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江西省新余市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理科）试题 （解析版）
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这是一份江西省新余市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理科）试题 （解析版），共21页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设z＝+i，则|z|＝（ ）
A．B．C．D．2
2．k＞3是方程表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ）
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
4．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（6，y0）是C上一点，|AF|＝2p，则p＝（ ）
A．8B．4C．2D．1
5．由y＝与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（ ）
A．B．C．πD．2π
6．函数y＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆用合体而无所失矣．”，其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2．类似地不难得到＝（ ）
A．B．C．+1D．﹣+1
8．已知函数f0（x）＝sinx+csx，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn+1（x）＝f'n（x），n∈N，那么f2020（x）＝（ ）
A．csx﹣sinxB．sinx﹣csxC．sinx+csxD．﹣sinx﹣csx
9．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）
10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．2
12．若对任意的x1，x2∈[﹣2，0），x1＜x2，＜a恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．函数f（x）＝x3+ax（x∈R）在x＝1处有极值，则曲线y＝f（x）在原点处的切线方程是 ．
14．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，则z＝ ．
15．已知f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，定义f''（x）为f′（x）的导函数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设g（x）＝x3﹣ax2+bx﹣5，若点（1，﹣3）是函数y＝g（x）的“拐点”也是函数g（x）图象上的点，则＝ ．
16．如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为 ．
三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17．已知实数m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：﹣2m≤x≤2+m．
（1）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝2，“￢p∧q”为真命题，求实数x的取值范围．
18．已知数列{an}前n项和为Sn，且an＝．
（1）试求出S1，S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
20．把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，|AB|＝|AO|，△BOC的面积为6．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点（M，N在直线OA的同侧），若∠CAM＝∠OAN，求直线l的方程
22．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．设z＝+i，则|z|＝（ ）
A．B．C．D．2
【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．
解：z＝+i＝+i＝．
故|z|＝＝．
故选：B．
2．k＞3是方程表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】方程表示双曲线⇔（k﹣3）（k+3）＞0，解得k范围即可得出．
解：方程表示双曲线⇔（k﹣3）（k+3）＞0，解得k＞3或k＜﹣3．
∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．
故选：A．
3．用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ）
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即假设三个内角都大于60°．
故选：B．
4．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（6，y0）是C上一点，|AF|＝2p，则p＝（ ）
A．8B．4C．2D．1
【分析】利用抛物线的定义，通过|AF|＝2p，求解p即可．
解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程x＝﹣，点A在C上，|AF|＝2p，
可得：6+＝2p，
解得：p＝4．
故选：B．
5．由y＝与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（ ）
A．B．C．πD．2π
【分析】将变形可知，其图象为半径为1的半圆，从而可得所得的旋转体为半径为1的球，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．
解：由变形可知：（x﹣1）2+y2＝1（y≥0），此方程为半径为1的半圆．
所以旋转一周得到的几何体为半径为1的球体，
故．
故选：A．
