2021年北京市九年级数学中考全真模拟卷（一）（word版 含答案）

这是一份2021年北京市九年级数学中考全真模拟卷（一）（word版 含答案），共21页。

1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．三棱锥C．三棱柱D．正方体
2．（2分）2020年新冠肺炎席卷全球．据经济日报3月8日报道，为支持发展中国家应对新冠肺炎疫情，中国向世卫组织捐款2000万美元．其中的2000万用科学记数法表示为（ ）
A．20×106B．2×107C．2×108D．0.2×108
3．（2分）下列由七巧板拼接而成的动物图案中，不属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的若干个红球和白球，其中红球5个，且从中摸出红球的概率为，则袋中白球的个数为（ ）
A．10B．15C．5D．2
5．（2分）若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结正确的是（ ）
A．a＞﹣1B．ab＞0C．b＜﹣aD．|a|＜|b|
7．（2分）下列各数，是不等式x+2＜4的解的是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．（2分）下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对的弦相等
B．圆的内接平行四边形是矩形
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．平分一条弦的直径也垂直于该弦
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）已知二元一次方程组，则2a+4b＝ ．
11．（2分）如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是 ．
12．（2分）计算：（﹣）2+|﹣2|＝ ．
13．（2分）计算：[]•＝ ．
14．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是 ．
15．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，DP；②连接BP，CP，则∠BPC＝ ．
16．（2分）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员排乱的操作步骤：
①连接AB和BC；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，OA为半径作⊙O；
④分别作出AB和BC的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．
18．（5分）解不等式组．
19．（5分）如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
20．（5分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣x（3x﹣6）的值．
21．（6分）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，DE⊥AC，垂足为点E，已知∠CDE＝2∠ADE．
（1）求证：△ABC∽△DEA；
（2）若AB＝6，求OE的长．
22．（5分）为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下车库的设计示意图（如图），按规定，地下车库入口CD的上方BC处要张贴限高标志，以便告知驾驶员车辆能否安全驶入．
（1）图中线段CD （填“是”或“不是”）表示限高的线段，如果不是，请在图中画出表示限高的线段；
（2）某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（≈1.7，精确到0.1米）．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，∠ABC＝90°，顶点A在第一象限，B、C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC＝3，AB＝4．若双曲线y＝（k≠0）交边AB于点E，交边AC于中点D．
（1）若OB＝2，求k；
（2）若AE＝AB，求直线AC的解析式．
24．（5分）目前，重庆市正全面开展生活垃圾分类工作．随着生活垃圾分类的全面推广，一些街镇也积极行动起来，通过入户宣传、开展各种趣味活动等，提高居民参与生活垃圾分类的积极性．为了进一步提高垃圾分类的准确度，某社区对甲、乙两个小区的居民进行了有关垃圾分类常识的测试，并从甲、乙两小区各随机抽取20名居民的测试成绩进行整理分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．10≤x＜15，B．15≤x＜20，C．20≤x＜25，D．25≤x≤30），下面给出了部分信息：
甲小区20名居民测试成绩：13，15，16，19，20，21，22，23，24，25，25，26，27，27，28，28，28，29，30，30．
乙小区20名居民测试成绩在C组中的数据是：20，23，21，24，22，21．
甲、乙两小区被抽取居民的测试成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
根据以上数据，你认为 小区（填“甲”或“乙”）垃圾分类的准确度更高，说明理由： ；
（2）若甲、乙两个校区居民共2400人，估计两个小区测试成绩优秀（x≥25）的居民人数是多少？
25．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠ADC＝，求的值．
26．（6分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D（0，3），连接AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ＝EQ，当△FEQ的周长最大时，求点Q的坐标和△FEQ周长的最大值；
（3）如图2，已知H（，0）．将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN是等腰三角形时，求抛物线的平移距离d．
27．（7分）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．
