2021年安徽省合肥市中考第四次质量调研数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年安徽省合肥市中考第四次质量调研数学试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．有理数的绝对值为（ ）
A．2021B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．纳米是一种长度单位，1纳米米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（ ）
A．米B．米C．米D．米
4．若将两个立方体图形按如图所示的方式放置，则所构成的几何体的左视图可能是（ ）.
A．B．C．D．
5．某数学兴趣小组为了了解本班学生一周课外阅读的时间，随机调查5名学生，并将所得数据整理如表表中有一个数字被污染而模糊不清，但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（ ）
A．2，6B．1.5，4C．2，4D．6，6
6．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．某药店在防治新冠病毒期间，市场上抗病毒用品紧缺的情况下，将某药品提价100%，物价部门查处后，限定其提价幅度只能是原价的14%，则该药品现在降价的幅度是（ ）
A．43%B．45%C．57%D．55%
8．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，中，，，点在的延长线上，且连接并延长，过作于点，若，则的面积为（ ）
A．1B．2C．D．
10．如图1，在等边三角形和矩形中，，点，，都在直线上，且于点，于点，且，，三点共线，将矩形以每秒1个单位长度的速度从左向右匀速运动，直至矩形和：无重叠部分；设矩形运动的时间为秒，矩形和重叠部分的面积为；图2为随的变化而变化的函数图象，则函数图象中点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．16的平方根是 ．
12．如图，点、、在圆上，点是延长线上一点，若，则的度数为_____________．
13．如图，一次函数的图象与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点．以为对角线作矩形，使顶点，落在轴上（点在点的右边），与交于点．则_____________．
14．如图所示，已知直线，、之间的距离为1，、点分别在直线、上，、分别为直线、直线上的动点，使，且．
（1）的值为_____________.
（2）在运动的过程中，的最小值为_____________．
三、解答题
15．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
16．由于疫情防控的需要，学校开学第一周给某班配备了一定数量的口罩，若每个学生发5个，则多40个口罩，若每个学生发6个，则少12个口罩，请问该班有多少名学生？学校给该班准备了多少个口罩？
17．如图，在平面直角坐标系中，中点的坐标为，点的坐标为．
（1）将绕点顺时针旋转得到，请你画出旋转后的图形；
（2）请用无刻度直尺作的角平分线，并直接写出点的坐标．
18．桌面上的某创意可折叠台灯的平面示意图如图1所示，将其抽象成图2，量得，﹔灯杆的长为30cm，灯管的长为20cm，底座的厚度为3cm，不考虑其他因素，求台灯的高（点到桌面的距离，结果保留根号）．
19．观察下列等式：
① ②
② ④
……
（1）请按以上规律写出第⑤个等式 ；
（2）猜想并写出第n个等式 ；并证明猜想的正确性．
20．某校数学社团对该校学生进行“舌尖上的合肥——我最喜爱的合肥小吃”随机调查，每人只能从中“．锅贴、．鸡蛋灌饼、．小笼包、．赤豆糊”中选择一个本人最喜欢的小吃．将调查问卷整理后绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

（1）小笼包所在扇形的圆心角的度数为___________，将条形统计图补充完整；
（2）该校共有1200名同学，估计最喜欢赤豆糊的同学有___________名；
（3）甲、乙两个同学从这四种小吃：“．锅贴、．鸡蛋灌饼、小笼包、．赤豆糊”中随机地选一项去品尝，请你利用树状图或表格，求出两位同学选到、小吃的概率．
21．直线交于点、两点，是的直径，平分交于，过作于，若，．
（1）的半径；
（2）圆心点到距离．
22．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值．
23．中，，，、分别为、中点，连接与的角平分线交于点，连接．
（1）如图，求证：．
（2）取中点，连接、，与交于点，如图．

①求证：；
②求的值．
学生编号
1
2
3
4
5
一周课外阅读时间（小时）
7
5
4
8
参考答案
1．B
【分析】
直接利用绝对值的定义进而得出答案．
【详解】
解：的绝对值是：．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．
2．B
【分析】
直接根据合并同类项，同底数幂的乘法及幂的乘方、完全平方差公式的展开的运算分别计算出各项结果，再进行判断即可得到答案．
【详解】
解：A、与不能计算，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法正确，符合题意；
C、，选项说法错误，不符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法及幂的乘方、完全平方差公式的展开的运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
3．C
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往右移动到的后面，所以
【详解】
解：110纳米
故选：
【点睛】
本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4．C
【详解】
试题分析：根据左视图就是从物体的左边进行观察得到的图形．左视图是上面两个长方形，下面是一个长方形，中间是实线，故选C．
考点：简单组合体的三视图．
5．A