6．函数y＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．
解：当x＞0时，y＝xlnx，y′＝1+lnx，
即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，
因为函数y为偶函数，
故选：D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆用合体而无所失矣．”，其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2．类似地不难得到＝（ ）
A．B．C．+1D．﹣+1
【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果．
解：由题意，令＝x（x＞0），即2+＝x，
即x2﹣2x﹣1＝0，
解得x＝+1，或x＝﹣+1（舍去）．
∴令＝+1．
故选：C．
8．已知函数f0（x）＝sinx+csx，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn+1（x）＝f'n（x），n∈N，那么f2020（x）＝（ ）
A．csx﹣sinxB．sinx﹣csxC．sinx+csxD．﹣sinx﹣csx
【分析】根据题意，利用导数的运算法则依次计算f1（x）、f2（x）、f2（x）…的值，分析可得fn+4（x）＝fn（x），即可得f2020（x）＝f505×4（x）＝f0（x），即可得答案．
解：根据题意，∵f0（x）＝sinx+csx，
∴f1（x）＝f0′（x）＝csx﹣sinx，
f2（x）＝f1′（x）＝﹣sinx﹣csx，
f3（x）＝﹣csx+sinx，
f4（x）＝sinx+csx，
以此类推，可得出fn（x）＝fn+4（x）
∴f2020（x）＝f505（x）＝f0（x）＝sinx+csx．
故选：C．
9．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）
【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣，对其求导分析可得函数g（x）在R上为增函数，由f（1）的值计算可得g（1）的值，将不等式变形分析可以转化为g（x2）＜g（1），由函数的单调性可得x2＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣，其导数g′（x）＝f′（x）﹣＞0，
则函数g（x）在R上为增函数，
又由f（1）＝1，则g（1）＝f（1）﹣＝，
不等式f（x2）＜⇒f（x2）﹣＜⇒g（x2）＜g（1），
又由g（x）在R上为增函数，则x2＜1，
解可得：﹣1＜x＜1，
即不等式的解集为（﹣1，1）；
故选：D．
10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC＝CA＝CC1，
设BC＝CA＝CC1＝2，∴CO＝1，AO＝，AN＝，MB＝＝＝，
在△ANO中，由余弦定理可得：cs∠ANO＝＝＝．
故选：C．
11．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．2
【分析】判断PQ⊥MF1，则|PF1|＝QF1|，说明三角形PF1Q是等腰直角三角形，设|PF1|＝t，利用双曲线的定义求出|PF2|＝，在Rt△MF1F2中，结合勾股定理推出2a＝2c，即可求解双曲线C的离心率．
解：以PQ为直径的圆经过点F1，则，又，
可知PQ⊥MF1，则|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，
设|PF1|＝t，则|PQ|＝t，
由双曲线的定义可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，
则t＝4a，即t＝2a，则：|PF2|＝，
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝＝2a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2a，
由勾股定理可知|F1F2|＝2a＝2c，
则双曲线C的离心率为：e＝＝．
故选：C．
12．若对任意的x1，x2∈[﹣2，0），x1＜x2，＜a恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】不等式恒成立转化为函数f（x）＝在[﹣2，0）为减函数，则f′（x）＝≤0，即a≥ex（x﹣1），构造函数g（x）＝ex（x﹣1），利用导数和函数最值的关系即可求出．
解：对任意的x1，x2∈[﹣2，0），x1＜x2，可知x1＜x2＜0，
则＜a恒成立等价于x2﹣x1e＞a（x1﹣x2），即＞，
∴函数f（x）＝在[﹣2，0）为减函数，
∴f′（x）＝≤0，
∴a≥ex（x﹣1），
设g（x）＝ex（x﹣1），x∈[﹣2，0），
∴g′（x）＝xex＜0，
∴g（x）在[﹣2，0）为减函数，
∴g（x）max＝g（﹣2）＝﹣，
∴a≥﹣，
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．函数f（x）＝x3+ax（x∈R）在x＝1处有极值，则曲线y＝f（x）在原点处的切线方程是 3x+y＝0 ．
【分析】根据函数f（x）＝x3+ax（x∈R）在x＝l处有极值，可知f′（x）＝0的一个解为1，从而可建立方程，即可求得a的值；再由导数的几何意义求出切线的斜率、切点的坐标，即可得到曲线y＝f（x）在原点处的切线方程．
解：由题意，∵函数f（x）＝x3+ax（x∈R）在x＝l处有极值，
∴f′（x）＝3x2+a＝0的一个解为1，
∴3+a＝0，∴a＝﹣3，
∴f′（x）＝3x2﹣3，
当x＝0时，f′（0）＝0﹣3＝﹣3
当x＝0时，f（0）＝0，
∴曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝﹣3（x﹣0），即3x+y＝0．
故答案为：3x+y＝0
14．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，则z＝ 3 ．
【分析】由直线l与平面α垂直，得到直线l的方向向量与平面α的方向向量垂直，由此能求出结果．
解：直线l与平面α垂直，
∵直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，
∴＝3﹣6+z＝0，
解得z＝3．
故答案为：3．
15．已知f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，定义f''（x）为f′（x）的导函数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设g（x）＝x3﹣ax2+bx﹣5，若点（1，﹣3）是函数y＝g（x）的“拐点”也是函数g（x）图象上的点，则＝ ．
