

15.  黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋已知，则阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
解不等式组：．

17.  本小题分
郑州是一座将少林文化、黄帝文化、商都文化、黄河文化融为一体的“中原绿城”，域内留存了丰富的文化遗产为弘扬郑州地域文化，某校七、八年级开展了“知郑州爱郑州兴郑州”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各名学生的成绩百分制，学生的成绩用来表示，分四个等级：，，，，并绘制了如下统计图表．
信息：抽样调查的名八年级学生成绩的频数分布直方图为：


信息：抽样调查的名八年级学生的成绩在组中的数据是：

信息：七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果
 

根据以上信息，解答下列问题：
______ ；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对郑州地域文化知识掌握较好？请说明理由；一条理由即可
两个年级成绩在分以上的名同学中有男生名，女生名，学校准备从中任意抽取名同学交流活动感受，求抽取的名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．

18.  本小题分
下面是小颖同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于这一命题，请你帮她补充完整．

19.  本小题分
“九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共个小项目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的倍少个．
“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？
“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是分钟、分钟项目转场时间忽略不计，由于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？

20.  本小题分
生命在于运动体育运动伴随着我们每一天，科学的体育运动不仅能强健体魄，更能愉悦身心但与此同时我们也可以看到，因为不遵循运动规律而导致身体损伤的事情时有发生，我们越来越重视科学运动衡量科学运动的重要指标之一就是心率研究发现，运动过程中影响心率的主要因素有年龄、性别、运动强度、运动时间、运动类型、运动项目、情绪等数学兴趣小组在分析了以上因素后，用统计和函数的知识，深入研究了在慢跑和跳绳过程中，心率与时间的关系如表：

根据图中的信息，你发现在哪项运动中心率随时间的变化更快？请说明理由；
甲同学慢跑运动后的心率为次分，根据图中的信息请你估算甲同学运动的时间；
有同学认为，计算机将慢跑时的平均心率与时间的关系拟合成的一次函数关系与实际的测量结果误差比较大，所以又借助计算机将其拟合为另一种函数关系，如图，请你根据实际情况说明他的分析是否合理？并说明理由．

21.  本小题分
如图，在中，，点在斜边上，直角边恰好与以为直径的半圆相切于点，连接，过点作，交于点．
请判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求的长．

22.  本小题分
如图，正方形，，动点从点出发沿向点运动，连接，以为边在其右侧作正方形，与相交于点．
在点的运动过程中，点的位置也随之改变，则点始终在直线上吗？如果在，请给出证明，如果不在，请说明理由；
当点在边上运动时，的面积如何变化？请写出研究过程．
 

23.  本小题分
如图，抛物线与轴，轴分别交于，两点，点坐标为，抛物线的顶点为，点关于对称轴直线的对称点为点．
求该抛物线的表达式；
当时，求函数值的取值范围；
将抛物线在点下方的图象沿着直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有个公共点时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
利用绝对值的定义求解即可．
【解答】
解：的绝对值是．
故选C．  

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在原正方体中，与“郑”字所在面相对的面上的汉字是华，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：参加爱心捐助活动的学生人数为：名，
故选：．
用乘加爱心捐助活动的学生人数所占百分比即可．
本题考查扇形统计图，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故选：．
根据三角尺得出，由于，由平行线的性质即可得出答案．
本题主要考查平行线的性质，已知三角尺的各个角的度数是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：

，
原方程无实数根．
故选：．
先计算根的判别式，再根据根的判别式进行判断即可．
本题考查了根的判别式，掌握如何用根的判别式判定一元二次方程解的情况是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，
．
故选：．
首先证明四边形是矩形，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，中心对称，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，，
设，
沿直线翻折，
，，
，解得或，，
，
点恰好落在的图象上，
．
故选：．
设，利用折叠的性质得，，根据两点间的距离公式得到，则解方程组可得到，于是可确定的值．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、折叠的性质；能运用两点间的距离公式计算线段的长，求得点的坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：边长为的等边三角形在第二象限，

将绕点顺时针旋转，得到，
与点关于轴对称，

再作关于原点的中心对称图形，得到，
与点关于原点对称，

再将绕点顺时针旋转，得到，
此时点落在轴的负半轴上，
．
再作关于原点的中心对称图形，得到，
此时点落在轴的正半轴上，
．
以此类推，则，，
与点重合，
对应的点大于的整数的坐标以，，，，，为规律循环，
余，
与的坐标相同，