【分析】
先由平均数的公式计算出模糊不清的值，再根据中位数和方差的公式计算即可．
【详解】
解：∵这组数据的平均数为6，
∴模糊不清的数是：6×5-7-5-4-8=6，
将数据重新排列为4、5、6、7、8，
所以这组数据的中位数为6，
则这组数据的方差为[（7-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（4-6）2+（8-6）2]=2；
故选：A．
【点睛】
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．B
【分析】
过含角的三角板的直角顶点做一条平行纸条边的线，在图上标出相应的角，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，两角互补相关知识求出．
【详解】
解：过含角的三角板的直角顶点做一条平行纸条边的线，在图上分别标出、、、，
由题意及根据两直线平行知：，，
所求，
由图可知：与互补，
，
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了两直线平行内错角相等，同位角相等及两角互补等相关知识，解题的关键是：根据两直线平行，找出角之间的关系，间接求出．
7．A
【分析】
根据题意，可以列出相应的方程，从而可以得到该药品现在降价的幅度，本题得以解决．
【详解】
解：设该药品现在降价的幅度为x，原来的价格为a元，
a（1+100%）（1﹣x）＝a（1+14%），
解得，x＝43%，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8．D
【分析】
观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c-5的值在3～4之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=5时，对应的x的值在3～4之间．
【详解】
解：由表格可知：当x=3时，ax2+bx+c=0.5，则ax2+bx+c-5=-4.5，
当x=4时，ax2+bx+c=9.5，则ax2+bx+c-5=4.5，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5（a≠0）的一个解x的范围是3＜x＜4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．
9．C
【分析】
先证得△AFC是等边三角形，再证得△DFC是直角三角形，由相似三角形的判定和性质求得FC的长，即可求解．
【详解】
解：取AB的中点F，连接CF，
∵∠ACB=90°，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，FC=FA=AB，
∴△AFC是等边三角形，
∴∠FAC=∠FCA=60°，AC=FC=FA，
∵BA=2AD，
∴AC=AD=FA，
∴△DFC是直角三角形，且∠DCF=90°，∠D=30°，
∵BE⊥DC，
∴FC∥BE，
∴△DCF△DEB，
∴，
∵BE=3，
∴FC=2，
∴DC=，
∴的面积为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定性质，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．D
【分析】
由图2可知，矩形DEFG运动到第4秒和第6秒时，重叠部分的面积S与时间t的函数关系都发生改变，当矩形DEFG向右匀速运动到第4秒时，FG恰好经过点B；矩形DEFG向右匀速运动到第6秒时，DE恰好与CA重合．由此可得EF及AC边上的高；过点B作BM⊥CA于点M，交FG于点N，设AB与FG交于点P，BC与FG交于点Q，则此时S取得最大值，判定△BPQ∽△BAC，从而可得△BPQ与△BAC的面积比，再根据S=S梯形PQCA=S△BAC，计算出S的值，即为所求．
【详解】
解：由图2可知，矩形DEFG运动到第4秒和第6秒时，重叠部分的面积S与时间t的函数关系都发生改变，
当矩形DEFG向右匀速运动到第4秒时，FG恰好经过点B；矩形DEFG向右匀速运动到第6秒时，DE恰好与CA重合．
∴EF=4，AC边上的高为6，
当矩形DEFG向右匀速运动到第6秒时，DE恰好与CA重合，过点B作BM⊥CA于点M，交FG于点N，
设AB与FG交于点P，BC与FG交于点Q，如解图所示，此时S取得最大值，
∴BM=6，NM=EF=4．
∴BN=2，AC=4，
在矩形FGCA中，FG∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴=．
∴S=S梯形PQCA=S△BAC=×AC×BM=．
∴点H的纵坐标是．
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，数形结合、分段讨论并熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．±4．
【详解】
由（±4）2=16，可得16的平方根是±4．
12．
【分析】
设点E是优弧AB（不与A，B重合）上的一点，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求得∠E，再利用圆周角定理即可求解．
【详解】
解：设点E是优弧AB（不与A，B重合）上的一点，连接AE、CE，
∵∠CBD=70°．
∴∠E=∠CBD=70°．
∴∠AOC=2∠E=140°．
故答案为：140°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的外角等于它的内对角是解答此题的关键．
13．
【分析】
过点D作DF∥x轴，交y轴于点F，可知；根据矩形的对角线互相平分的性质，可知 BE=ED，结合相似三角形的对应边成比例，得到O是BF的中点；进而可知点D的纵坐标，利用一次函数解析式可求点D的横坐标；最后利用反比例函数解析式可求k值．
【详解】
解：过点D作DF∥x轴，交y轴于点F，如图所示．
∵直线经过点，
∴．
∴OB=3．
∴一次函数的解析式为．
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∵轴，
∴．
∴．
∴．
∴点O是BF的中点．