【分析】根据新定义拐点可求出 a，b，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出 和 即可．
解：∵g（x）＝x3﹣ax2+bx﹣5，
∴g′（x）＝3x2﹣2ax+b，g″（x）＝6x﹣2a，
由g″（x）＝6x﹣2a＝0，
可得 ，解得 a＝3，
因为点 （1，﹣3）是函数 y＝g（x） 的“拐点“，
所以 g（1）＝1﹣3+b﹣5＝﹣3，
解得 b＝4，
所以，
由 可得，（x﹣3）2+y2＝1，
当 3≤x≤4，y⩾0 时，对应圆中的部分面积为 ，
由定积分的意义可知，，
，
∴，
故答案为：．
16．如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为 2cm ．
【分析】由题设条件知＝（）2，由此利用向量法能求出CD的长．
解：∵在一个60°的二面角的棱上，
有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，
且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，
∴＝（）2
＝+
＝36+16+64+2×6×8×cs120°
＝68．
∴CD的长||＝＝2cm．
故答案为：2cm．
三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17．已知实数m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：﹣2m≤x≤2+m．
（1）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝2，“￢p∧q”为真命题，求实数x的取值范围．
【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义进行转化求解即可．
（2）根据复合命题真假关系进行转化求解．
解：（1）p：﹣2≤x≤3；
又￢q是￢p的必要不充分条件，
则p是q的必要不充分条件，
则，得m≤1，
又m＝1时p⇔q，
所以0＜m＜1．
（2）当m＝2时，q：﹣4≤x≤4，￢p：x＞3或x＜﹣2．
因为￢p∧q是真命题，
所以，
则x∈（3，4]∪[﹣4，﹣2）．
18．已知数列{an}前n项和为Sn，且an＝．
（1）试求出S1，S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【分析】（1）由an＝，可得S1＝a1＝1；同理可得：S2，S3，S4．可以猜想Sn＝．
（2）用数学归纳法即可证明猜想．
解：（1）∵an＝，∴S1＝a1＝1；
S2＝1+＝；
S3＝+＝＝；
S4＝+＝．
猜想Sn＝．
（2）用数学归纳法证明猜想．
（i）n＝1时，S1＝＝1，成立．
（ii）假设n＝k∈N*成立，Sk＝．
则n＝k+1时，Sk+1＝Sk+ak+1＝+＝．
也就是n＝k+1时，成立．
综上可得：Sn＝对∀n∈N*都成立．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（1）推导出AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD，再由PA⊥PD，能证明PD⊥平面PAB
（2）取AD的中点O，连接PO，CO，推导出PO⊥AD，从而平面PAD⊥平面ABCD，进而PO⊥平面ABCD．PO⊥CO．由AC＝CD，得CO⊥AD，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解：（2）取AD的中点O，连接PO，CO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为PA＝PD，所以PO⊥AD，PO⫋平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．因为CO⫋平面ABCD，所以PO⊥CO．
因为AC＝CD，所以CO⊥AD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意得，
A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）．
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则
，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令z＝2，则x＝1，y＝﹣2．所以n＝（1，﹣2，2）．
又＝（1，1，﹣1），所以cs＜n，＞＝＝﹣．
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
【分析】（1）由已知中容器的高为x，正三棱柱形容器的底边长为，我们计算出棱柱的底面面积代入棱柱体积公式，即可求出函数V（x）的解析式，并根据高和底面边长均为正和，可以得到函数的解析式．
（2）由（1）的中的解析式，我们求出函数导函数的解析式，利用导数法，求出函数的极值点，分析函数的单调性，即可得到当x为多少时，容器的容积最大，代入即可得到最大容积．
解：（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为（1分）．
则
函数的定义域为
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．先求V（x）的极值点．
在开区间内，
令V′（x）＝0，即令，解得．
因为在区间内，x1可能是极值点．当0＜x＜x1时，V′（x）＞0；
当时，V′（x）＜0．
因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，
所以是V（x）的最大值点，并且最大值
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为4．
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，|AB|＝|AO|，△BOC的面积为6．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点（M，N在直线OA的同侧），若∠CAM＝∠OAN，求直线l的方程
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，结合三角形的面积公式和线段的中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）求得A的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线AM，AN的斜率互为相反数，设直线AM：y﹣1＝k（x﹣3），联立椭圆方程x2+3y2＝12，运用韦达定理，求得x1，同理可得x2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到k，进而得到所求直线方程．
解：（Ⅰ）因为e＝＝，可得a＝c，b＝＝c，
由|AB|＝|AO|，可得A（a，b）为BC的中点，
所以S△BOC＝•a•b＝6，即ab＝4，
所以c•c＝4，即c＝2，a＝2，b＝2，
所以椭圆的方程为+＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（3，1），右焦点为（2，0），
因为|AB|＝|AO|，所以∠ABO＝∠AOB，
所以∠AOC＝∠ACO，又∠CAM＝∠OAN，
直线AM，AN的斜率互为相反数，
设直线AM：y﹣1＝k（x﹣3），联立椭圆方程x2+3y2＝12，消去y，
可得（1+3k2）x2+6k（1﹣3k）x+27k2﹣18k﹣9＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则3x1＝，所以x1＝，
将k换为﹣k，同理可得x2＝，x1+x2＝，x2﹣x1＝，
kMN＝＝＝＝＝1，
所以直线l的方程为y﹣0＝x﹣2，即x﹣y﹣2＝0．
22．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，通过①当a≥1时，②当0＜a＜1时，③当a≤0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则等价于，考察函数，求出导函数，令，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明g（x）在（0，+∞）上单调递减．得到g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，然后转化求解m的范围即可．
解：（Ⅰ）（x＞0）．
①当a≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1时，，
所以当时，f'（x）＜0，当0＜x＜时，f'（x）＞0，
所以f（x）在上单调递增，在上单调递减；
③当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，
则等价于，考察函数，得，
令，，则时，h'（x）＞0，
时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间上是单调递增函数，
在区间上是单调递减函数．故，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减．
从而g（x1）＞g（x2），即，故，
所以，即g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，
设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，
从而φ′（x）＝g′（x）+m≤0恒成立，故φ′（x）＝g′（x）+m≤≤0，
故m≤．
1．设z＝+i，则|z|＝（ ）
A．B．C．D．2
2．k＞3是方程表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ）
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
4．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（6，y0）是C上一点，|AF|＝2p，则p＝（ ）
A．8B．4C．2D．1
5．由y＝与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（ ）
A．B．C．πD．2π
6．函数y＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆用合体而无所失矣．”，其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2．类似地不难得到＝（ ）
A．B．C．+1D．﹣+1
8．已知函数f0（x）＝sinx+csx，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn+1（x）＝f'n（x），n∈N，那么f2020（x）＝（ ）
A．csx﹣sinxB．sinx﹣csxC．sinx+csxD．﹣sinx﹣csx
9．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）
10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
11．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．2
12．若对任意的x1，x2∈[﹣2，0），x1＜x2，＜a恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．函数f（x）＝x3+ax（x∈R）在x＝1处有极值，则曲线y＝f（x）在原点处的切线方程是 ．
14．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，则z＝ ．
15．已知f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，定义f''（x）为f′（x）的导函数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设g（x）＝x3﹣ax2+bx﹣5，若点（1，﹣3）是函数y＝g（x）的“拐点”也是函数g（x）图象上的点，则＝ ．
16．如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为 ．
三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17．已知实数m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：﹣2m≤x≤2+m．
（1）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝2，“￢p∧q”为真命题，求实数x的取值范围．