故选：．
利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解．
本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质，本题是操作性题目，利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线，
有最小值为；故A不正确，符合题意；
B.设点，，
则，，
；故B正确，不合题意；
C.，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小；故C正确，不合题意；
D.对称轴为直线，
点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
；故D正确，不合题意．
故选：．
化成顶点式即可判断；利用根与系数的关系确定，即可判断；利用二次函数的性质即可判断；根据、两点到对称轴的距离即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，二次函数的性质，熟练二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：请写出一个比大且比小的无理数：答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
首先根据：；，可得：一个比大且比小的无理数的平方可以是，这个无理数可以是答案不唯一，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是可以先求出这个无理数的平方的大小．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
故答案为：．
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：抽取件数，合格频率，故次品率为，
双，
即估计出厂的双运动鞋中，次品大约有双．
故答案为：．
根据表中数据，结合概率的意义、频数与频率的概念进行解答即可．
本题考查的是概率的意义、频数与频率的概念和求法，在大量重复实验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件的概率；频数是指每个对象出现的次数，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比即频率频数数据总数．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，
由题意得：米，米．
设米，
，，
米，
米，
在中，
，
，
，
解得：，
米．
旗杆的高度为米．
故答案为：
过点作于点，设米，在中，利用直角三角形的边角关系定理列出方程，解方程求得值，则．
本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角问题，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理列出方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，四边形是黄金矩形，
，
，
，
，
正方形边长为，
阴影部分面积为，
故答案为：．
根据，，可得，故DE，即正方形边长为，从而可求出阴影部分面积为．
本题考查黄金分割比和正方形，扇形面积，解题的关键是读懂题意，掌握扇形的面积公式．
 

16.【答案】解：原式
；
由得：，
由得，
则不等式组的解集为． 

【解析】先计算算术平方根、零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：抽取了八年级名学生的成绩从低到高排列，排在最中间的数是，，
中位数，
故答案为：；
八年级学生对郑州地域文化知识掌握较好，理由如下：
八年级的平均数和中位数都高于七年级答案不唯一；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
抽取的名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．
由中位数的定义求解即可；
从平均数、中位数的比较即可得出结论；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率、频数分布直方图以及平均数、中位数、众数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：延长到，以为边，在其右侧作，

，
，
，
，
． 

【解析】根据要求作出图形，利用平行线的判定和性质解决问题．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：设“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个，
根据题意得：，
解得：．
答：“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个；
设“能量传输”类项目开展个，则“鱼跃龙门”类项目开展个，
根据题意得：，
解得：，
设实际拓展活动的总时间为分钟，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：当“能量传输”类项目开展个，“鱼跃龙门”类项目开展个时，所用的时间最少． 

【解析】设“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个，根据学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共个小项目且“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的倍少个，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设“能量传输”类项目开展个，则“鱼跃龙门”类项目开展个，根据“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设实际拓展活动的总时间为分钟，利用实际拓展活动的总时间开展“能量传输”类项目数开展“鱼跃龙门”类项目数，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

20.【答案】解：跳绳的平均心率随时间的变化更快，理由如下：
由图象可得：的图象比的图象上升的快，
跳绳的平均心率随时间的变化更快；
当时，则，
，
甲同学运动的时间为分钟；
合理，
由图表中数据可得：慢跑时，从秒后其心率变化不大，并不是以一次函数的形式变化的，而图中的函数关系则更好的反映慢跑平均心率随时间的变化． 

【解析】由图象可直接求解；
将代入解析式可求解；
合理，慢跑时，从秒后不是一次函数的形式变化的，而图的函数关系更好的反映慢跑平均心率随时间的变化．
本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形为菱形．
理由如下：与半圆相切于点，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形；
过点作于，如图，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
在中，，
设，，
，
即，
解得，
，，
，
． 

【解析】先根据切线的性质得到，则，再利用平行线的证明，所以，接着证明四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形为菱形；
过点作于，如图，易得四边形为矩形，所以，，再根据平行线的性质得到，接着在中通过解直角思想家求出，，然后计算得到的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查圆周角定理、菱形的判定和解直角三角形．
 

22.【答案】解：点始终在直线上，理由如下：
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点、、在同一直线上，
点始终在直线上；
的面积由逐渐增大到，理由如下：
，
，，
，
当点与点重合时，
，
当点与点重合时，
，
当点从点出发沿向点运动时，的面积由逐渐增大到． 

【解析】利用证明≌，得，则点、、在同一直线上；
根据，根据的长度在不断增大，可知的面积逐渐增大．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明点在直线上运动是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线经过，
，
抛物线的对称轴，
，
，
抛物线的解析式为；

，
顶点，
当时，．
当时，，
；

当直线经过点时，，
当直线与抛物线只有一个交点时，
由，可得，，
，
，
，
观察图象可知满足条件的的值取值范围为：或． 

【解析】利用待定系数法，对称轴公式求出，的值即可；
求出抛物线的最大值，以及，的函数值，可得结论；
求出直线经过，时，的值．以及直线与抛物线只有一个交点时的值，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．