（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AE＝CF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，连接EF，将△DEF绕点D顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；
（3）如图3，连接EF，将△DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE与AB交于点G，若AE：AF＝3：4，求的值．
28．（7分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
故该几何体是一个三棱柱．
故选：C．
2．解：2000万＝20000000＝2×107．
故选：B．
3．解：A、是轴对称图形，本选项错误；
B、是轴对称图形，本选项错误；
C、是轴对称图形，本选项错误；
D、不是轴对称图形，本选项正确．
故选：D．
4．解：设有白球x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝10，
故选：A．
5．解：∵360÷40＝9，
∴这个多边形的边数是9．
故选：C．
6．解：由点的坐标，得
﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1．
A、a＞﹣1，故本选项错误；
B、ab＜0，故本选项错误；
C、b＜﹣a，故本选项正确；
D、|a|＞|b|，故本选项错误；
故选：C．
7．解：不等式解得：x＜2，
则1是不等式的解，
故选：D．
8．解：A、∵等弧所对的弦相等，
∴选项A不符合题意；
B、∵圆的内接平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵90°的圆周角所对的弦是直径，
∴选项C不符合题意；
D、∵平分一条弦（不是直径）的直径也垂直于该弦，
∴选项D符合题意，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣1≥0，
解得：x≥．
故答案为：x≥．
10．解：，
①﹣②，得：2a+4b＝6，
故答案为：6．
11．解：∵AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝α，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，
∴∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
∴∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．
故答案为：180°﹣3α．
12．解：原式＝2+2＝4，
故答案为：4．
13．解：原式＝•
＝•
＝，
故答案为：．
14．解：根据题意得△＝b2﹣4ac＝22﹣4k＜0，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
15．解：根据作图过程可知：
AD＝AP＝PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝∠ADP＝∠APD＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB＝AP，DP＝DC，
∴∠ABP＝∠APB＝∠DPC＝∠DCP＝75°，
∴∠BPC＝360°﹣60°﹣75°﹣75°＝150°．
故答案为：150°．
16．解：正确操作步骤的排列序号为：②①④③．
故答案为：②①④③．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．解：原式＝2×+﹣1﹣+1
＝
＝．
18．解：，
解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x＞，
所以不等式组的解集是x≥4．
19．证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
20．解：原式＝x2﹣4﹣3x2+6x
＝﹣2x2+6x﹣4，
∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴x2﹣3x＝1，
∴原式＝﹣2（x2﹣3x）﹣4
＝﹣2×1﹣4
＝﹣6．
21．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AO＝CO，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△DEA；
（2）∵∠CDE＝2∠ADE，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝30°，∠CDE＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DAE＝60°，∠DCA＝30°，
∴AC＝2AD，CD＝AD＝6，
∴AD＝2，
∴AC＝4，
∴AO＝2，
∵DE⊥AO，∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝，
∴OE＝AO﹣AE＝．
22．解：（1）图中线段CD不是表示限高的线段，
故答案为：不是；
图中表示限高的线段是CE，如图所示，
（2）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝9m，
∴BD＝AB•tan30°＝9×＝3m，
∴CD＝BD﹣BC＝（3﹣0.5）m，
在Rt△CDE中，∠CDE＝60°，CD＝（3﹣0.5）m，
∴CE＝CD×sin60°＝（3﹣0.5）×＝﹣≈4m，
∵4m＞3.9m，
∴该车能进入该车库停车．
23．解：设点B（m，0），则点C（m+3，0），点A（m，4），
由中点公式得，点D（m+，2）；
（1）当OB＝2＝m时，点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k＝×2＝7；
（2）AE＝AB，则EB＝AB＝，故点E（m，），
∵点E、D都在反比例函数上，故k＝2×（m+）＝m×，
解得：m＝6，
过点A、C的坐标分别为：（6，4）、（9，0），
设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线AC的表达式为：y＝﹣x+12．
24．解：（1）乙小区20名居民测试成绩在C组中的数据所占百分比为6÷20×100%＝30%，
∴a＝100﹣10﹣20﹣30＝40，
A、B组数据的个数为20×（10%+20%）＝6，
其中位数为＝22.5，即b＝22.5；