18．已知数列{an}前n项和为Sn，且an＝．
（1）试求出S1，S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
20．把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，|AB|＝|AO|，△BOC的面积为6．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点（M，N在直线OA的同侧），若∠CAM＝∠OAN，求直线l的方程
22．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．设z＝+i，则|z|＝（ ）
A．B．C．D．2
【分析】先求z，再利用求模的公式求出|z|．
解：z＝+i＝+i＝．
故|z|＝＝．
故选：B．
2．k＞3是方程表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】方程表示双曲线⇔（k﹣3）（k+3）＞0，解得k范围即可得出．
解：方程表示双曲线⇔（k﹣3）（k+3）＞0，解得k＞3或k＜﹣3．
∴k＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．
故选：A．
3．用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个角不大于60°”时，应假设（ ）
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即假设三个内角都大于60°．
故选：B．
4．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（6，y0）是C上一点，|AF|＝2p，则p＝（ ）
A．8B．4C．2D．1
【分析】利用抛物线的定义，通过|AF|＝2p，求解p即可．
解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程x＝﹣，点A在C上，|AF|＝2p，
可得：6+＝2p，
解得：p＝4．
故选：B．
5．由y＝与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（ ）
A．B．C．πD．2π
【分析】将变形可知，其图象为半径为1的半圆，从而可得所得的旋转体为半径为1的球，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．
解：由变形可知：（x﹣1）2+y2＝1（y≥0），此方程为半径为1的半圆．
所以旋转一周得到的几何体为半径为1的球体，
故．
故选：A．
6．函数y＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．
解：当x＞0时，y＝xlnx，y′＝1+lnx，
即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，
因为函数y为偶函数，
故选：D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆用合体而无所失矣．”，其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x＝2．类似地不难得到＝（ ）
A．B．C．+1D．﹣+1
【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果．
解：由题意，令＝x（x＞0），即2+＝x，
即x2﹣2x﹣1＝0，
解得x＝+1，或x＝﹣+1（舍去）．
∴令＝+1．
故选：C．
8．已知函数f0（x）＝sinx+csx，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn+1（x）＝f'n（x），n∈N，那么f2020（x）＝（ ）
A．csx﹣sinxB．sinx﹣csxC．sinx+csxD．﹣sinx﹣csx
【分析】根据题意，利用导数的运算法则依次计算f1（x）、f2（x）、f2（x）…的值，分析可得fn+4（x）＝fn（x），即可得f2020（x）＝f505×4（x）＝f0（x），即可得答案．
解：根据题意，∵f0（x）＝sinx+csx，
∴f1（x）＝f0′（x）＝csx﹣sinx，
f2（x）＝f1′（x）＝﹣sinx﹣csx，
f3（x）＝﹣csx+sinx，
f4（x）＝sinx+csx，
以此类推，可得出fn（x）＝fn+4（x）
∴f2020（x）＝f505（x）＝f0（x）＝sinx+csx．
故选：C．
9．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）
【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣，对其求导分析可得函数g（x）在R上为增函数，由f（1）的值计算可得g（1）的值，将不等式变形分析可以转化为g（x2）＜g（1），由函数的单调性可得x2＜1，解可得x的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣，其导数g′（x）＝f′（x）﹣＞0，
则函数g（x）在R上为增函数，
又由f（1）＝1，则g（1）＝f（1）﹣＝，
不等式f（x2）＜⇒f（x2）﹣＜⇒g（x2）＜g（1），
又由g（x）在R上为增函数，则x2＜1，
解可得：﹣1＜x＜1，
即不等式的解集为（﹣1，1）；
故选：D．
10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，
，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC＝CA＝CC1，
设BC＝CA＝CC1＝2，∴CO＝1，AO＝，AN＝，MB＝＝＝，
在△ANO中，由余弦定理可得：cs∠ANO＝＝＝．
故选：C．
11．设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．2
【分析】判断PQ⊥MF1，则|PF1|＝QF1|，说明三角形PF1Q是等腰直角三角形，设|PF1|＝t，利用双曲线的定义求出|PF2|＝，在Rt△MF1F2中，结合勾股定理推出2a＝2c，即可求解双曲线C的离心率．
解：以PQ为直径的圆经过点F1，则，又，
可知PQ⊥MF1，则|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q是等腰直角三角形，
设|PF1|＝t，则|PQ|＝t，
由双曲线的定义可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t﹣2a，可得|PQ|＝4a，
则t＝4a，即t＝2a，则：|PF2|＝，
在Rt△MF1F2中，|MF1|＝＝2a，|MF2|＝|PF1|﹣|PM|＝2a，
由勾股定理可知|F1F2|＝2a＝2c，
则双曲线C的离心率为：e＝＝．
故选：C．
12．若对任意的x1，x2∈[﹣2，0），x1＜x2，＜a恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】不等式恒成立转化为函数f（x）＝在[﹣2，0）为减函数，则f′（x）＝≤0，即a≥ex（x﹣1），构造函数g（x）＝ex（x﹣1），利用导数和函数最值的关系即可求出．
解：对任意的x1，x2∈[﹣2，0），x1＜x2，可知x1＜x2＜0，
则＜a恒成立等价于x2﹣x1e＞a（x1﹣x2），即＞，
∴函数f（x）＝在[﹣2，0）为减函数，
∴f′（x）＝≤0，
∴a≥ex（x﹣1），
设g（x）＝ex（x﹣1），x∈[﹣2，0），
∴g′（x）＝xex＜0，
∴g（x）在[﹣2，0）为减函数，
∴g（x）max＝g（﹣2）＝﹣，
∴a≥﹣，
故选：A．
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13．函数f（x）＝x3+ax（x∈R）在x＝1处有极值，则曲线y＝f（x）在原点处的切线方程是 3x+y＝0 ．
【分析】根据函数f（x）＝x3+ax（x∈R）在x＝l处有极值，可知f′（x）＝0的一个解为1，从而可建立方程，即可求得a的值；再由导数的几何意义求出切线的斜率、切点的坐标，即可得到曲线y＝f（x）在原点处的切线方程．
解：由题意，∵函数f（x）＝x3+ax（x∈R）在x＝l处有极值，
∴f′（x）＝3x2+a＝0的一个解为1，
∴3+a＝0，∴a＝﹣3，
∴f′（x）＝3x2﹣3，
当x＝0时，f′（0）＝0﹣3＝﹣3
当x＝0时，f（0）＝0，
∴曲线y＝f（x）在原点处的切线方程为y＝﹣3（x﹣0），即3x+y＝0．
故答案为：3x+y＝0
14．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，则z＝ 3 ．
【分析】由直线l与平面α垂直，得到直线l的方向向量与平面α的方向向量垂直，由此能求出结果．
解：直线l与平面α垂直，
∵直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，
∴＝3﹣6+z＝0，
解得z＝3．
故答案为：3．
15．已知f'（x）是函数y＝f（x）的导函数，定义f''（x）为f′（x）的导函数，若方程f''（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设g（x）＝x3﹣ax2+bx﹣5，若点（1，﹣3）是函数y＝g（x）的“拐点”也是函数g（x）图象上的点，则＝ ．
【分析】根据新定义拐点可求出 a，b，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出 和 即可．
解：∵g（x）＝x3﹣ax2+bx﹣5，
∴g′（x）＝3x2﹣2ax+b，g″（x）＝6x﹣2a，
由g″（x）＝6x﹣2a＝0，
可得 ，解得 a＝3，
因为点 （1，﹣3）是函数 y＝g（x） 的“拐点“，
所以 g（1）＝1﹣3+b﹣5＝﹣3，
解得 b＝4，
所以，
由 可得，（x﹣3）2+y2＝1，
当 3≤x≤4，y⩾0 时，对应圆中的部分面积为 ，
由定积分的意义可知，，
，
∴，
故答案为：．
16．如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，则CD的长为 2cm ．
【分析】由题设条件知＝（）2，由此利用向量法能求出CD的长．
解：∵在一个60°的二面角的棱上，
有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，
且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，
∴＝（）2
＝+
＝36+16+64+2×6×8×cs120°
＝68．
∴CD的长||＝＝2cm．
故答案为：2cm．
三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17．已知实数m＞0，p：（x+2）（x﹣3）≤0，q：﹣2m≤x≤2+m．
（1）若￢q是￢p的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝2，“￢p∧q”为真命题，求实数x的取值范围．
【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义进行转化求解即可．
（2）根据复合命题真假关系进行转化求解．
解：（1）p：﹣2≤x≤3；
又￢q是￢p的必要不充分条件，
则p是q的必要不充分条件，
则，得m≤1，
又m＝1时p⇔q，
所以0＜m＜1．
（2）当m＝2时，q：﹣4≤x≤4，￢p：x＞3或x＜﹣2．
因为￢p∧q是真命题，
所以，
则x∈（3，4]∪[﹣4，﹣2）．
18．已知数列{an}前n项和为Sn，且an＝．
（1）试求出S1，S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【分析】（1）由an＝，可得S1＝a1＝1；同理可得：S2，S3，S4．可以猜想Sn＝．
（2）用数学归纳法即可证明猜想．
解：（1）∵an＝，∴S1＝a1＝1；
S2＝1+＝；
S3＝+＝＝；
S4＝+＝．
猜想Sn＝．
（2）用数学归纳法证明猜想．
（i）n＝1时，S1＝＝1，成立．
（ii）假设n＝k∈N*成立，Sk＝．
则n＝k+1时，Sk+1＝Sk+ak+1＝+＝．
也就是n＝k+1时，成立．
综上可得：Sn＝对∀n∈N*都成立．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（1）推导出AB⊥平面PAD，从而AB⊥PD，再由PA⊥PD，能证明PD⊥平面PAB
（2）取AD的中点O，连接PO，CO，推导出PO⊥AD，从而平面PAD⊥平面ABCD，进而PO⊥平面ABCD．PO⊥CO．由AC＝CD，得CO⊥AD，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又PA⊥PD，AB∩PA＝A，
所以PD⊥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