∴OF=OB=3．
∴．
∴．
∵点在直线上，
∴
解得，．
∴．
∵点在双曲线上，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识点，熟知矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的基础；把握“点坐标、线段长、解析式”三者的互相转化是解题的关键．
14．
【分析】
（1）移动点A使与点F重合，过A作AC⊥m于C，由EF⊥AB，由勾股定理，可证△BCA∽△ACE，，可求，由勾股定理；
（2）作点A关于m的对称点A′，作点B关于n的对称点B′，过点B′延长A′E交n于H，连结B′H，AB与EF交于Q，当四边形AEBF为菱形时最短，的最小值，由四边形AEBF为菱形，可得AE=BF，由m∥n，可得AE=HE=A′E，可得AE+FB=A′H最短，（两点之间线段最短） ，可证△AQF∽△ENF，可得，求出即可．
【详解】
解：（1）移动点A使与点F重合，过A作AC⊥m于C，
∵EF⊥AB，
∴∠EAB=90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理
∵∠CBA+∠CAB=90°，∠CAE+∠BAC=90°，
∴∠CBA=∠CAE，
∴∠BCA=∠ACE=90°，
∴△BCA∽△ACE，
∴即，
∴，
在Rt△ECA中，由勾股定理，
故答案为：；
（2）作点A关于m的对称点A′，作点B关于n的对称点B′，过点B′延长A′E交n于H，连结B′H，AB与EF交于Q，
当四边形AEBF为菱形时最短，的最小值，
∵四边形AEBF为菱形，
∴AE=BF，
∵m∥n，
∴∠mEA=∠EAH=∠A′Em=∠EHA，
∴AE=HE=A′E，
∵BF=B′F=AE，
∴EH=FB′
∴AE+FB=A′H最短，（两点之间线段最短） ，
过E作EN⊥n于N，
∵AQ⊥EF，
∴∠AQF=∠ENF=90°，
∵∠AFQ=∠EFN，
∴△AQF∽△ENF，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴AE=BF=，
∴最小=+=．
故答案为．
【点睛】
本题考查平移性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，菱形的性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握平移性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，菱形的性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键．
15．，图见解析
【分析】
先求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出两个解集的公共部分即可．
【详解】
解：．
不等式①的解集是；
不等式②的解集是．
在数轴上表示为：
∴不等式组的解集是．
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
【点睛】
本题考查了不等式组的解法的知识点，熟知解不等式组的步骤和方法是解题的关键．
16．学生52人，口罩300个
【分析】
设该班有x名学生，根据口罩数量不变列方程求解即可．
【详解】
解：设该班有x名学生，
5x+40=6x-12，
解得：x=52，
5x+40=552+40=300（个）
答：该班学生52人，学校给该班准备了口罩300个
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程．
17．（1）图见解析；（2）图见解析，
【分析】
（1）根据旋转的性质画出和的坐标，再分别连接、和即可．
（2）以AB为边沿BO方向作正方形ABCD，连接BD交x轴于点E，则BE即为所作．根据B点和D点坐标即可求出经过点B、D的直线的解析式，令y=0，求出x，即可求出E点坐标．
【详解】
（1）如图即为所求；
（2）以AB为边沿BO方向作正方形ABCD，连接BD交x轴于点E，则BE即为所作．
根据图可知，，
设经过点B、D的直线的解析式为，
则，解得：．
故经过点B、D的直线的解析式为．
令，则，
则．
故．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换和复杂作图以及一次函数的应用．掌握旋转的性质，正方形的性质，角平分线的性质以及一次函数的图象和性质是解答本题的关键．
18．．
【分析】
过点D分别作、于点G，作于点F．根据所作辅助线结合题意利用平行线的性质可求出，即为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长，在根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出的长，即可求出台灯的高．
【详解】
如图，过点D分别作、于点G，作于点F．
根据所作辅助线结合题意可知，
∴，
故为等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，
∴台灯的高．
【点睛】
本题考查勾股定理的实际应用，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键．
19．（1）；（2），证明见解析
【分析】
（1）根据前几个等式的变化规律：“第一个项的分母乘以第二个项的分母等于第三项的分母，分子都为1，等式右边的分母与式子的序列号相同”得出即可；
（2）根据等式的变化规律即可得出第个等式；通分化简第个等式左边，再判断即可．
【详解】
（1）观察各式规律可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）根据上述规律，得第个等式为，
故答案为：
证明：左边右边
∴
∴等式成立．
【点睛】
本题考查了分式的规律性问题、分式的加减运算，能正确得出等式的变化规律是解答的关键．
20．（1），图见解析；（2）120；（3）
【分析】
（1）根据B的人数和所占的百分比，可以求得本次被抽查的人数，根据C所占的百分比，可以计算出扇形统计图中C所在的扇形圆心角的度数；再根据条形统计图中的数据，即可计算出A的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）总人数乘以D所占比例即可得；
