第八章 8.5直线、平面垂直-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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第1课时


进门测



1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　×　)
(3)直线a⊥α，直线b⊥α，则a∥b.(　√　)
(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　×　)
(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　√　)
2、下列命题中不正确的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
答案　A
解析　根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．
3、设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.


4、对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是(　　)
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
答案　D
解析　①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.
5、在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案　(1)外　(2)垂
解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，
∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，
又AB⊥PO，PO∩PC＝P，
∴AB⊥平面PGC，
又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．
同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，
即O为△ABC的垂心.
作业检查


无
第2课时


阶段训练


题型一　直线与平面垂直的判定与性质
例1　如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
OD′＝.
证明：D′H⊥平面ABCD.
证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC得＝＝.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，
所以D′H⊥平面ABCD.







【同步练习】
1、在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，P在线段BC上，CP＝3PB，M，N分别为AD，BD的中点．
求证：BC⊥平面MNP.
证明　因为MN是△ABD的中位线，
所以MN∥AB.
又AB⊥平面BCD，
所以MN⊥平面BCD，
又因为BC⊂平面BCD，
所以MN⊥BC.①
取BC的中点Q，连接DQ，则DQ⊥BC.
由PN是△BDQ的中位线知PN∥DQ，
所以PN⊥BC.②
由①②可得BC⊥平面MNP.
题型二　平面与平面垂直的判定与性质
例2　如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.
证明　(1)方法一　
取PA的中点H，连接EH，DH.
又E为PB的中点，
所以EH綊AB.
又CD綊AB，
所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
方法二　连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝AB.
又CD＝AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.







引申探究
1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.
证明　因为AB⊥PA，AB⊥AC，
且PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面PAC.
又MN⊂平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PAC.
2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.
证明　因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，
所以EF∥PA，FG∥AC，
又EF⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
同理，FG∥平面PAC.
又EF∩FG＝F，
所以平面EFG∥平面PAC.
【同步练习】
1、如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明　(1)由已知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，
又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，
A1B1⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，
∵B1D⊂平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D，
又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，
A1F⊂平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，
∴B1D⊥平面A1C1F，
又∵B1D⊂平面B1DE，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

第3课时


阶段重难点梳理



1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b


2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：[0，]．
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

【知识拓展】
重要结论：
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
重点题型训练



题型三　求空间角
命题点1　求两条异面直线所成的角和二面角
例3　如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．
(1)求直线EF和直线AB1所成的角的大小；
(2)求二面角D—A1C1—D1的正切值．
解　(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
因为E，F分别是AD，AA1的中点，
所以EF∥A1D.
因为AD∥B1C1，AD＝B1C1，
所以四边形ADC1B1为平行四边形．
所以AB1∥DC1.
所以∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．
因为△A1DC1是等边三角形，
所以∠A1DC1＝60°，
即直线AB1和EF所成的角是60°.
(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，连接B1D1交A1C1于点M，连接DM，则D1M⊥A1C1.
又DD1⊥平面A1C1，
所以DD1⊥A1C1，
且D1M∩DD1＝D1，
所以A1C1⊥平面DD1M，又DM⊂平面DD1M，
所以DM⊥A1C1.
故∠DMD1为二面角D—A1C1—D1的平面角，
故tan∠DMD1＝＝.



命题点2　求直线和平面所成的角
例4　如图，在三棱锥D—ABC中，DA＝DB＝DC，点D在底面ABC上的射影为点E，AB⊥BC，DF⊥AB于点F.
(1)求证：平面ABD⊥平面DEF；
(2)若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．
(1)证明　如图，由题意知DE⊥平面ABC，
所以AB⊥DE，又AB⊥DF，
DE∩DF＝D，
所以AB⊥平面DEF，
又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面DEF.
(2)解　由DA＝DB＝DC，知EA＝EB＝EC，E为AC的中点，
所以E是△ABC的外心．
过点E作EH⊥DF于点H，则由(1)知EH⊥平面DAB，
所以∠EBH即为BE与平面DAB所成的角．
由AC＝4，∠BAC＝60°，得DE＝2，EF＝，
所以DF＝，EH＝，
所以sin∠EBH＝＝.
所以直线BE与平面DAB所成角的正弦值为.









【同步练习】
1、在如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB＝2，BC＝，F是CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值．
(1)证明　如图所示，取CE的中点为M，连接BM，MF，
因为F为CD的中点，所以MF綊ED.
又AB∥DE，DE＝2AB，所以MF綊AB，
所以四边形ABMF为平行四边形．
所以BM∥AF.
因为BM⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)解　因为△ACD是正三角形，
所以AC＝AD＝CD＝2.
在△ABC中，AB＝1，AC＝2，BC＝，
所以AB2＋AC2＝BC2，故AB⊥AC.
又AB⊥AD，AC∩AD＝A，
所以AB⊥平面ACD.
如图所示，取AD的中点H，连接CH，EH，则AB⊥CH.
又AC＝CD，所以CH⊥AD.
又AB∩AD＝A，所以CH⊥平面ABED，
所以∠CEH是直线CE与平面ABED所成的角．
在Rt△CHE中，CH＝，EH＝，CE＝2，
所以cos∠CEH＝＝.
所以直线CE与平面ABED所成角的余弦值为.