解：（2）取AD的中点O，连接PO，CO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因为PA＝PD，所以PO⊥AD，PO⫋平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．因为CO⫋平面ABCD，所以PO⊥CO．
因为AC＝CD，所以CO⊥AD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意得，
A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）．
设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），则
，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
令z＝2，则x＝1，y＝﹣2．所以n＝（1，﹣2，2）．
又＝（1，1，﹣1），所以cs＜n，＞＝＝﹣．
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．
【分析】（1）由已知中容器的高为x，正三棱柱形容器的底边长为，我们计算出棱柱的底面面积代入棱柱体积公式，即可求出函数V（x）的解析式，并根据高和底面边长均为正和，可以得到函数的解析式．
（2）由（1）的中的解析式，我们求出函数导函数的解析式，利用导数法，求出函数的极值点，分析函数的单调性，即可得到当x为多少时，容器的容积最大，代入即可得到最大容积．
解：（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为（1分）．
则
函数的定义域为
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间上的最大值点．先求V（x）的极值点．
在开区间内，
令V′（x）＝0，即令，解得．
因为在区间内，x1可能是极值点．当0＜x＜x1时，V′（x）＞0；
当时，V′（x）＜0．
因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，
所以是V（x）的最大值点，并且最大值
即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为4．
21．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆E上位于第一象限上的点，B为椭圆E的上顶点，直线AB与x轴相交于点C，|AB|＝|AO|，△BOC的面积为6．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M，N两点（M，N在直线OA的同侧），若∠CAM＝∠OAN，求直线l的方程
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，结合三角形的面积公式和线段的中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）求得A的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线AM，AN的斜率互为相反数，设直线AM：y﹣1＝k（x﹣3），联立椭圆方程x2+3y2＝12，运用韦达定理，求得x1，同理可得x2，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到k，进而得到所求直线方程．
解：（Ⅰ）因为e＝＝，可得a＝c，b＝＝c，
由|AB|＝|AO|，可得A（a，b）为BC的中点，
所以S△BOC＝•a•b＝6，即ab＝4，
所以c•c＝4，即c＝2，a＝2，b＝2，
所以椭圆的方程为+＝1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（3，1），右焦点为（2，0），
因为|AB|＝|AO|，所以∠ABO＝∠AOB，
所以∠AOC＝∠ACO，又∠CAM＝∠OAN，
直线AM，AN的斜率互为相反数，
设直线AM：y﹣1＝k（x﹣3），联立椭圆方程x2+3y2＝12，消去y，
可得（1+3k2）x2+6k（1﹣3k）x+27k2﹣18k﹣9＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则3x1＝，所以x1＝，
将k换为﹣k，同理可得x2＝，x1+x2＝，x2﹣x1＝，
kMN＝＝＝＝＝1，
所以直线l的方程为y﹣0＝x﹣2，即x﹣y﹣2＝0．
22．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，通过①当a≥1时，②当0＜a＜1时，③当a≤0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．
（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则等价于，考察函数，求出导函数，令，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明g（x）在（0，+∞）上单调递减．得到g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，然后转化求解m的范围即可．
解：（Ⅰ）（x＞0）．
①当a≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当0＜a＜1时，，
所以当时，f'（x）＜0，当0＜x＜时，f'（x）＞0，
所以f（x）在上单调递增，在上单调递减；
③当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，
（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，
则等价于，考察函数，得，
令，，则时，h'（x）＞0，
时，h'（x）＜0，所以h（x）在区间上是单调递增函数，
在区间上是单调递减函数．故，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减．
从而g（x1）＞g（x2），即，故，
所以，即g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，
设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，
从而φ′（x）＝g′（x）+m≤0恒成立，故φ′（x）＝g′（x）+m≤≤0，
故m≤．
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