根据以上数据，认为甲小区垃圾分类的准确度更高，理由如下：
甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多，
故答案为：40、22.5，甲、甲小区垃圾分类的平均数及中位数均大于乙小区，所以甲社区的平均成绩高且高分人数多；
（2）估计两个小区测试成绩优秀（x≥25）的居民人数是2400×＝1140（人）．
25．（1）证明：过点O作OF⊥AB于F，
∵∠ACB＝90°，
∴OC⊥AC，
又∵OA是∠CAB的角平分线，
∴OF＝OC，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∴tanADC＝，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ADC，
又∵∠AEC＝∠ECD+∠ADC＝90°+∠ADC，
∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝90°+∠OCD＝90°+∠ADC，
∴∠AEC＝∠ACD，
而∠CAE＝∠CAD，
∴△AEC∽△ACD，
∴＝＝．
26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）如图1，过点Q作QM⊥EF于点M，则∠QME＝90°，
∵FQ＝EQ，QM⊥EF，
∴EF＝2EM，
∵A（﹣4，0），D（0，3），
∴OA＝4，OD＝3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得AD＝5．
∵PQ⊥x轴，
∴PQ∥OC，
∴∠QEM＝∠ADO，
∴cs∠QEM＝cs∠ADO，
∴＝＝，
∴EM＝QE，EF＝QE，
∴C△FEQ＝QE+EF+FQ＝QE，
∴当QE最大时，△FEQ的周长最大．
设Q（m，﹣m2﹣m+4），其中﹣4≤m≤0．
∵A（﹣4，0），D（0，3），
∴直线AD的解析式为y＝x+3，
∴E（m，m+3），
∴QE＝﹣m2﹣m+4﹣（m+3）
＝﹣m2﹣m+1
＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，QE有最大值，最大值为，
∴△FEQ周长的最大为×＝8.1，此时点Q的坐标为（﹣，）；
（3）由题知：平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4±d．
设xN＝n，则yN＝﹣n2﹣n+4±d．
又∵直线AD的解析式为y＝x+3，点N在AD上，
∴yN＝n+3，
∴﹣n2﹣n+4±d＝n+3，
∴d＝|n2+n﹣1|，
∵H（，0），A（﹣4，0），
∴AH＝﹣（﹣4）＝．
当△AHN是等腰三角形时，
①若AN＝AH，则（n+4）2+＝，
解得n1＝﹣9（舍去），n2＝1，
∴d＝|×12+×1﹣1|＝；
②若AN＝NH，则n+4＝﹣n，
解得n＝﹣，
∴d＝|×（﹣）2+×（﹣）﹣1|＝；
③若AH＝NH，则+＝，
解得n1＝﹣4（舍去），n2＝4，
∴d＝|×42+×4﹣1|＝14．
综上，抛物线的平移距离d的值为或或14．
27．解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，
理由如下：延长FA交BE于H，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠ACD＝45°，AB＝AC，
∴∠BAE＝∠ACF＝135°，
又∵AB＝AC，AE＝CF，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴AF＝BE，∠EBA＝∠FAC，
∵∠BAF＝∠ABE+∠BHA＝∠BAC+∠CAF，
∴∠BAC＝∠BHA＝90°，
∴BE⊥AF；
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BC，
∵四边形ABCE恰为平行四边形，
∴AE＝BC＝2AD，AE∥BC，
∴∠EAD＝∠ADB＝90°，
∴DE＝＝＝AD；
（3）如图3，连接BE，过点E作EH⊥AB于H，DN⊥AB于N，
由图1可得：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD＝CD，AD⊥CD，
又∵AE＝CF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DFE＝∠DEF＝45°
由图3可得：∠EDF＝∠BDA＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
又∵AD＝BD，DE＝DF，
∴△ADF≌△BDE（SAS），
∴BE＝AF，∠DFE＝∠BED＝45°，
∴∠AEB＝90°，
∵AE：AF＝3：4，
∴设AE＝3a，AF＝BE＝4a，
∴AB＝＝＝5a，
∵AD＝BD，∠ADB＝90°，DN⊥AB，
∴DN＝BN＝AN＝a，
∵S△ABE＝AE×BE＝AB×EH，
∴EH＝＝a，
∴AH＝＝a，
∵∠BED＝∠AED＝45°，
∴，
∴BG＝，AG＝，
∴GH＝a，GN＝a，
∴EG＝＝a，DG＝＝a，
∴＝＝．
28．解：（1）如图1，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
∵DG＝DE，DA＝DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：
如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，
∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，
∴，＝＝，
∴＝，
∴△GDA∽△EDC，
∴＝，即CE＝2AG，
∵△GDA∽△EDC，
∴∠ECD＝∠GAD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图3，
在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴＝，即，
∴PD＝，PG＝，
则AP＝＝＝，
则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；
②当点G在线段AE上时，如图4，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
同理得：PD＝，AP＝，
由勾股定理得：PE＝＝，
则AE＝AP+PE＝+＝；
综上，AE的长为．
平均数
中位数
方差
甲小区
23.8
25
25.75
乙小区
22.3
b
24.34