2、 如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．
求证：(1)AN∥平面A1MK；
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
规范解答
证明　(1) 如图所示，连接NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，
∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，
C1D1∥CD，C1D1＝CD.
∵N，K分别为CD，C1D1的中点，
∴DN∥D1K，DN＝D1K，
∴四边形DD1KN为平行四边形，
∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，
∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.
∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，
∴AN∥平面A1MK.
(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.
∵M，K分别为AB，C1D1的中点，
∴BM∥C1K，BM＝C1K，
∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1. [10分]
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，
BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.
∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C. [12分]
∴MK⊥B1C.
∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.
又∵MK⊂平面A1MK，
∴平面A1B1C⊥平面A1MK. [14分]
思导总结


一、证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
二、面面垂直
(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
三、垂直的核心
(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；
(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．

作业布置



1．设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若m⊂α，m⊥β，则α⊥β；反之，若α⊥β，m⊂α，则m与β的位置关系不确定，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
答案　D
解析　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误．故选D.
3.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
答案　A
解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．
4．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(　　)
A．CC1与B1E是异面直线
B．AC⊥平面ABB1A1
C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1
D．A1C1∥平面AB1E
答案　C
解析　A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故AC不可能垂直平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，易得AE⊥BC,而B1C1 ∥BC，所以AE⊥B1C1 ；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.
5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形；
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是(　　)
A．①②④ B．①②③
C．②③④ D．①③④
答案　B
解析　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，由②知③正确；由①知④错．故选B.
6．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC1与底面ABC所成角的余弦值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长为a，A1在底面ABC内的射影为O.则依题意，得AO＝＝，由题意得四面体A1—ABC为四面体，所以∠A1AC＝60°，∠AA1C1＝120°.
在菱形ACC1A1中，AC1＝＝a.
又点C1到底面ABC的距离等于A1到底面ABC的距离，且A1O＝ ＝a，因此AC1与底面ABC所成角的正弦值为＝，
AC1与底面ABC所成角的余弦值为.
7. 如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．
答案　AB、BC、AC　AB
解析　∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，
∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.
8. 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
答案　
解析　设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，
则DE＝h.
又2×＝h，
所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，
B1E＝ ＝.
由面积相等得× ＝x，
得x＝.
9. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．

答案　①②③
解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.
∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，
∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，
∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.
故①②③正确．
10．在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊂α，一直角边AC⊂β，BC与β所成角的正弦值为，则AB与β所成的角是________．
答案　
解析　如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，
则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角．
∵sin∠BCH＝＝，
设BC＝1，则BH＝.
∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝，
∴AB与β所成的角为∠BAH.
∴sin∠BAH＝＝＝，
∴∠BAH＝.





11．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
(1)解　取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：
连接BM，CM.
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC∥AM，且BC＝AM，
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB.
所以CM∥平面PAB.
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(2)证明　由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.
因为AD∥BC，BC＝CD＝AD，
所以直线AB与CD相交，
因为AB⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，
又因为BD⊂平面ABCD，从而PA⊥BD.
又BC∥MD，且BC＝MD.
所以四边形BCDM是平行四边形，
所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.
又AB∩AP＝A，AB⊂平面PAB，AP⊂平面PAB，
所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD.



12．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC1⊥平面ABC，BC＝CA＝AC1.
(1)求证：AC⊥平面AB1C1；
(2)求直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值．
(1)证明　由三棱柱的性质知，
BC∥B1C1.
因为∠ACB＝90°，
所以AC⊥B1C1.
因为AC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以AC1⊥AC.
因为AC1∩B1C1＝C1，AC1⊂平面AB1C1，B1C1⊂平面ABC1，
所以AC⊥平面AB1C1.
(2)解　因为三棱柱ABC－A1B1C1中AC∥A1C1，
又由(1)知，AC⊥平面AB1C1，
所以A1C1⊥平面AB1C1.
设A1B交AB1于点O，所以∠AOC1为直线A1B与平面AB1C1所成角．
设BC＝CA＝AC1＝a，
Rt△AC1O中，OC1＝a，A1O＝a.
因此，cos∠A1OC1＝，
故直线A1B与平面AB1C1所成角的余弦值为.








13．如图，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
(1)证明　∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，
PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
∴DC⊥平面PAC.
(2)证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC.
(3)解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
证明如下：
取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又∵E为AB的中点，
∴EF为△PAB的中位线，
∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴PA∥平面CEF.