2021年北京市九年级数学中考全真模拟卷（四）（word版 含答案）

这是一份2021年北京市九年级数学中考全真模拟卷（四）（word版 含答案），共20页。

1．（2分）一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个几何体的体积是（ ）
A．6B．12C．12D．12+4
2．（2分）5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示应为（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
3．（2分）下列四个图中∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2分）若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和（ ）
A．增加180°B．增加360°C．减少180°D．不变
6．（2分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．2B．﹣1C．﹣2D．﹣3
7．（2分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．（2分）A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是km/h；④当乙车出发2小时时，两车相距km．其中正确的结论是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②③④
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若分式有意义，则x的取值范围为 ．
10．（2分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是 ．
11．（2分）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82[]＝9[]＝3[]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是 ．
12．（2分）设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝ ．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，一条过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点，若A（m，﹣2），B（﹣m，m2﹣7），则该反比例函数的表达式为 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．
16．（2分）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）先化简，再求值：（2x﹣y）2﹣（x﹣3y）（x+3y）+4（xy﹣y2），其中x＝﹣2，y＝1．
20．（5分）（1）如图1，四边形ABQP内接于⊙O，AP＝BQ，求证PQ∥AB．
（2）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请你用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）：
①在图2中，作弦EF，使EF∥BC；
②在图3中，以BC为边作一个45°的圆周角．
21．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，E是BC中点，连接OE并延长到F，使EF＝OE．
（1）求证：四边形OBFC是矩形．
（2）如果作BG∥OF，FG∥BC，四边形BGFE是何特殊四边形？并说明理由．
22．（5分）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小红对函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请同学们阅读探究过程并解答：
（1）小红列出了表格，请同学们把表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有 （填正确答案的序号）．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝kx+1与函数y＝的图象有两个交点，直接写出k的取值范围．
23．（6分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED⊥AB，交AB于点H，交AC于点F．过点C的切线交ED的延长线于点P．
（1）求证：PC＝PF；
（2）在劣弧AC上有一点D，满足AD2＝DE•DF，连接DB．若，AH＝4，求HF的长度．
24．（6分）已知函数y＝a|x﹣2|﹣x+b（a、b为常数），当x＝4时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝0，请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝x2﹣x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式a|x﹣2|﹣x+b≤x2﹣x的解．
25．（5分）在5月31日世界禁烟日到来之际，某校为了提高禁烟意识，在七、八年级举办了“关爱健康，远离香烟”的知识竞赛，两个年级分别有500人为了了解本次竞赛成绩情况，现从中各随机抽取了部分同学的测试成绩x（得分均为整数，满分为100分）进行调查分析，过程如下：
第一步：收集数据
七年级：68 88 100 100 79 94 89 85 100 88
81 69 98 79 77 94 96 75 92 67
八年级：69 97 78 89 98 100 99 100 95 99
99 69 75 100 99 78 79 87 85 79
第二步：整理、描述数据
第三步：分析数据
第四步：应用数据
（1）直接写出a的值和八年级抽取了多少个同学的成绩进行分析
（2）在此次测试中，七年级甲学生的成绩为89分，八年级乙学生成绩为90分，甲、乙两人的成绩在各自年级中哪一个更靠前？请说明理由．
（3）若成绩在90分至99分之间（含90分，99分）的学生为二等奖，请估计七、八年级一共获得二等奖的学生总人数．