（3）画出树状图，利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）本次被抽查的学生共有20÷40%=50（人），
小笼包所在扇形的圆心角的度数为：360，
A等级的学生有：50-20-15-5=10（人），
补全完整的条形统计图如图所示，
故答案为：；
（2）1200，
该校共有1200名同学，估计最喜欢赤豆糊的同学有120名；
故答案为：120；
（3）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两位同学选到A、B小吃的结果有2个，
∴两位同学选到A、B小吃的概率=．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法、概率公式以及条形统计图和扇形统计图的有关知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（1）4；（2）
【分析】
（1）连接CD，首先求出AD，由△ACD∽△ADE，得到，即可求出AC解决问题．
（2）作OF⊥MN于F，则四边形ODEF是矩形，求出OF即可解决问题．
【详解】
（1）解：连接CD
∵
∵∠AED＝90°，，AE＝2，
∴AD4，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵平分
∴∠CAD＝∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴，
∴，
∴AC＝8，
∴⊙O的半径是4cm．
（2）解：连接OD，作OF⊥MN于F，
∵∠AED＝90°
∴∠ADE+∠DAE＝90°
∵OD＝OA
∴∠OAD＝∠ODA，
∵平分
∴∠OAD＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴∠ADE+∠ODA＝90°
∴∠EDO＝90°
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF＝，
∴圆心点到距离为
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用相似三角形性质解决问题，属于中考常考题型．
22．（1）；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方程组求得，，然后求得m的值，设P点坐标为，过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
【详解】
解：（1）
∴二次函数的相依函数表达式为：；
（2）①在中，
其顶点坐标为，
∴该二次函数的相依函数为：，
当时，，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得，解得，
∴，
又∵点到直线的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x=时，S有最大值为1，即
【点睛】
本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键．
23．（1）见解析；（2）①见解析；②．
【分析】
（1）根据角平分线的定义及等腰直角三角形的性质可得∠ABG=22.5°，根据、分别为、中点可知DE为△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质可得BE//BC，可得∠ADG=45°，根据外角性质可得∠BGD=22.5°，可得，即可得出∠AGB=90°，可得结论；
（2）①作交于点，根据等腰直角三角形的性质可得∠AHB=90°，AH=BH，根据角的和差关系可得，∠AHG=∠BHM，利用ASA可证明△AHG≌△BHM，可得，GH=MH，可得△GHM是等腰直角三角形，即可得出，根据线段的和差关系即可得结论；
②如图，过点F作FN⊥BC于N，根据∠ABF=∠HBP，∠BAF=∠BHP=90°可证明△ABF∽△HBP，根据相似三角形的性质可得PH=，根据角平分线的性质可得AF=NF，根据S△ABC=AF·AB+BC·FN=AB2及等腰直角三角形的性质可得AF=（2-）BH，根据三角形中位线的性质及等腰直角三角形的性质可得AE=，即可用BH表示出EF的长，进而即可求出的值．
【详解】
（1）∵，，
∴=45°，
∵BF平分，
∴，
∵、为、中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∴，
∴∠BGD=22.5°，
∴，
∴，
∴．
（2）①作交于点，
∵H为BC中点，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠AHB=90°，AH=BH，
由（1）得∠AGB=90°，
∴，
∵，
∴=22.5°，
∵∠AHG+∠AHM=∠GHM=90°，∠BHM+∠AHM=∠AHB=90°，
∴∠AHG=∠BHM，
在△AHG和△BHM中，，
∴△AHG≌△BHM，
∴，GH=MH，
∴△GHM是等腰直角三角形，
∴，
∴．
②如图，过点F作FN⊥BC于N，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点H为BC中点，
∴AH=BH，AH⊥BC，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AB=BH，BC=2BH，
∵DE为△ABC中位线，
∴DE=，△ADE为等腰直角三角形，
∴AE=，
∵BF为∠ABC的角平分线，FN⊥BC，∠BAC=90°，
∴FN=AF，∠ABF=∠HBP，
∵AH⊥BC，
∴∠BAF=∠BHP=90°，
∴△ABF∽△HBP，
∴，即PH=，
∵S△ABC=AF·AB+BC·FN=AB2，
∴BH·AF+2BH·AF=2BH2，
∴AF=（2-）BH，
∴EF=AE-AF=，
．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握作出辅助线构建全等三角形和相似三角形，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定定理是解题关键．