26．（6分）如图，抛物线y＝mx2﹣3mx﹣2交y轴于点G，C为y轴正半轴上一动点，过点C作AB∥x轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧）．
（1）当OC＝3，AB＝7时，求抛物线的对称轴及函数表达式．
（2）在（1）中所求抛物线的基础上，若CG＝AB，求点C的坐标．
27．（7分）如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D．
（1）求证：∠BEC＝∠BAF；
（2）判断△AFC的形状并说明理由．
（3）若CD＝2，求EF的长．
28．（7分）定义：如图①，⊙O的半径为r，若点P'在射线OP上，且OP•OP'＝r2．则称点P'是点P关于⊙O的“反演点”．
（1）如图①，设射线OP与⊙O交于点A，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，且OP'＝PA，求证：点P'为线段OP的一个黄金分割点；
（2）如图②，若点P'是点P关于⊙O的“反演点”，过点P'作P'B⊥OP，交⊙O于点B，连接PB，求证：PB为⊙O的切线；
（3）如图③，在Rt△CDE中，∠E＝90°，CE＝6，DE＝8，以CE为直径作⊙O，若点P为CD边上一动点，点P'是点P关于⊙O的“反演点”，则在点P运动的过程中，线段OP'长度的取值范围是 ．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且边长为，高为3，
这个几何体的体积＝，
故选：A．
2．解：将1300000用科学记数法表示为：1.3×106．
故选：C．
3．解：A、∠1不一定等于∠2，故此选项错误；
B、∠1不一定等于∠2，故此选项错误；
C、∠1不一定等于∠2，故此选项错误；
D、∠1＝∠2，对顶角相等，故此选项正确．
故选：D．
4．解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
5．解：任意多边形的外角和都是360°，
∴若某多边形的边数增加1，则这个多边形的外角和不变．
故选：D．
6．解：因为1＜a＜2，
所以﹣2＜﹣a＜﹣1，
因为﹣a＜b＜a，
所以b只能是﹣1．
故选：B．
7．解：列表如下：
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以两次记录的数字之和为3的概率为＝，
故选：C．
8．解：由图可得，
乙车出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故①错误；
两人相遇时，他们离开A地20km，故②正确；
甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），乙的速度是40÷3＝（km/h），故③正确；
当乙车出发2小时时，两车相距：[20+40×（2﹣1.5）]﹣×2＝（km），故④正确；
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．解：要使有意义，必须x2﹣9≠0，
则x≠±3，
故答案为：x≠±3．
10．解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
11．解：∵最后的结果为2，
∴第3次参与运算的最大数为（2+1）2﹣1＝8，即[]＝2，
∴第2次的结果为8，
∴第2次参与运算的最大数为（8+1）2﹣1＝80，即[]＝8，
∴第1次的结果为80，
∴第1次参与运算的最大数为（80+1）2﹣1＝6560，即[]＝80，
也就是，
故答案为：6560．
12．解：由题意得，
①+②得5x﹣5y＝5，即x﹣y＝1③，
①﹣③×2得﹣y＝3，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入③得，x＝﹣2，
∴P＝xy＝﹣2×（﹣3）＝6，
故答案为6．
13．解：∵一条过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴m2﹣7＝2，
∴m＝±3，
∵点A在第三象限，
∴m＜0，
∴m＝﹣3，
∴点A（﹣3，﹣2），
∵点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，
∴k＝﹣3×（﹣2）＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
故答案为：y＝．
14．解：∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACD，
添加BD＝CD，
∴在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
故答案为：BD＝CD．
15．解：∵S△ABC＝×2×4＝4，S△ABD＝2×5﹣×5×1﹣×1×3﹣×2×2＝4，
∴S△ABC＝S△ABD，
故答案为：＝．
16．解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，
此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，
即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，
①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，
即丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、甲（6，8）、乙（10，12，14），
或丙（3，1，2，4）、丁（5，7，9，11，13）、乙（6，8，10）、甲（12，14）；
②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，
此时，四个人购买的票全在第一排，
即丙（3，1，2，4）、甲（5，7）、丁（6，8，10，12，14）、乙（9，11，13），
或丙（3，1，2，4）、乙（5，7，9）、丁（6，8，10，12，14）、甲（11，13），
因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，
故答案为：丙、丁、甲、乙．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．原式＝﹣2×+
＝2﹣+
＝2．
18．解：，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
19．解：原式＝4x2+y2﹣4xy﹣（x2﹣9y2）+4xy﹣4y2
＝4x2+y2﹣4xy﹣x2+9y2+4xy﹣4y2
＝3x2+6y2，
当x＝﹣2，y＝1时，
原式＝3×（﹣2）2+6×12
＝12+6
＝18．
20．（1）证明：连接AQ．
∵AP＝BQ，
∴＝，
∴∠AQP＝∠QAB，
∴PQ∥AB．
（2）解：①如图，线段EF即为所求．
②如图，∠PBC即为所求．
21．（1）证明：∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
∵EF＝OE，
∴四边形OBFC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴平行四边形OBFC是矩形；
（2）解：四边形BGFE是菱形，理由如下：
∵BG∥OF，FG∥BC，
∴四边形BGFE是平行四边形，
由（1）得：BE＝CE，EF＝OE，四边形OBFC是矩形，
∴OF＝BC，
∴BE＝EF，
∴四边形BGFE是菱形．
22．解：（1）补充表格：
画出函数图象如图所示：
（2）由图象可知，正确的性质为②此函数无最小值；③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
故答案为②③；
（3）若直线y＝kx+1经过点（3，2），
∴2＝3k+1，
∴k＝，
若y＝kx+1与y＝2平行时，则k＝0，
若直线y＝kx+1与函数y＝的图象有两个交点，则．
23．解：（1）连接BC，
∵AB、AC分别是⊙O的直径和弦，弦ED⊥AB，
∴∠BCA＝90°，∠PCA＝∠CBA，
∴∠CBA＝∠HFA，
∵∠PFC＝∠HFA，
∴∠CBA＝∠PFC，
∴∠PCA＝∠PFC，
∴PC＝PF，
（2）连接BD，AE，
∵AB为直径，
∴BD⊥AD，
∵DE⊥AB，
∴AD2＝AH•AB，
∵，
∴AD：BD＝1：2，
∵AH＝4，
∴AD＝4，
∴DH＝8，
∴DE＝16，
∵AD2＝DE•DF，
∴DF＝5，
∵，∠ADF＝∠EDA，
∴△FDA∽△ADE，
∵△ADE为等腰三角形，
∴△FDA也为等腰三角形，
∴DF＝AF＝5，
∴HF＝3．
24．解：（1）把x＝4，y＝﹣4和x＝﹣2，y＝0代入函数y＝a|x﹣2|﹣x+b中，
得：，解得：，
故答案为：﹣，7；
（2）当x≥2时，函数y＝﹣（x﹣2）﹣x+7；当x＜2时，函数y＝﹣（2﹣x）﹣x+7，
y与x的部分对应值如下表：
根据表格数据，绘制如下函数图象：
（3）从图象看，两个函数的交点横坐标为：﹣1和3，
∴不等式a|x﹣2|﹣x+b≤x2﹣x的解是：x≤﹣1或x≥3．
25．解：（1）a＝99，八年级抽取了20个同学的成绩进行分析；
（2）∵七年级同学的成绩的中位数是88，八年级同学的成绩的中位数是92，
∴甲的成绩在自己年级中更靠前；
（3）1000×＝300人，
答：七、八年级一共获得二等奖的学生总人数为300人．
26．解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣3mx﹣2，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝，
∵OC＝3时，AB＝7，
设对称轴与AB交于点D，
∴BD＝，BC＝+＝5，
∴点B的坐标为（5，3），
∴3＝m×52﹣3m×5﹣2，
解得m＝，
∴y＝x2﹣x﹣2，
由上可得，该抛物线的对称轴是直线x＝，函数表达式是y＝x2﹣x﹣2；
（2）设OC＝2n，
∵抛物线y＝mx2﹣3mx﹣2交y轴于点G，
∴点G的坐标为（0，﹣2），
∵CG＝AB，
∴AB＝2n+2，
∴BD＝n+1，BC＝n+，
∴点B的坐标为（n+，2n），
∴2n＝（n+）2﹣（n+）﹣2，
解得n1＝，n2＝﹣（舍去），
∴点C的坐标为（0，7）．
27．解：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABF，
在△BEC和△BAF中，
，
∴△BEC≌△BAF（SAS），
∴∠BEC＝∠BAF；
（2）△AFC是等腰三角形．
证明：过F作FG⊥BA，与BA的延长线交于点G，如图，
∵BA＝BE，BC＝BF，∠ABF＝∠CBF，
∴∠AEB＝∠BCF，
∵∠BEC＝∠BAF，
∴∠GAF＝∠AEB＝∠BCF，
∵BF平分∠ABC，FD⊥BC，FG⊥BA，
∴FD＝FG，
在△CDF和△AGF中，
，
∴△CDF≌△AGF（AAS），
∴FC＝FA，
∵△ACF是等腰三角形；
（3）设AB＝BE＝x，
∵△CDF≌△AGF，CD＝2，
∴CD＝AG＝2，
∴BG＝BA+AG＝x+2，
在Rt△BFD和Rt△BFG中，
，
∴△BFD≌△BFG（HL），
∴BD＝BG＝x+2，
∴BF＝BC＝BD+CD＝x+4，
∴EF＝BF﹣BE＝x+4﹣x＝4．
28．（1）证明：由已知得OP•OP'＝r2，
∵OP'＝PA，
∴PP'＝PA+AP'＝OP'+P'A＝r，
∴，
∴点P'为线段OP的一个黄金分割点；
（2）证明：∵P'B⊥OP，
∴∠OP'B＝90°，
∵OP•OP'＝r2，
∴，
∵∠P'OB＝∠BOP，
∴△P'OB∽△BOP，
∴∠OBP＝∠OP'B＝90°，
∴PB⊥OB，
∴PB为⊙O的切线；
（3）解：如图③，过点O作OH⊥CD于H，连接OD，
∵CE＝6，
∴⊙O的半径为3，即r＝3，
∵点P'是点P关于⊙O的“反演点”，
∴OP•OP'＝32＝9，
∴OP'＝，
∵OH≤OP≤OD，
∵∠CEB＝90°，CE＝6，DE＝8，
∴CD＝10，
∵sin∠C＝＝＝，
∴OH＝OC＝，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
∵OP＝，OH≤OP≤OD，
则≤OP'≤．
故答案为：≤OP'≤．
分数段
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级人数
3
4
5
8
八年级人数
2
5
3
10
年级
平均数
中位数
众数
满分率
方差
七年级
86
88
100
15%
115.6
八年级
88.7
92
a
15%
120
1
2
1
2
3
2
3
4
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0
1
2
2
2
2
…